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Schulmathematik » Stochastik und Kombinatorik » Relative Häufigkeit
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Schule Relative Häufigkeit
lauralorio
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  Themenstart: 2022-06-15

Hi, ich habe hier eine Aufgabe und verstehe die leider überhaupt nicht :( Wie viele Personen müssen befragt werden, damit die relative Häufigkeit mit einer Wahrscheinlichkeit von 98% nicht mehr als 2% vom tatsächlichen Anteil p abweicht? Dankbar für jede Hilfe :)


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Diophant
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-06-15

Hallo und willkommen hier im Forum! In welchem Zusammenhang hast du diese Aufgabe denn gestellt bekommen und was genau verstehst du daran nicht? Ist das insbesondere eine Frage aus dem Bereich Schule, oder im Rahmen eines Studiums? Gruß, Diophant


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lauralorio
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-15

Hi und danke, jeder hat im Förderunterricht eine Aufgabe zum "knobeln" bekommen und soll sein Ergebnis in zwei Wochen präsentieren, bzw. nächste Woche Montag, da ich jetzt schon länger an der Aufgabe sitze und mir niemand aus der Schule helfen konnte. Ich verstehe nicht wie man solche Aufgaben löst, welche Formel ich dafür brauche.


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Diophant
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-06-15

\quoteon(2022-06-15 10:45 - lauralorio in Beitrag No. 2) jeder hat im Förderunterricht eine Aufgabe zum "knobeln" bekommen... \quoteoff Also Schule? Ok. Habt ihr in der Schulde die Gauß'sche Normalverteilung durchgenommen? \quoteon(2022-06-15 10:45 - lauralorio in Beitrag No. 2) Ich verstehe nicht wie man solche Aufgaben löst, welche Formel ich dafür brauche. \quoteoff Es geht ja im Prinzip darum, eine Binomialverteilung durch eine Normalverteilung zu approximieren. Von daher wäre es schon gut zu wissen, was genau dein Kenntnisstand ist. Gruß, Diophant [Verschoben aus Forum 'Stochastik und Statistik' in Forum 'Stochastik und Kombinatorik' von Diophant]


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lauralorio
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-15

Achsoooo ja, also brauche ich die Formel: \sigma = sqrt(n*p*(1-p)) > 3 Aber ich kenne mein p und mein n ja nicht. Und was sind die 2% und die 98%? Die 98% ist sigma?


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Diophant
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-06-15

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, hm, warum soll die Standardabweichung größer als 3 sein? Du hast die Frage nach deinen Vorkenntnissen immer noch nicht beantwortet, das macht es nicht gerade einfacher, zielführend zu helfen. Im Prinzip geht es um folgendes. Ein \(p\)-Wert ist gegeben, bzw. in Abhängigkeit von \(p\) soll die ganze Betrachtung ablaufen. Die Stichprobe ist dann eine Binomialverteilung mit Wahrscheinlichkeit \(p\) und bisher unbekannter Stichprobengröße \(n\). Gesucht ist nun ein minimales \(n\) so, dass folgende Ungleichung gilt: \[P\left(\max(0,p-0.02)\cdot n\le X\le \min(p+0.02,1)\right)\ge 0.98\] (Wobei \(X\) die Anzahl der Personen in der Stichprobe ist, die das fragliche Merkmal aufweisen.) Hilft dir das weiter? Ansonsten wie gesagt: bitte deine genauen Vorkenntnisse hinsichtlich der gängigen Verteilungen angeben und ggf. (falls oben nicht geschehen) den kompletten Originalwortlaut der Aufgabenstellung. Gruß, Diophant \(\endgroup\)


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Caban
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  Beitrag No.6, eingetragen 2022-06-15

Hallo Mein Ansatz wäre n*p+2.33*sqrt(n*p*(1-p))=1.02n*p Das kannst du nach n umstellen. Dann müsstest du dir noch überlegen, wie du die 98% einbringst. Gruß Caban [Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-06-15

Hallo, ist denn p bekannt?


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Diophant
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  Beitrag No.8, eingetragen 2022-06-15

@Caban: \quoteon(2022-06-15 11:15 - Caban in Beitrag No. 6) Mein Ansatz wäre n*p+1.68*sqrt(n*p*(1-p))=1.01n*p Das kannst du nach n umstellen. Dann müsstest du dir noch überlegen, wie du die 98% einbringst. \quoteoff Könntest du das einmal erläutern? Ich verstehe hier ehrlich gesagt "Bahnhof". Gruß, Diophant [Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]


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Caban
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  Beitrag No.9, eingetragen 2022-06-15

Hallo 1.7 ist der Faktor für ein 98% Intervall. 1.01np ist die Obergrenze, wenn es maximal 2% abweichen soll. Gruß Caban


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Diophant
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  Beitrag No.10, eingetragen 2022-06-15

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) \quoteon(2022-06-15 11:50 - Caban in Beitrag No. 9) 1.7 ist der Faktor für ein 98% Intervall. 1.01np ist die Obergrenze, wenn es maximal 2% abweichen soll. \quoteoff Ich verstehe es immer noch nicht. Die Abweichung kann - a) nach oben und nach unten geschehen (sie kann sich also über einen Bereich von \(0.04\cdot n\) um den Erwartungswert erstrecken) - b) sind die 2% sicherlich nicht auf den Anteil \(p\) bezogen, sondern auf die Grundgesamtheit, genauso wie der Anteil \(p\). Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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Caban
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  Beitrag No.11, eingetragen 2022-06-15

Hallo Ich lese das so, dass sich die 2 % auf den tatsächlichen Anteil bezieht. Wenn also p=0.5, dann darf die relative Häufigkeit sich nur im Bereich zwischen 0.48 bis 0.52 bewegen. Mit der vier hast du recht, ich werde es korrigieren. Gruß Caban


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Diophant
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  Beitrag No.12, eingetragen 2022-06-15

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) \quoteon(2022-06-15 12:15 - Caban in Beitrag No. 11) Ich lese das so, dass sich die 2 % auf den tatsächlichen Anteil bezieht. \quoteoff Das kann man dem Themenstart IMO nicht entnehmen. Deine Lesart wäre jedenfalls was die Stochastik angeht in meinen Augen eher ungewöhnlich. \quoteon(2022-06-15 12:15 - Caban in Beitrag No. 11) Wenn also p=0.5, dann darf die relative Häufigkeit sich nur im Bereich zwischen 0.48 bis 0.52 bewegen. \quoteoff Das wäre ja dann meine Interpretation. Denn 2% von 0,5 sind immer noch \(0.5\cdot 0.02=0.01\). 😉 Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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Caban
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  Beitrag No.13, eingetragen 2022-06-15

Hallo ja stimmt, bei mir wäre es von 0.49 bis 0.51. Ich kenn das eigentlich nur so, dass sich Prozentangaben, die sich auf Wahrscheinlichkeiten oder Anteile beziehen, die Anteile als 100 % zusetzen. sowas kommt aber extem selten vor. Gruß Caban


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Caban
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  Beitrag No.14, eingetragen 2022-06-15

Hallo Ich habe die 1.68 gegen 2.33 ersetzt. Ich komme jetzt mit meinem Ansatz und der Normalverteilung auf ungefähr den gleichen Wert.


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lauralorio
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  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-16

Hi, das hilft mir so gerade leider nicht wirklich weiter. Woher kommt diese Ungleichung? Und wie berechne ich die? Binomialverteilung hatte ich schon. Aber das hier sieht nach was anderem aus Und das ist der Originallaut der Aufgabe, ich hab da nichts verändert


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.16, eingetragen 2022-06-16

\quoteon(2022-06-16 23:11 - lauralorio in Beitrag No. 15) Und das ist der Originallaut der Aufgabe, ich hab da nichts verändert \quoteoff Ist das denn auch wirklich der komplette Aufgabentext? Da steht ja z. B. gar nicht, was p sein soll oder was den Leuten gefragt wurde.


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Diophant
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  Beitrag No.17, eingetragen 2022-06-16

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, \quoteon(2022-06-16 23:11 - lauralorio in Beitrag No. 15) Hi, das hilft mir so gerade leider nicht wirklich weiter. \quoteoff Was denn? Es wurden ja hier schon unterschiedliche Ansätze sowie unterschiedliche Interpretationen der Aufgabe angesprochen? \quoteon(2022-06-16 23:11 - lauralorio in Beitrag No. 15) Woher kommt diese Ungleichung? Und wie berechne ich die? \quoteoff Wenn man das mit den 2% so versteht, dass sich die relative Häufigkeit im Prinzip im Bereich \((p-0.02,p+0.02)\) bewegt, dann ist diese Ungleichung einfach eine Formalisierung der Aufgabenstellung. Dabei hatte ich aber eine Approximation durch die sog. Normalverteilung im Sinn, und wenn du das nicht kennst, dann erübrigt sich dieser Ansatz. Hast du denn nachvollziehen können, was die linke Seite der Gleichung von Caban aus Beitrag #6 beschreibt? Zwar stimmt diese Gleichung auf der rechten Seite nach wie vor nicht (ganz egal, wie man die 2% nun versteht), aber man könnte diese linke Seite als Grundlage für einen Ansatz nehmen. Als Hinweis: dort steht die Summe aus dem Erwartungswert und einem Vielfachen der Standardabweichung einer Binomialverteilung. Was es mit dem Faktor vor der Wurzel auf sich hat, kannst du dir vielleicht selbst klarmachen, wenn du einmal den Begriff "Sigma-Umgebung" googelst. Zur Sicherheit möchte ich dir einmal noch den Hinweis geben, dass wir hier in diesem Forum keine fertigen Lösungen geben, dir aber gerne dabei helfen, deine Frage im Dialog zu klären. Das erfordert aber auch eine gewisse Eigeninitiative deinerseits. Gruß, Diophant [Die Antwort wurde nach Beitrag No.15 begonnen.]\(\endgroup\)


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lauralorio
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  Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-16

Wie viele Personen müssen befragt werden, damit die relative Häufigkeit mit einer Wahrscheinlichkeit von 98% nicht mehr als 2% vom tatsächlichen auf die betreffende Person entfallenden Anteil p abweicht? [Die Antwort wurde nach Beitrag No.16 begonnen.]


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Caban
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  Beitrag No.19, eingetragen 2022-06-16

Hallo Ich habe die rechte Seite jetzt korrigert. Die ist irgendwie verhext. gruß Caban


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lauralorio
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  Beitrag No.20, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-16

Ich verstehe schon überhaupt nicht woher Caban seine Zahlenwerte hernimmt


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Caban
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  Beitrag No.21, eingetragen 2022-06-16

Hallo Hattet ihr schon Konfidenzintervall? Gruß Caban


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Diophant
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  Beitrag No.22, eingetragen 2022-06-17

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) @lauralorio \quoteon(2022-06-16 23:34 - lauralorio in Beitrag No. 20) Ich verstehe schon überhaupt nicht woher Caban seine Zahlenwerte hernimmt \quoteoff Ganz ehrlich: so wird das hier nichts werden. Wir müssten zunächst einmal klären, wie die Aufgabe zu verstehen ist. Und dazu bräuchten wir nach wie vor die komplette Aufgabenstellung. Ich kann nicht glauben, dass das bisherige alles ist, was du vorliegen hast. Ansonsten musst du entscheiden: wie möchtest du die 2% Abweichung verstehen, also auf was beziehen sie sich deiner Meinung nach: - auf die Grundgesamtheit - oder auf den Anteil \(p\)? @Caban: \quoteon(2022-06-16 23:51 - Caban in Beitrag No. 21) Hattet ihr schon Konfidenzintervall? \quoteoff Was soll das mit Konfidenzintervallen zu tun haben (da widersprichst du jetzt ja deinem eigenen Ansatz)? Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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lauralorio
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  Beitrag No.23, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-17

Nein das müsste was mit Binomialverteilung zu tun haben wie Diophant meinte, denn das Thema hatte ich mal, war nur nicht so erfolgreich damit.. und ich finde auch niemanden der diese Aufgabe versteht [Die Antwort wurde nach Beitrag No.21 begonnen.]


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lauralorio
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  Beitrag No.24, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-17

Das ist die komplette Aufgabenstellung!!


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Diophant
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  Beitrag No.25, eingetragen 2022-06-17

Hallo, ich mache jetzt einmal einen letzten Versuch, dein Anliegen hier voranzubringen. Aber: dazu muss von dir mehr kommen. \quoteon(2022-06-17 11:40 - lauralorio in Beitrag No. 23) Nein das müsste was mit Binomialverteilung zu tun haben wie Diophant meinte, denn das Thema hatte ich mal, war nur nicht so erfolgreich damit.. \quoteoff Das schließt sich ja nicht aus. Nur legt die bisher gepostete Aufgabenstellung überhaupt keinen Zusammenhang zu Hypothesentests bzw. Konfidenzintervallen nahe, sondern eher einen zur Approximation einer Binomialverteilung durch eine Normalverteilung. Das schrieb ich ja schon, du hast dich aber bisher noch nicht dazu geäußert... \quoteon(2022-06-17 11:40 - lauralorio in Beitrag No. 23) und ich finde auch niemanden der diese Aufgabe versteht \quoteoff Wurdest du nachts in einer dunklen Gasse überfallen und man hat dir diese Aufgabe aufs Auge gedrückt? Oder ist es doch irgendwie anders zugegangen? Es wurde jetzt schon mehrfach angefragt, aber du hast dich nicht dazu noch nicht geäußert: es kann schlechterdings nicht sein, dass das bisher gepostete eine komplette Aufgabenstellung ist. Wir benötigen also die komplette Aufgabenstellung im Originalwortlaut. Vermutlich sollst du anhand dieser Aufgabe dich mit einem Thema selbstständig beschäftigen, so dass es keine Ausrede ist, wenn man mal "nicht so zurechtgekommen ist". Was hast du hierzu schon unternommen? Oder, falls ich falsch liege: in welchem genauen Zusammenhang wurde dir die Aufgabe gestellt? So, und zum Schluss nochmal die Frage: ist dir klar geworden, dass Caban und ich völlig unterschiedlicher Auffassung darüber sind, wie die 2% zu verstehen sind? Und wie ist deine Meinung dazu? Gruß, Diophant [Die Antwort wurde nach Beitrag No.23 begonnen.]


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lauralorio
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  Beitrag No.26, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-17

Ist hier niemand der die Aufgabe versteht und mir helfen kann?


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Diophant
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  Beitrag No.27, eingetragen 2022-06-17

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) \quoteon(2022-06-17 11:55 - lauralorio in Beitrag No. 26) Ist hier niemand der die Aufgabe versteht und mir helfen kann? \quoteoff Das Problem ist nicht, das wir die Aufgabe nicht verstehen, sondern das Problem ist deine mangelnde Beteiligung. Du bist auf meine Fragen oben kein bisschen eingegangen. Wie soll ich jetzt wissen, welche Konzepte dir weiterhelfen und welche dich überfordern? Noch ein letzter Versuch in Form eines Vorschlags: - Recherchiere im Netz den Begriff der Sigma-Umgebungen bzw. (so heißt das in der Schule manchmal) der Sigma-Regeln. Du benötigst für deine Problemstellung hier eine solche Regel, bei der du den Faktor nicht kennst, dafür aber die Wahrscheinlichkeit von 0.98. Der Faktor von Caban, also die \(2.33\), ist dabei näherungsweise richtig (d.h., den kannst du übernehmen). - Dann mache dir die Bedeutung der linken Seite im Ansatz von Caban klar (die rechte Seite ist und bleibt falsch, aber den Grund zu erläutern wird dich hier vermutlich verwirren, daher lasse ich das an dieser Stelle einmal). Wenn du diese Punkte abgearbeitet hast, dann melde dich wieder und gib deine Interpretation dieser linken Seite wieder, also wie du sie verstehst. Dann könnten wir die rechte Seite der Gleichung durch eine sinnhaftere Version ersetzen und überlegen, was man daraus machen kann. Ich habe den Ansatz gerade für unterschiedliche Werte von \(p\) durchgerechnet, wobei da für \(n\) Resultate im vierstelligen Bereich herauskommen. Ein möglicher Weg könnte also sein, für unterschiedliche Anteile \(p\) die Anzahl \(n\) auszurechnen und das dann in Form einer Wertetabelle zu präsentieren. Oder man könnte ersatzweise \(p=0.5\) betrachten. Überlege dir, wie man das begründen könnte bzw. wie man dann die Lösung für \(n\) zu formulieren hätte. In diesem Zusammenhang: über welche Rechenhilfsmittel verfügst du? Hier vorrechnen wird dir das niemand. Du wirst nicht drum herumkommen, dich mit der Materie selbst zu beschäftigen. Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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  Beitrag No.28, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-17

Hab mir die Seite durchgelesen. Ich kann mir aber nicht einfach irgendwelche Werte wie 2,33 ausdenken.. das sollte alles schon mathematisch nachvollziehbar sein. Die linke Seite von Caban ist falsch, die Formel gibt es so nicht. Ich kenne die Formel \sigma = sqrt(n*p*(1-p)) > 3


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lauralorio
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  Beitrag No.29, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-17

Wenn du auf Konfidenzintervalle oder Fehlerspanne abzielst: Sowas hatten wir noch nicht, also es müsste anders gehen


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Diophant
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  Beitrag No.30, eingetragen 2022-06-17

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) \quoteon(2022-06-17 16:51 - lauralorio in Beitrag No. 28) Hab mir die Seite durchgelesen. Ich kann mir aber nicht einfach irgendwelche Werte wie 2,33 ausdenken.. das sollte alles schon mathematisch nachvollziehbar sein. Die linke Seite von Caban ist falsch, die Formel gibt es so nicht. Ich kenne die Formel \sigma = sqrt(n*p*(1-p)) > 3 \quoteoff Du sagst uns ja nicht, was dir bekannt ist und was nicht. Die 2,33 erhält man ganz einfach aus der Tabelle der Standardnormalverteilung, indem man den Wert für X mit \(\Phi(X)=0.99\) heraussucht. \quoteon(2022-06-17 16:51 - lauralorio in Beitrag No. 28) Die linke Seite von Caban ist falsch, die Formel gibt es so nicht. \quoteoff Nein, die linke Seite ist richtig (wenn man versteht, was sie bedeutet). Die rechte Seite seiner Gleichung ist falsch (weil er Äpfel mit Birnen vergleicht). \quoteon(2022-06-17 16:51 - lauralorio in Beitrag No. 28) Ich kenne die Formel \sigma = sqrt(n*p*(1-p)) > 3 \quoteoff Die kenne ich auch, aber was willst du jetzt damit schon wieder? Damit kann man testen, ob man eine Binomialverteilung in hinreichender Näherung durch eine Normalverteilung annähern kann. Davon gehen wir aber von vorn herein aus, sonst scheitert der ganze Ansatz! \quoteon(2022-06-17 16:59 - lauralorio in Beitrag No. 29) Wenn du auf Konfidenzintervalle abzielst... \quoteoff Wie oft soll ich jetzt noch schreiben, dass ich darauf nicht abziele. Und wieder bist du auf weite Teile meines letzten Beitrags nicht eingegangen. Daher verkneife ich mir diesmal, weitere Hinweise zu geben. Nur: so werden wir hier sicherlich nicht weiterkommen, geschweige denn zu einem zielführenden Abschluss... Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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lauralorio
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  Beitrag No.31, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-17

Ich bin auf alles eingegangen.. und nirgends schreibst du, dass du nicht auf Konfidenzintervalle oder Fehlerspanne abzielst. Außerdem wieso jetzt \phi2(X)=0.99 ? Wenn dann phi2(X)=0.98 und das ist laut Tabelle 2,0 hab ich aus der Tabelle http://eswf.uni-koeln.de/glossar/zvert.htm Ich verstehe es nicht und habe so eine Formel auch noch nirgends gesehen.


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Diophant
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  Beitrag No.32, eingetragen 2022-06-17

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) \quoteon(2022-06-17 17:22 - lauralorio in Beitrag No. 31) Ich bin auf alles eingegangen.. und nirgends schreibst du, dass du nicht auf Konfidenzintervalle oder Fehlerspanne abzielst. \quoteoff -> Beitrag #22. \quoteon(2022-06-17 17:22 - lauralorio in Beitrag No. 31) Außerdem wieso jetzt \phi2(X)=0.99 ? Wenn dann phi2(X)=0.98 und das ist laut Tabelle 2,0 hab ich aus der Tabelle http://eswf.uni-koeln.de/glossar/zvert.htm Ich verstehe es nicht und habe so eine Formel auch noch nirgends gesehen. \quoteoff Dir ist nicht klar, was eine Verteilungsfunktion ist, das ist das Problem. Die Dichtefunktion der Gauß'schen Normalverteilung ist zu ihrem Erwartunsgwert symmetrisch (Gauß'sche Glockenkurve). Daraus resultiert überhaupt die Idee dieser Sigma-Regeln (das wäre so bei anderen Verteilungen überhaupt nicht möglich). Man kann bei der Normalverteilung also bspw. sagen dass, egal wie ihre Parameter auch sind, die Wahrscheinlichkeit, dass eine normalverteilte Zufallsgröße im Intervall \((\mu-\sigma,\mu+\sigma)\) liegt, stets etwa 68,3% beträgt. Das kann man auch für das zweifache der Standardbweichung tun, für das dreifache, usw. und immer wird die Wahrscheinlichkeit für eine solche Umgebung unabhängig von den Parametern \(\sigma\) und \(\mu\) sein. In unserem Fall benötigen wir eine Umgebung \((\mu-a\cdot\sigma, \mu+a\cdot\sigma)\), so dass \(P(\mu-a\cdot\sigma\le X\le \mu+a\cdot\sigma)=0.98\) gilt. Da wir mit der Standardnormalverteilung rechnen, ist \(\mu=0\). Auf der anderen Seite beschreibt der Wert \(\Phi(x)\) die Wahrscheinlichkeit \(P(X\le x)\) einer standardnormalverteilten Zufallsgröße. Wir benötigen hier aber eine Wahrscheinlichkeit der Form \(P(-x\le X\le x)\). Daher kommt die bekannte Formel \(P(-x\le X\le x)=2\Phi(x)-1\) zum Einsatz, woraus sich dann die Tatsache ergibt, dass wir mit dem Wert \(\Phi(x)=0.99\) arbeiten müssen. Und wenn du das jetzt nicht verstehst: sorry, dann ist das auch deine Bringschuld, dich hinzusetzen und dir das selbst klarzumachen, indem du geeignete Quellen studierst (es ist deine Hausaufgabe, nicht unsere...). Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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lauralorio
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  Beitrag No.33, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-17

Das erklärt alles nicht woher Caban seine Formel her hat. Die habe ich so nirgends gefunden. Also ist P(\mue-a*\sigma<=X<=\mue+a*\sigma) = P(-a*\sigma<=X<=a*\sigma) = P(-x<=X<=x) = 0,98 mit x=a*\sigma Und woher kommt die Formel n*p+Tabellenwert*sqrt(n*p*(1-p)) = ? Und damit hätte ich jetzt zwei Unbekannte n und p in meiner Gleichung.


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Diophant
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  Beitrag No.34, eingetragen 2022-06-17

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) \quoteon(2022-06-17 19:52 - lauralorio in Beitrag No. 33) Das erklärt alles nicht woher Caban seine Formel her hat. Die habe ich so nirgends gefunden. \quoteoff Was hast du denn für eine Vorstellung von Mathematik? Es geht doch nicht darum, alles in eine Formel zu stopfen und diese Formeln brav auswendig zu lernen oder irgendwo nachzuschlagen. Caban hat sich etwas überlegt, er hat also über das Problem nachgedacht, einen vermeintlich zielführenden Ansatz gefunden und diesen dann in Form einer Gleichung hingeschrieben. Dabei interessiert es nicht, ob du oder sonst jemand diese Gleichung schon einmal gesehen hat. Es interessiert nur, ob die Gleichung Sinn macht. Und die linke Seite dieser Gleichung macht Sinn. Die rechte wie gesagt in der jetzigen Form nicht. Caban hat sich also in etwa folgendes überlegt: - Ich approximiere einmal die durch diese Stichprobe gegebene Binomialverteilung durch eine geeignete Normalverteilung. - Dann kann ich mit einer Sigma-Umgebung arbeiten (das geht sonst wie gesagt nicht!). - Also benötige ich eine solche Sigma-Umgebung, deren Wahrscheinlichkeit 98% beträgt. - Den dazu notwendigen Faktor \(2.33\) hat er entweder aus so einer Tabelle abgelesen oder mit einem geeigneten Taschenrechner oder einer entsprechenden Software berechnet. - Jetzt hat er sich gesagt: ich schreibe einmal eine Gleichung für die obere Schranke dieser Sigma-Umgebung hin, um eine Gleichung für n in Abhängigkeit von p zu erhalten. - Also hat er zum Mittelwert \(n\cdot p\) dieser Binomialverteilung das \(2.33\)-fache ihrer Standardabweichung hinzuaddiert. Bis hierher ist das alles brauchbar. Nur ist das, was auf der rechten Seite steht, eben keine obere Schranke unserer Sigma-Umgebung. Also stimmt die Gleichung so (noch) nicht. Hättest du den Thread bis hierher gründlich durchgearbeitet, wäre dir das auch längst klar. \quoteon(2022-06-17 19:52 - lauralorio in Beitrag No. 33) Und damit hätte ich jetzt zwei Unbekannte n und p in meiner Gleichung. \quoteoff Und das fällt dir jetzt auf? Wie viel hast du eigentlich über diese Aufgabenstellung bisher selbst nachgedacht? In dieser Aufgabenstellung kommen zwei unbekannte Größen vor, nämlich n und p. Da n gesucht ist, gibt es zunächsteinmal gar keine andere Möglichkeit als zu versuchen, n in Abhängigkeit von p darzustellen. Jetzt noch einmal zur rechten Seite der Gleichung: wenn man mit einer Sigma-Umgebung arbeitet, dann legt man damit automatisch fest, dass sich die 2% Abweichung aus der Aufgabe auf die Grundgesamtheit bezieht und nicht auf den Anteilswert \(p\). Letzteres hat Caban fälschlicherweise angenommen. Jetzt könntest du dir einmal überlegen, was ich mit dieser Ausführung hier meine und darauf aufbauend eine korrekte rechte Seite aufstellen. Und wenn es dann ums Rechnen geht, dann kommt die nächste bereits gestellte und nicht beantwortete Frage erneut auf: über welche Rechenhilfmsittel verfügst du, die du hier einsetzen kannst? Ich weiß echt nicht, wie lange ich das hier noch mitmache. Du hast bisher keine Antwort in diesem Thread wirklich ernsthaft durchgearbeitet und gehst nach wie vor nicht wirklich auf das ein, was man dir schreibt. Vielleicht bist du hier mit völlig falschen Vorstellungen in dieses Forum gekommen, das ist ja auch nicht weiter schlimm. Aber so langsam sollte es dir klar geworden sein: hier wird erwartet, dass du dich an der Lösungsfindung beteiligst, und zwar eigenständig und ernsthaft. Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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lauralorio
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  Beitrag No.35, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-17

Dann ist das nicht der richtige weg. Ich bin in der 11. Klasse und muss hier keine Gleichungen erfinden, sondern ich kann mit Formeln arbeiten. Du setzt das Niveau hier viel zu hoch. Die Aufgabe lässt sich mit Formeln lösen, sonst hätte ich diese nicht gestellt bekommen. Außerdem ist es keine Hausaufgabe, sondern lediglich eine Aufgabe aus dem Förderunterricht und wenn ich diese am Ende nicht habe, interessiert das nur genau eine einzige Person, mich selbst. Dafür bekomme ich keinerlei Bewertung, es ist der Förderunterricht. Ich denke du siehst hier nicht den Blickwinkel eines Schülers und so wie bisher machen deine Beiträge einfach keinen Sinn und nützen mir überhaupt nichts. Ich kenne die Gaußsche Glockenkurve, Normalverteilung und die Binomialverteilung. Das einzige was ich zu diesen Themen kenne ist Werte einsetzen, in den TASCHENRECHNER einsetzen und fertig.


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PhysikRabe
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  Beitrag No.36, eingetragen 2022-06-17

Obwohl Diophant bereits viel Zeit in ausführliche Erklärungen investiert hat, gewinne ich den Eindruck, dass du denkst er würde dein Problem mit Absicht verkomplizieren und dir Antworten vorenthalten. Das ist aber nicht der Fall. \quoteon(2022-06-17 17:22 - lauralorio in Beitrag No. 31) Ich bin auf alles eingegangen.. \quoteoff Das bist du leider nicht... \quoteon(2022-06-17 22:18 - lauralorio in Beitrag No. 35) Dann ist das nicht der richtige weg. Ich bin in der 11. Klasse und muss hier keine Gleichungen erfinden, sondern ich kann mit Formeln arbeiten. \quoteoff Das kannst du hier auch. Diophant hat dir bereits im Detail beschrieben, wie du am besten vorgehst. Jetzt ist deine Mitarbeit gefragt! \quoteon(2022-06-17 22:18 - lauralorio in Beitrag No. 35) Außerdem ist es keine Hausaufgabe, sondern lediglich eine Aufgabe aus dem Förderunterricht und wenn ich diese am Ende nicht habe, interessiert das nur genau eine einzige Person, mich selbst. Dafür bekomme ich keinerlei Bewertung, es ist der Förderunterricht. \quoteoff Das ist ja wunderbar, dann solltest du ja ohne Druck und mit voller Konzentration daran arbeiten können! 🙂 \quoteon(2022-06-17 22:18 - lauralorio in Beitrag No. 35) Du setzt das Niveau hier viel zu hoch. [...] so wie bisher machen deine Beiträge einfach keinen Sinn und nützen mir überhaupt nichts. \quoteoff Ich bin zwar nicht der Meinung, dass das Niveau für dich zu hoch wäre, aber das ist doch eigentlich irrelevant. Die Frage ist eher: Was hält dich davon ab, die ausführlichen Beiträge von Diophant aufmerksam durchzulesen, nachzudenken, und ggf. bei Unklarheiten konkrete (d.h. insbesondere auf den Inhalt der Beiträge bezogene) Fragen zu stellen, auf die Diophant dann mit ergänzenden Erklärungen eingehen könnte? Anders gesagt: Warum arbeitest du nicht mit, sondern möchtest offenbar eine fertige Lösung präsentiert bekommen? Findest du, dass das im Sinne des Förderunterrichts wäre? Nur weil du etwas nicht verstehst, ist es deswegen nicht automatisch sinnfrei. Du bemühst dich nur einfach nicht, darüber nachzudenken, und sei es nur um dir selbst darüber klar zu werden, warum dir die Beiträge "überhaupt nichts nützen". Was genau verstehst du an den Erklärungen nicht? Du bist noch kein einziges Mal wirklich auf Diophants Beiträge eingegangen; deine Antworten in diesem Thread sind alle relativ einsilbig. Wie soll Diophant (oder überhaupt irgendjemand) dann wissen, wo deine Probleme und Verständnisschwierigkeiten liegen, und auf dich angepasste Hilfestellung geben? \quoteon(2022-06-17 22:18 - lauralorio in Beitrag No. 35) Das einzige was ich zu diesen Themen kenne ist Werte einsetzen, in den TASCHENRECHNER einsetzen und fertig. \quoteoff Wenn das wirklich so sein sollte, dann schlage ich vor du lässt das mit der Aufgabe und lernst erst die Grundlagen im Detail nach. Der Taschenrechner sollte nur ein Hilfsmittel darstellen. Das Verständnis für die Thematik musst du dir davon unabhängig erarbeiten. Solange du das nicht verstehst, kann dir hier niemand ernsthaft weiterhelfen... 🙁 Grüße, PhysikRabe


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Tetris
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  Beitrag No.37, eingetragen 2022-06-18

\quoteon(2022-06-15 10:31 - lauralorio im Themenstart) Wie viele Personen müssen befragt werden, damit die relative Häufigkeit mit einer Wahrscheinlichkeit von 98% nicht mehr als 2% vom tatsächlichen Anteil p abweicht? \quoteoff Hallo. Ich interpretiere das so: Der unbekannte Anteil \(p\) einer Merkmalsausprägung in einer hinreichend großen Grundgesamtheit von Merkmalsträgern (den Befragten) soll mithilfe einer Stichprobe (hier: der Befragung) geschätzt werden. Dabei lässt sich die relative Häufigkeit \(p\), mit der die Merkmalsausprägung in der Stichprobe vorkommt, als Punktschätzer für den unbekannten Anteil \(p\) in der Grundgesamtheit verwenden. Aussagekräftiger ist jedoch die Angabe eines Vertrauensintervalls, also eines Bereichs, in dem \(p\) mit einer gewissen Sicherheitswahrscheinlichkeit liegt. Mit größer werdendem Stichprobenumfang \(n\) wird das Vertrauensintervall kleiner und damit besser im Sinne der Aussagefähigkeit. Hier geht es nun darum, den notwendigen Stichprobenumfang \(n\) zu bestimmen, für den die relative Häufigkeit \(h\) mit einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von \(2\Phi(c)-1=0.98\) nicht mehr als \(2\varepsilon =0.02\) vom tatsächlichen Anteil \(p\) abweicht. Um dieses \(n\) zu bestimmen, verwende ich nun eine Formel, die sich etwa einer Formelsammlung, einem Statistiklehrbuch oder auch dem Duden "Rechnen und Mathematik" entnehmen lässt, oder aus der Formel für das Vertrauensintervall durch Umstellen bestimmt werden kann. Auf ausführliche Herleitungen verzichte ich: \[n\ge p\cdot\left(1-p\right)\cdot\dfrac{c^2}{\varepsilon^2}\] Aus \(2\varepsilon =0.02\) ergibt sich \(\varepsilon =0.01\). Aus \(2\Phi(c)-1=0.98\) folgt (Normalverteilung) \(c\approx 2.33\). Solange wir nun nichts über \(p\) wissen, wählen wir \(p=0.5\). Damit wird \(n\) ggf. größer als nötig. Das ist besser, als wenn \(n\) zu klein bestimmt wird. Wollen wir es genauer, machen wir zum Beispiel einen Vortest und benutzen das so ermittelte \(h\) als Punktschätzung für \(p\). Einsetzen und ausrechnen ergibt nun: \[n\ge 0.5\cdot\left(1-0.5\right)\cdot\dfrac{2.33^2}{0.01^2} \quad\Rightarrow\quad n=13\:573\] Aufgrund der gegebenen Daten und mit meiner Interpretation müssen also mindestens 13573 Personen befragt werden. Leider ist nicht alles, was ich hier angesprochen habe, unbedingt Schulstoff. Muss man sich das selbst erarbeiten, ist das schon eine Herausforderung. Ich hoffe, meine grobe Gedankenskizze ist halbwegs richtig und nachvollziehbar. Die Ausgangsfrage gehört zum Thema "Schätzen von Wahrscheinlichkeiten". Lg, T.


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Scynja
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  Beitrag No.38, eingetragen 2022-06-21

Frage: Warum darf p nicht mehr in der Lösung stehen? Sollte man nicht, bevor man sich Werte für p aus den Fingern saugt, eine Lösung in Abhängigkeit von p beschreiben?


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Wario
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  Beitrag No.39, eingetragen 2022-06-21

\quoteon(2022-06-15 10:31 - lauralorio im Themenstart) Wie viele Personen müssen befragt werden, damit die relative Häufigkeit mit einer Wahrscheinlichkeit von 98% nicht mehr als 2% vom tatsächlichen Anteil p abweicht? \quoteoff Wenn wir n Stichproben aus einer Grundgesamtheit N erheben,  ist sowohl X, die Anzahl der Treffer, wie auch p, die Trefferwahrscheinlichkeit,  unbekannt__ ! Ferner sind n und N unbekannt. Da wir überhaupt nichts wissen, werden wir sinnvolle Annahmen treffen müssen: "Die Zufallsversuchsreihe  ist binomialverteilt (mögliche Ereignisse "Treffer" oder "Niete")  und  näherungsweise normalverteilt." Dann gilt für die Zufallsgröße X die Abschätzung: P(abs(X-\m) <= c*\s) \approx 2* \Phi(c) - 1  ...... (\*) Dabei ist c  Parameter der Gauß\-Normalverteilungsfunktion \Phi(c) = 1/root(2\p) int(exp(-1/2 * t^2),t,-\inf,c) Kennt man c, bekommt  man \Phi(c) aus einer Wertetabelle \(und umgekehrt\). Mit den Kenngrößen der Binomialverteilung \m = n p (Erwartungswert) und \s = root(np(1-p)) (Standardabweichung) wird (\*): P(abs(X-n p) <= c* root(np(1-p))) = P(abs(h-p) <= c*root(p(1-p)/n)) \approx 2* \Phi(c) - 1 mit der (unbekannten) relativen Trefferhäufigkeit h = X/n. Dann liegt p zwischen den beiden Lösungen p_1 ; p_2 der Gleichung abs(h-p) = c*root(p(1-p)/n) bzw. (h-p)^2 = c^2 * p(1-p)/n .... (\*\*) Man nennt I = [p_1 ; p_2] ein Vertrauens\- oder Konfidenzintervall, das die (unbekannte) Wahrscheinlichkeit  p mit der Vertrauenswahrscheinlichkeit 2* \Phi(c) - 1 enthält. => Aus o.g. quadratischer Gleichung (\*\*) berechnet sich für die Länge des Konfidenzintervalls  L = p_2 - p_1 \approx 2 c root(h(h-1)/n) \approx L => \big Damit können wir sagen: Bei vorgegebener Vertrauenswahrscheinlichkeit 2 \Phi(c) - 1 und vorgeschriebener Höchstlänge L des Vertrauensintervalls von p muss für den Stichprobenumfang \big n >= 4c^2 /(L^2) * h(1-h) .... (\*\*\*)\normal gelten. Da wir auch über h nichts wissen, können wir lediglich die Abschätzung h(1-h) <= 1/4 verwenden, die sich aus folgender Abb. erschließt, d.h. aus dem Scheitelpunkt der Parabelfunktion y(h)=h(1-h): \geo ebene(300,300) xy(-1,2) name(bild1) plot( x*(1-x) , y = h(1-h)) \geooff geoprint(bild1,y=h(1-h)) => Damit ist (\*\*\*) für jeden Wert h erfüllt, wenn \big n >= c^2 / L^2 eingehalten wird. \big Nun zur Aufgabe: Wenn wir also ein Vertrauensintervall I, in dem p mit 2*\Phi(c)-1 = 98% Vertrauenswahrscheinlichkeit  liegen soll,  fordern und zudem fordern, dass p  um höchstens 2% unsicher sein soll, muss also p_2 - p_1 = L <= 0,02 gelten. Einige (übliche) Werte aus der Wertetabelle:   2*\Phi(c)-1 = 0,901 -> c = 1,65 2*\Phi(c)-1 = 0,950 -> c = 1,96 \big 2*\Phi(c)-1 = 0,980 -> c = 2,33 2*\Phi(c)-1 = 0,990 -> c = 2,58 Mit n >= c^2 / L^2  => n >= 2,33^2 /0,02^2  =>  n >= 13572,25 Es müssten also mindestens 13573 Stichproben genommen werden. Anmerkung: Wenn wir zusätzlich fordern, dass (wegen des hohen Aufwands) höchstens 1% der N vorhanden Personen befragt werden sollen, n <= 0,01 N, müsste es dazu mindestens N = 1357300 befragbare Personen geben. Gibt es weniger, wird man vermutlich einen weniger als 98% genauen Konfidenzintervall \(wie hier im Bsp.\) bzw. größere Unsicherheit oder größere Befragungsraterate \(statt 1%\) wählen müssen.


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