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  Matrix einer Abbildung |
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Red_fox
Wenig Aktiv 
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 |  Themenstart: 2022-05-17
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Lieber Matheplanet,
ich durfte bereits mit Hilfe von Nzimme10 feststellen, dass alle C-linearen Abbildungen von C->C wie folgt beschrieben werden können:
f(z) = f(1) * z, da 1 eine Basis von dem Vektorraum C über C ist, kann nach dem Prinzip der linearen Fortsetzung f(1) zu einer beliebigen komplexen Zahl w linear fortgesetzt werden -> Daher sind alle C-linearen Abbildungen der Gestalt f(z) = z*w.
Nun beschäftige ich mich mit der Problematik, eine Matrix zu genau dieser Abbildung zu bestimmen. Dies mit folgender Aufgabenstellung:
C ist ein R-Vektorraum der Dimension 2 mit Basis {1, i}. Bestimmen sie zu ihrer bestimmten C-linearen Abbildungen die Matrix Af. Da die Dimension zwei ist mit 2 Basen, handelt es sich um eine 2x2 Matrize. Mein Ansatz ist demnach:
f(1) = 1*w = a+bi
f(i) = i*w = i*(a+bi) = ia-b
Damit ich eine 2x2 Matrize hieraus erhalte gehe ich davon aus, dass ich
den Imaginären teil b und den realen Teil a als einen Spaltenvektor auffassen muss. Ich komme dabei auf folgende Lösung:
Matrize Af = Vektor (a,b) und Vektor (-b,a) nebeneinander. Könnte mir vielleicht jemand sagen ob das soweit richtig ist 🙂
Mit freundlichen Grüßen
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Diophant
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-05-17
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Hallo,
\quoteon(2022-05-17 04:57 - Red_fox im Themenstart)
C ist ein R-Vektorraum der Dimension 2 mit Basis {1, i}. Bestimmen sie zu ihrer bestimmten C-linearen Abbildungen die Matrix Af. Da die Dimension zwei ist mit 2 Basen, handelt es sich um eine 2x2 Matrize. Mein Ansatz ist demnach:
f(1) = 1*w = a+bi
f(i) = i*w = i*(a+bi) = ia-b
Damit ich eine 2x2 Matrize hieraus erhalte gehe ich davon aus, dass ich
den Imaginären teil b und den realen Teil a als einen Spaltenvektor auffassen muss. Ich komme dabei auf folgende Lösung:
Matrize Af = Vektor (a,b) und Vektor (-b,a) nebeneinander. Könnte mir vielleicht jemand sagen ob das soweit richtig ist 🙂
\quoteoff
Nein, das ist so nicht richtig. Du musst ganz einfach den Realteil wie eine x- und den Imaginärteil wie eine y-Koordinate behandeln.
(Etwas Nachrechnen mit der gebildeten Matrix hätte dir schon gezeigt, dass deine Matrix nicht die gewünschten Bilder für die Basiselemente liefert.)
Gruß, Diophant
[Verschoben aus Forum 'Lineare Algebra' in Forum 'Lineare Abbildungen' von Diophant]
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Red_fox
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-17
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Hallo Diophant,
ich meine genau das gemacht zu haben. Bei meiner Abbildungsmatrix:
a -b
b a
habe ich doch als 1 Vektor (a,b) mit a als Realteil (x-Koordinate) und b als Imaginärteil (y-Koordinate). Äquivalent dazu f(i) mit (-b,a).Übersehe ich gerade etwas?
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Diophant
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| Beitrag No.3, eingetragen 2022-05-17
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
\quoteon(2022-05-17 13:39 - Red_fox in Beitrag No. 2)
ich meine genau das gemacht zu haben. Bei meiner Abbildungsmatrix:
a -b
b a
\quoteoff
Dann hatte ich dich falsch verstanden. In Zukunft einfach gleich \(\LaTeX\) verwenden:
\[A_f=\begin{pmatrix} a&-b\\ b&a \end{pmatrix}\]
Dann sind solche Missverständnisse Vergangenheit.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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Red_fox
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-17
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Hallo,
ich dachte mir schon, dass es durch meine Schreibweise vermutlich zu Missverständnissen kommen wird 😄 Werde ich in Zukunft probieren mit Latex deutlicher zu schreiben.
Vielen Dank, dann war soweit ja alles richtig
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Diophant
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| Beitrag No.5, eingetragen 2022-05-17
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Hallo nochmals,
\quoteon(2022-05-17 13:50 - Red_fox in Beitrag No. 4)
Werde ich in Zukunft probieren mit Latex deutlicher zu schreiben.
\quoteoff
Für die Arbeit hier im Forum findet man das allermeiste, was man benötigt, auf dieser Wikipedia-Seite.
Gruß, Diophant
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Red_fox hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Red_fox hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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