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Schulmathematik » Terme und (Un-) Gleichungen » Zum Einsatz der Formel der ungeraden Zahlen
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Schule J Zum Einsatz der Formel der ungeraden Zahlen
William_Wallace
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  Themenstart: 2022-06-20

Hallo Leute, heute geht es mir um etwas Grundlegendes: Wann (2n-1) und wann (2n+1) für ungerade Zahlen? Die rekursive Vorschrift für Quadratzahlen ist offiziell n^2=(n-1)^2+(2n-1). (I) Warum ist n^2=(n-1)^2+(2n+1) (II) falsch? Äquivalent hierzu Warum ist (n+1)^2=n^2+(2n-1) (III) falsch? Und warum ist (n+1)^2=n^2+(2n+1) (IV) richtig? Ist das nur vom geübten Mathematiker so hingebogen, dass es auch rechnerisch passt oder steckt da eine tiefere semantische Begründung dahinter? Danke Edit: Mir geht es NICHT darum, warum das rein rechnerisch nicht passt. Ich sehe, dass bei (II) und (III) was anderes raus kommt. Warum sind die Gleichungen falsch aufgestellt?


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Caban
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-06-20

Hallo Die begründung erhälst, du indem du die Zweite Gleichung aunsmultiplizierst. Eine Begründung wären die binomischen Formeln. Gruß Caban


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William_Wallace
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-20

Hallo, danke für die Nachricht. Mir ist klar, dass das eine rechnerisch nicht geht. Die Frage ist aber, warum es falsch wird, also warum die Formel falsch aufgestellt ist. Falls ich mich nicht klar in meiner Frage ausgedrückt habe: Es geht mir darum, woher ich weiß wann ich (2n-1) nehme und wann (2n+1).


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Caban
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-06-21

Hallo Du musst immer schauen, ob die binomischen Formeln eingehalten werden. Gruß Caban


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.4, eingetragen 2022-06-21

\quoteon(2022-06-20 23:21 - William_Wallace im Themenstart) Ist das nur vom geübten Mathematiker so hingebogen, dass es auch rechnerisch passt oder steckt da eine tiefere semantische Begründung dahinter? \quoteoff Dazu muss man kein geübter Mathematiker sein. Kenntnisse der Mittelstufe sollten ausreichen. [Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]


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William_Wallace
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-21

Hm, ich glaube, ich werde hier diesmal nicht verstanden... keine Ahnung wie ichs anders formulieren soll... Schade🤒


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cramilu
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  Beitrag No.6, eingetragen 2022-06-21

Der hintere Summand ist keinesfalls eigenständig zu sehen, sondern als abgeleitet aus der Anwendung der zweiten binomischen Formel: \((n-1)^2\;=\;n^2\;-\;2n\;+1\) \(\Leftrightarrow\) \((n-1)^2\;+\;2n\;-\;1\;=\;n^2\) \(\Leftrightarrow\) \((n-1)^2\;+\;(2n-1)\;=\;n^2\) Wenn man die Null nicht als natürliche Zahl auffasst, also traditionell, dann kommt man nicht umhin, die ungeraden Zahlen als \((2n-1)\) zu umschreiben. Sie lassen sich dann betrachten als diejenige echte Teilmenge der natürlichen Zahlen, welche alle Differenzen aus Quadraten zweier benachbarter natürlicher Zahlen enthält.


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Nuramon
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-06-21

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname} \newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil} \newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\) Die Frage zu den binomischen Formel wurde schon beantwortet: Der Wert der Differenz von $n^2$ und $(n-1)^2$ ist nun mal $2n-1$ und nicht $2n+1$. Da gibt es keinen Spielraum für Interpretation. Zur Ausgangsfrage: \quoteon Wann $2n-1$ und wann $2n+1$ für ungerade Zahlen? \quoteoff Ich nehme an, es geht hier um die Frage "Was ist die $n$-te ungerade Zahl?". Da kommt es darauf an, ob man $n=0$ zulässt oder bei $n=1$ anfängt: Wenn $1$ die erste ungerade Zahl sein soll, dann ist $2n-1$ die richtige Formel. Wenn $1$ hingegen die nullte ungerade Zahl sein soll, dann ist $2n+1$ richtig. [Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]\(\endgroup\)


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William_Wallace
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-21

Danke! Ach was... jetzt bin ich aber wirklich baff über den Zusammenhang. Dann hat die rekursive Formel der Quadratzahlen direkt etwas mit den Binomischen Formeln zu tun? Warum? Ich nehme an, dass das kein Zufall ist?! Warum hat mir das noch keiner erzählt? [Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]


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Diophant
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  Beitrag No.9, eingetragen 2022-06-21

Hallo, \quoteon(2022-06-21 00:50 - William_Wallace in Beitrag No. 8) Ach was... jetzt bin ich aber wirklich baff über den Zusammenhang. \quoteoff Man sollte nicht baff sein, wenn in einer Gleichung ein Quadrat einer Summe oder einer Differenz steht und man dann den Zusammhang zu den binomischen Formeln entdeckt... Gruß, Diophant [Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Terme und (Un-) Gleichungen' von Diophant]


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William_Wallace
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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-21

Naja, wenn man dabei ist, eine rekursive Form für die Quadratzahlen aufzustellen, und plötzlich entdeckt, dass die nichts anderes steht, als die erste bzw. zweite binomische Formel, kann man sich doch schonmal nach dem Zusammenhang fragen, den ich übrigens immer noch nicht weiß...


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Kuestenkind
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  Beitrag No.11, eingetragen 2022-06-21

Huhu, du könnest dir in diesem Zusammenhang auch mal dort https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1939 das Bild bei Beispiel 1 unter "Führe einen Parameter ein" anschauen. Gruß, Küstenkind


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cramilu
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  Beitrag No.12, eingetragen 2022-06-21

Hallo William_Wallace... Alba gu bràth ! 😎 Dass "Algebra" so ähnlich klingt, ist eine andere Geschichte. Der von mir geschätzte haegar90 würde sich bei diesem Thema gewiss freuen - Zitat: »Ein echter Senf-Thread!«. Entwarnung... Selbstkasteiung ist unnötig! Sicher hatten wir alle schon einmal derartige »Ach so!«- bzw. »Aha!«-Erlebnisse. 😉 Doch zurück zu Deinem Anliegen. Zwar ist mir immer noch nicht klar, zu welchen "Zusammenhang" genau Du welche Art von Erleuchtung suchst, aber im vorherigen Beitrag hat Kuestenkind bereits den einschlägigen Begriff genannt: Beweismotive. "Vollständige Induktion" ist da häufig ein probates Werkzeug. Bei TOOLBOX LEHRERBILDUNG findest Du etwas zu Deinem konkreten Anliegen. Dort wird auch das "Odd Number Theorem" referenziert (zusätzlich hier) - nicht zu verwechseln mit dem gleichnamigen aus der Astronomie! Falls Du das neu[erlich] erkannte gleich weiter einüben magst, kannst Du Dir dazu die Gaußsche Summenformel vornehmen.


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William_Wallace
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  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-21

\quoteon(2022-06-21 12:06 - Kuestenkind in Beitrag No. 11) Huhu, du könnest dir in diesem Zusammenhang auch mal dort https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1939 das Bild bei Beispiel 1 unter "Führe einen Parameter ein" anschauen. Gruß, Küstenkind \quoteoff Danke, das Beispiel ... war einleuchtend ...😃


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William_Wallace
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  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-21

\quoteon(2022-06-21 13:11 - cramilu in Beitrag No. 12) Hallo William_Wallace... Alba gu bràth ! 😎 Dass "Algebra" so ähnlich klingt, ist eine andere Geschichte. Der von mir geschätzte haegar90 würde sich bei diesem Thema gewiss freuen - Zitat: »Ein echter Senf-Thread!«. Entwarnung... Selbstkasteiung ist unnötig! Sicher hatten wir alle schon einmal derartige »Ach so!«- bzw. »Aha!«-Erlebnisse. 😉 Doch zurück zu Deinem Anliegen. Zwar ist mir immer noch nicht klar, zu welchen "Zusammenhang" genau Du welche Art von Erleuchtung suchst, aber im vorherigen Beitrag hat Kuestenkind bereits den einschlägigen Begriff genannt: Beweismotive. "Vollständige Induktion" ist da häufig ein probates Werkzeug. Bei TOOLBOX LEHRERBILDUNG findest Du etwas zu Deinem konkreten Anliegen. Dort wird auch das "Odd Number Theorem" referenziert (zusätzlich hier) - nicht zu verwechseln mit dem gleichnamigen aus der Astronomie! Falls Du das neu[erlich] erkannte gleich weiter einüben magst, kannst Du Dir dazu die Gaußsche Summenformel vornehmen. \quoteoff Vielen Dank für die weiterführenden Links. Die werd ich mir zu Gemüte führen... und ja... Alba gu bràth 😄 Glücklicherweise gibts neben dem Freiheitskämpfer auch den gleichnamigen Mathematiker, sodass der Name hier im Forum nicht so ganz weird ist 😁


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