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Analysis » Funktionen » Abschnittsweise definierte Funktion
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Universität/Hochschule J Abschnittsweise definierte Funktion
Tamref
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  Themenstart: 2021-11-30

Ich möchte eine Funktion definieren und habe folgende Vorgaben: \(a>0\), \(b>0\) Ist \(x\) im Intervall \([-a,a]\) so ist der Funktionswert 1. Ist \(x\) nicht im Intervall \([-a-b,a+b]\)so ist der Funktionswert 0. Soweit so einfach, nun möchte ich um die Funktion stetig zu machen eine Linie (bzw zwei) zwischen den drei Abschnitten einfügen. Grafisch kann man sich das in etwa so vorstellen: ----------- --------- --------- Und ich möchte jetzt mit zwei geraden die drei Teile verbinden. Ich weiß, dass ich eine solche Verbindung (für zwei Punkte) erzeugen kann duch: Seien \(z,w\) die zu verbindenden Punkte. \[v[0,1] \rightarrow \mathbb{R}, v(t)= z+t(w-z)\] Ich habe in https://www.desmos.com/calculator/ etwas herumgespielt und versucht dies zu nutzen. Nun habe ich aber ja keinen Parameter \(t\) der zwischen 0 und 1 läuft, sondern \(x\) als Eingabe, also habe ich versucht in der Berechnung \(x\) so zu verschieben + strecken/stauchen, dass der T erm danach zwischen 0 und 1 läuft und die Punkte 0 und 1 verbindet (dies sind ja die y-Werte die ich verbinden will. Ich bin dabei auf \[1-\frac{|x|-b}{a} ,\text{falls }b<|x|


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Diophant
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-11-30

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, man kann doch einfach \[f(x)=\bc 0&,&x<-(a+b) \\ \\ \frac{1}{b}x+\frac{b+a}{b}&,&-(a+b)\le x<-a \\ \\ 1&,&-a\le x[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Funktionen' von Diophant]\(\endgroup\)


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Tamref
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-30

Nein, es ist keine weitere Relation bekannt. Die Funktion wurde im Fließtext definiert und der Teil der mir Probleme macht wurde abgehandelt als "das sei die "linear connection" ohne weiter darauf einzugehen. Ich wollte mir das anschaulicher gestalten.


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Diophant
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-11-30

Hier stand etwas falsches
Sorry, ich hatte da einen gedanklichen Hänger beim Durchlesen deiner Frage. Gruß, Diophant



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Diophant
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  Beitrag No.4, eingetragen 2021-11-30

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo nochmal, sorry für die Verwirrung: jetzt passt die Definition in #1 zu deiner Frage und die Sache mit \(a\(\endgroup\)


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Tamref
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-30

Eventuell ist das auch gleichbedeutend und ich sehe es nicht, aber ich möchte noch nachspezifizieren, dass ich wie schon erwähnt Fließtext in eine konkrete Definition "übersetzen" möchte. Ich möchte dabei aber nichts an der Definition ändern. Angegeben ist für \(|x| \in [a,a+b]\) sei der Abschnitt der Funktion definiert als die "linear connection" so, dass die ganze Funktion am Ende stetig ist. Sprich ich habe eine konkrete Intervallvorgabe (ggf. ist das auch ein Fehler in der Literatur?). Zumindest ist aber doch \(|x| \in [a,a+b] \) ungleich den Grenzen die du in deiner "Verbindungsstrecke" genutzt hast oder? Der Betrag im Fließtext ist sicherlich eher hinderlich um es sich klar zu machen und ich hätte auch kein Problem damit den einen Fall (Betrag) in zwei aufzuteilen, so wie du es in deinem Post #1 gemacht hast. LG Tamref


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Diophant
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  Beitrag No.6, eingetragen 2021-11-30

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) \quoteon(2021-11-30 11:51 - Tamref in Beitrag No. 5) Zumindest ist aber doch \(|x| \in [a,a+b] \) ungleich den Grenzen die du in deiner "Verbindungsstrecke" genutzt hast oder? \quoteoff Wie gesagt: ich hatte es zunächst falsch interpretiert. Schau dir die Definiton nochmal in ihrer jetzigen Version an, das sollte auf die von dir geschilderte Situation passen. Hier noch eine Version mit Betragsklammern, dann hat man nur drei Fälle (bei dir stimmt an dieser Stelle u.a. die Steigung nicht): \[f(x)=\bc 1&,&|x|\(\endgroup\)


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Tamref
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-30

Perfekt vielen lieben Dank! Zu so einer Antwort kommt man doch besonders gern nach Hause :D


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