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| Autor |
 Einem Kreis einbeschriebenes Dreieck mit maximalem Flächeninhalt |
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_jst
Neu 
Dabei seit: 16.05.2022
Mitteilungen: 1
 |  Themenstart: 2022-05-16
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Hallo meine Lieben!
Ich bitte um eure Hilfe! 😊 - ich habe die Aufgabe bekommen (genauer Wortlaut):
“Welche von allen in einem Kreis eingeschriebenen Dreiecken (Eckpunkte auf der Kreislinie) besitzen den größten Flächeninhalt? Begründe!”
Ich habe dazu leider überhaupt keinen Ansatz…
Vielen Dank für eurer Hilfe!
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| Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten |
Nuramon
Senior 
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 3705
|  Beitrag No.1, eingetragen 2022-05-16
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Hallo,
betrachte zunächst den Fall, dass zwei Punkte auf dem Kreis fest vorgegeben sind. Wie muss man dann den dritten Punkt wählen, damit das Dreieck maximalen Flächeninhalt hat?
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Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10679
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.2, eingetragen 2022-05-16
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Hallo und willkommen hier im Forum!
Zunächst: im Rahmen von welcher Veranstaltung hast du diese Aufgabenstellung denn bekommen?
Dann: fertige Lösungen werden wir hier nicht anbieten. Dafür aber Hinweise, die im Idelafall zur selbstständigen Bearbeitung der Aufgaben führen.
Bei solchen Aufgaben ist es immer eine Überlegung wert, ein möglichst symmetrisches Beispiel zu betrachten, weil man dort oft schon das gesuchte Extremum findet. Mit welchen Mitteln du dann deine Vermutung beweisen sollst, das hängt natürlich davon ab, in welchem Rahmen die Aufgabe gestellt wurde und was alles zur Verfügung steht.
Gruß, Diophant
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
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co2357
Aktiv
Dabei seit: 25.03.2022
Mitteilungen: 91
Wohnort: Deutschland, Radebeul
 | Beitrag No.3, eingetragen 2022-05-16
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Hallihallo _jst,
wenn ich mich jetzt nicht irre, müsste die Aufgabenstellung so lauten:
"Welches (!) Dreieck von allen in einem Kreis eingeschriebenen Dreiecken (Eckpunkte auf der Kreislinie) besitzt (!) den größten Flächeninhalt? Begründe!"
Es gibt also nur eine Lösung, die bis auf Drehung des Kreises um seinen Ursprung gleich ist.
VG, Christian
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Wario
Aktiv
Dabei seit: 01.05.2020
Mitteilungen: 1208
| Beitrag No.4, eingetragen 2022-05-16
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Ist $R$ der Umkreisradius, dann ist für die Dreiecksfläche $
F=2R^2\, \sin(\alpha)\,\sin(\beta)\,\sin(\gamma).
$
\showon Beweis.
Nach dem erweiterten Sinussatz ist $
2R = \dfrac{a}{\sin(\alpha)}
=\dfrac{b}{\sin(\beta)}
=\dfrac{c}{\sin(\gamma)}
$
Für das Produkt mit der Dreiecksfläche $F$ wird
$\Rightarrow~~
R\cdot F
= \dfrac{a}{2\,\sin(\alpha)} \cdot \dfrac{b\, c}{2}\,\sin(\alpha)
= \dfrac{a\, b\, c}{4}
$
$\begin{array}{l l}
\Rightarrow~~ F
&= \dfrac{a\, b\, c}{4R} \\[1em]
&= \dfrac{2R\sin(\alpha)\cdot 2R\sin(\beta)\cdot 2R\sin(\gamma)}{4R} \\[1em]
&=2R^2\, \sin(\alpha)\,\sin(\beta)\,\sin(\gamma) \hspace{2cm}\square
\end{array}
$
\showoff
Damit lässt sich das gesuchte Dreieck als Extremwertaufgabe mit zwei Veränderlichen bestimmen.
PS:
· Schätze mal, das ist auch der nichtgenannte Hintergrund / Rahmen / Thema dieser Aufgabe.
· Wer immer das verschoben hat: das ist aber nicht unbedingt Schulmathematik. Der Themenstarter hat auch "U" wie Uni angegeben.
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Kuestenkind
Senior
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2566
| Beitrag No.5, eingetragen 2022-05-20
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Dafür braucht man aber keine Differenzialrechnung. Auf \([0,\pi]\) ist \(\sin x\) konkav, und somit nach Jensen \(\frac{\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma}{3}\leq \sin\left(\frac{\alpha+\beta+\gamma}{3}\right)\) und somit \(\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma\leq \frac{3}{2}\sqrt{3}\) mit Gleichheit im Fall \(\alpha = \beta = \gamma\) (wenn ich mich recht erinnere, auch im Olympiaden-Thread irgendwo bestimmt zu finden). Damit lässt sich auch schon ein Beweis führen:
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/45489_Bildschirmfoto_2022-05-20_um_22.10.20.png
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/45489_Bildschirmfoto_2022-05-20_um_22.10.50.png
Für dein Produkt folgt einfach aus AM-GM:
\(\displaystyle \left(\sin \alpha \sin\beta\sin\gamma\right)^\frac{1}{3}\leq \frac{\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma}{3}\leq \frac{1}{2}\sqrt{3}\)
und somit:
\(\displaystyle \sin \alpha \sin\beta\sin\gamma\leq \frac{3}{8}\sqrt{3}\) mit Gleichheit wiederum für \(\alpha = \beta = \gamma\).
Gruß,
Küstenkind
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zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4614
 | Beitrag No.6, eingetragen 2022-05-20
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\quoteon(2022-05-16 20:47 - co2357 in Beitrag No. 3)
wenn ich mich jetzt nicht irre, müsste die Aufgabenstellung so lauten:
"Welches (!) Dreieck von allen in einem Kreis eingeschriebenen Dreiecken (Eckpunkte auf der Kreislinie) besitzt (!) den größten Flächeninhalt? Begründe!"
\quoteoff
Du irrst dich. Auch wenn Eindeutigkeit bis auf Symmetrietransformationen vorliegt, gibt es doch mehrere Lösungen. Daher ist der Plural im Startbeitrag korrekt.
Wenn du den Singular verwenden willst, kannst du das "bis auf Symmetrietransformationen" nicht einfach unter den Tisch fallen lassen, sondern musst es explizit aussprechen.
--zippy
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Nuramon
Senior
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 3705
| Beitrag No.7, eingetragen 2022-05-21
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\d}{{\rm d}}
\newcommand{\rg}{\operatorname{rg}}
\newcommand{\spur}{\operatorname{spur}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil}
\newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\)
Mit meinem Vorschlag aus No.1 geht es ganz ohne Trigonometrie:
Sei $f:S^1\times S^1\times S^1\to \IR$ die Abbildung, die einem Dreieck auf dem Einheitskreis dessen Flächeninhalt zuordnet. $f$ ist stetig und hat eine kompakte Definitionsmenge. Daher nimmt $f$ ein Maximum an.
Wir zeigen, dass Dreiecke, die nicht gleichseitig sind, keine Maximalstellen von $f$ sind:
Wenn im Dreieck $ABC$ die Seiten $AC$ und $BC$ nicht gleich lang sind, dann hat das gleichschenklige Dreieck $ABC'$ einen größeren Flächeninhalt (da gleiche Seite und größere Höhe).
$
\begin{tikzpicture}
\tikzmath{\r =4; \a = -140; \b = -40; \c = -(\a+\b)/2;}
\draw (0,0) circle (\r);
\draw (\b:\r) coordinate (B);
\draw (\a:\r) coordinate (A);
\draw (115:\r) coordinate (C);
\draw (\c:\r) coordinate (C');
\draw (A)--(B)--(C)--cycle;
\draw [dashed] (A)--(C')--(B);
\foreach \P/\p in {A/below left, B/below right, C/above left, C'/above right}
{
\draw[fill=white] (\P) circle (2pt) node[\p]{$\P$};
}
\end{tikzpicture}
$
Der maximale Flächeninhalt tritt also für gleichseitige Dreiecke auf.\(\endgroup\)
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ebikerni
Aktiv
Dabei seit: 17.10.2020
Mitteilungen: 273
| Beitrag No.8, eingetragen 2022-05-21
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Hallo,
ich habe jetzt erkannt, dass alle Winkel und 2 Seiten gleich groß sind
(gleichwinkliges und gleichschenkliges Dreieck).Ich erstelle nun
1 Programm und berechne alle möglichen ca. 21 Elemente des Dreiecks, wenn
jetzt der Radius R = 8 ist.
Auf Ergebnisse bin ich sehr interessiert.
Viele Grüße von ebikerni
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ebikerni
Aktiv
Dabei seit: 17.10.2020
Mitteilungen: 273
| Beitrag No.9, eingetragen 2022-05-23
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Hallo,
die Größte Fläche: Alpha = Beta = Gamma = gleichseitiges Dreieck.
Wenn R = 8 und
Alpha = 60.0 Dreiecksfläche = 83.1384...
Alpha = 60.1 Dreiecksfläche = 83.1374...
Alpha = 59.9 Dreiecksfläche = 83.1374---
Gruß ebikerni
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