Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Kleine_Meerjungfrau Monkfish epsilonkugel
Mathematik » Stochastik und Statistik » Verteilung normalverteilter Zufallsvariablen
Druckversion
Druckversion
Autor
Universität/Hochschule J Verteilung normalverteilter Zufallsvariablen
hanuta2000
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 05.05.2020
Mitteilungen: 119
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-01-24


Hallo,
Ich bräuchte mal Hilfe bei folgender Aufgabe:
Seien \((X_1,..,X_n) \) unabhängige Zufallsvariablen, \( X_k \sim N(k \nu,1) \). Der Parameter \( \nu \) sei unbekannt.
Bestimmen die Verteilung von \( \hat{\nu_n} = \frac{\sum_{k=1}^n k X_k}{\sum_{k=1}^n k^2}. \)
\( P( \hat{\nu_n} \leq z) = P(\sum_{k=1}^n kX_k \leq z \sum_{k=1}^n k^2) = \int_{- \infty}^{z*\sum_{k=1}^n k^2} f_{\hat{\nu_n}}(x) dx\)

Die ZV \(\sum_{k=1}^n k X_k \) ist soweit ich verstanden habe \( \sim N(v  \sum_{k=1}^n k^2,\sum_{k=1}^n k^2) \), also Dichte \( f_{\hat{\nu_n}}(x) = \frac{1}{2 \pi \sum_{k=1}^n k^2} e^{-\frac{(x-v  \sum_{k=1}^n k^2)^2}{2\sum_{k=1}^n k^2}} \)

Ist das soweit richtig oder habe ich vorher schon einen Fehler gemacht?

LG



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
luis52
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.12.2018
Mitteilungen: 429
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-24


Setze $\alpha=\sum k^2=n(n+1)(2n+1)/6$. Nach  alten Bauernregeln ist $\operatorname{E}[\hat\nu]=\operatorname{E}[\sum k X_k/\alpha]=\operatorname{E}[\sum k X_k]/\alpha$ und $\operatorname{Var}[\hat\nu]=\operatorname{Var}[\sum k X_k/\alpha]=\operatorname{Var}[\sum k X_k]/\alpha^2$ ...
 
vg Luis



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
hanuta2000
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 05.05.2020
Mitteilungen: 119
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-24


Wofür brauche ich denn Erwartungswert und Varianz, wenn ich nur die Verteilung bestimmen will?
Ist das gar nicht der richtige Ansatz, bzw gibt es einen anderen?

LG



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
luis52
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.12.2018
Mitteilungen: 429
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-01-24


$\hat\nu$ ist eine Linearkombination unabhaengiger normalverteilter Zufallsvariablen, also normalverteilt. Nun berechne den Erwartungswert und die Varianz.

Dein Ergebnis zuvor ist falsch.

vg Luis



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
hanuta2000
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 05.05.2020
Mitteilungen: 119
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-24


Na gut, dann ist:
\( E[\hat{\nu}]=\nu \) und
\(Var(\hat{\nu})=\frac{1}{\alpha} \)
wenn ich mich nicht verrechnet habe.
Was mache ich jetzt damit?



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
luis52
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.12.2018
Mitteilungen: 429
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2021-01-24


2021-01-24 21:24 - hanuta2000 in Beitrag No. 4 schreibt:
 
Was mache ich jetzt damit?


Sich freuen, denn du hast die Aufgabe geloest.

Zur Erinnerung, sie lautete: Bestimmen die Verteilung von $\hat\nu$.

vg Luis



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
hanuta2000
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 05.05.2020
Mitteilungen: 119
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-24


Aber die Verteilung ist doch \(F(x)=P(\hat{\nu} \leq x) \)
Stehe ich gerade total auf dem Schlauch? :D



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
luis52
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.12.2018
Mitteilungen: 429
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2021-01-24


2021-01-24 21:37 - hanuta2000 in Beitrag No. 6 schreibt:
Aber die Verteilung ist doch \(F(x)=P(\hat{\nu} \leq x) \)
Stehe ich gerade total auf dem Schlauch? :D
Ja.

\[F(x)=P(\hat\nu\leq x)=\Phi(\sqrt{a}(x-\nu)\,.\]

vg Luis



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
hanuta2000
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 05.05.2020
Mitteilungen: 119
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-24


Wie kommst du denn darauf? Sorry ich blicke gerade nicht durch



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
luis52
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.12.2018
Mitteilungen: 429
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2021-01-24


Ist $X$ normalverteilt mit $\operatorname{E}[X]=\mu$ und $\operatorname{Var}[X]=\sigma^2$, so gilt

\[P(X\le x)=\Phi\left(\dfrac{x-\mu}{\sigma}\right)\,.\]
vg Luis



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
hanuta2000
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 05.05.2020
Mitteilungen: 119
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-24


Ah super, das war mir nicht bekannt (oder schon vergessen). Vielen Dank!



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
hanuta2000 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
hanuta2000 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
Neues Thema [Neues Thema]  Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]