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Mathematik » Analysis » Sternförmige Menge
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Universität/Hochschule Sternförmige Menge
Physics1997
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-12-04


Hallo,
Ich habe eine Frage zu sternförmigen Mengen. Und zwar soll ich zeigen, ob $A=\{z \in \mathbb{C}: |z|<1 \, \, \mathrm{und} \,\, |z+1|> \sqrt2 \} $ sternförmig ist.
Dazu muss ich ja zeigen, ob es einen Punkt $z_0$ gibt, für den $ tz+(1-t)z_0 $ für alle z aus A in der Menge liegt. Nur weiß ich nicht wirklich, wie ich das anstellen soll.
Kann mir jemand einen Tipp geben?
Danke im Voraus!



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-12-04


Hallo Physics1997,

zeichne die Menge doch mal mit einem Grafikprogramm deiner Wahl (oder von Hand auf Papier). Du wirst sehen, dass es sich um eine Art Mondsichel handelt. Ein Sternzentrum kannst du dann graphisch raten. Danach fehlt nur zu zeigen, dass es tatsächlich eines ist.

Viele Grüße
Vercassivelaunos



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-12-04

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
Hallo,

zeichne erstmal die Menge (z.B. in Geogebra).
Dann beschäftige dich mit der etwas einfacheren Frage, ob $A=\{z \in \mathbb{C}: |z|\leq 1 \, \, \mathrm{und} \,\, |z+1|\geq \sqrt2 \}$ sternförmig ist.

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
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Physics1997
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-04


Hallo,
danke schon mal für die Antworten!
Ich habe die Menge bereits gezeichnet und vermute, dass sie sternförmig ist. Wobei ich mir auch da nicht hundertprozentig sicher bin.
Wenn ich zeigen will, dass sie sternförmig ist, wäre es ja wahrscheinlich sinnvoll, sich als geeigneten Kandidaten einen Punkt auf der x-Achse zu wählen, so, dass alle Verbindungslinien aus den Ecken der Sichel zu diesem Punkt noch in der Menge liegen (denn dann müssten ja alle Verbindungslinien noch drin liegen).
Anschaulich kann ich mir das vorstellen, ich weiß nur nicht wirklich, wie ich das mathematisch zeigen kann.



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-12-04

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Korrektur: ich glaube doch nicht, dass das Gebiet sternförmig ist. Dazu folgende Überlegung: die Menge der Sternzentren ist konvex. Sie hat außerdem dieselben Symmetrieeigenschaften wie die Menge selbst. Ist ein Sterngebiet achsensymmetrisch, so auch die Menge der Sternzentren. Das heißt in diesem Fall, dass die Menge der Sternzentren konvex und achsensymmetrisch zur reellen Achse ist. Falls sie nicht leer ist, muss sie deshalb einen Punkt der reellen Achse enthalten. Zeige nun: Sei $z^\ast\in A\cap\mathbb R$. Dann gibt es ein $z\in A$, sodass die Verbindungsstrecke zwischen $z$ und $z^\ast$ nicht vollständig in $A$ liegt. Damit ist kann keine reelle Zahl ein Sternzentrum sein, die Menge der Sternzentren ist daher leer: das Gebiet ist nicht sternförmig.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]
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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-12-04

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
Meine Idee ist folgende:
- Zeige, dass der Abschluss deiner Menge sternförmig ist und bestimme alle Sternzentren. (Tipp dazu: Das Sternzentrum muss von beiden Sichelspitzen durch eine gerade Linie erreicht werden können. Betrachte geeignete Tangenten.)
- Dann würde ich folgenden Satz benutzen, bei dem ich mir aber noch nicht sicher bin ob er gilt:
Wenn $s$ ein Sternzentrum einer Menge $G\subset \IR^n$ ist, dann ist $s$ auch ein Sternzentrum des Abschlusses $\overline G \subset \IR^n$.

In ersten Teil wirst du feststellen, dass alle Sternzentren des Abschlusses deiner Menge nicht in der Menge selbst liegen. Aus dem zweiten Teil folgt daher, dass die Menge selbst nicht sternförmig sein kann.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]
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piquer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-12-04

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
2020-12-04 14:42 - Nuramon in Beitrag No. 5 schreibt:
Wenn $s$ ein Sternzentrum einer Menge $G\subset \IR^n$ ist, dann ist $s$ auch ein Sternzentrum des Abschlusses $\overline G \subset \IR^n$.

Ist $x \in \bar G$, so gibt es eine approximierende Folge $(x_n)_n$ in $G$.
Da $s$ Sternzentrum von $G$ ist, gilt für alle $t \in [0,1]$:
$$ t s + (1 - t) x_n \in G.
$$ Durch Grenzübergang $n \to \infty$ folgt somit für alle $t \in [0, 1]$:
$$ t s + (1 - t) x \in \bar G,
$$ d.h. $\bar G$ ist sternförmig mit Zentrum $s$.
\(\endgroup\)


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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-12-04


@piquer: Danke! Geht also doch deutlich einfacher als ich dachte.



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Physics1997
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-04


Vielen Dank für die Antworten! Ich habe es jetzt hinbekommen. :)



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piquer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-12-04


Das kommt plötzlich. Hier beschäftigen sich drei Senioren des Forums mit deinem Problem. Teilst du bitte deine Lösung, damit auch andere profitieren können?



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
algbr
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2020-12-04


Hi,

wenn man die Menge plottet, sieht man doch, dass nur alles Sternzentrum sein kann, was sich hinreichend nahe der Koordinate $(1, 0)$ befindet. Wenn jetzt aber der Kreis, der von der zweiten Ungleichung gebildet wird bei $(0,1)$ von rechts betrachtet eine Steigung von weniger als 45 Grad besitzt, gibt es auch kein Sternzentrum in der Nähe von $(1, 0)$.

Fraglich, wie man aus der Anschauung jetzt einen formalen Beweis baut. Irgendwie graphentheoretisch und mit dem Jordanschen Kurvensatz? Würde mich nicht wundern, wenn man das auf ein Problem reduzieren kann, dass bestimmte Graphen nicht planar sind. Zunächst einmal nur reine Intuition...



[Die Antwort wurde nach Beitrag No.7 begonnen.]



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algbr
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2020-12-04


Für Koordinaten die nicht auf der x-Achse liegen, müsste man mit etwas Aufwand zeigen können, dass auf der zum Punkt spiegelverkehrten Hälfte der Sichel ein Punkt existiert, zu dem keine Verbindungsstrecke existiert die vollständig in der Sichel liegt. Ab dort müsste man sich dann ja nur noch mit Punkten auf der x-Achse als mögliches Sternzentrum beschäftigen. Und so bekommt man es dann wohl doch elementar gelöst.



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2020-12-04

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2020-12-04 19:03 - algbr in Beitrag No. 11 schreibt:
Für Koordinaten die nicht auf der x-Achse liegen [...]

Dass es reicht, die $x$-Achse zu betrachten, habe ich hier gezeigt:

2020-12-04 14:37 - Vercassivelaunos in Beitrag No. 4 schreibt:
Korrektur: ich glaube doch nicht, dass das Gebiet sternförmig ist. Dazu folgende Überlegung: die Menge der Sternzentren ist konvex. Sie hat außerdem dieselben Symmetrieeigenschaften wie die Menge selbst. Ist ein Sterngebiet achsensymmetrisch, so auch die Menge der Sternzentren. Das heißt in diesem Fall, dass die Menge der Sternzentren konvex und achsensymmetrisch zur reellen Achse ist. Falls sie nicht leer ist, muss sie deshalb einen Punkt der reellen Achse enthalten. [...]

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]
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algbr
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2020-12-04


Ich skizziere mal meine Lösung:

Sei $\epsilon >0$ derart gewählt, dass $\sqrt{2}-1<1-\epsilon$ gilt.

Dann gibt es eine Sekante, die den großen Kreis in $(0,1)$ schneidet, der durch die zweite Ungleichung der Ausgangsmenge A gebildet wird und welche außerdem durch den Punkt $(1-\epsilon, 0)$ auf der x-Achse verläuft.

Der zweite Schnittpunkt der Sekante mit dem großen Kreis ergibt sich als $(c, \sqrt{2-(c+1)^2})$ wobei $c:= \frac{ -2 ((1-\epsilon)^2 - (1-\epsilon))}{(1-\epsilon)^2 + 1}$

Um das einzusehen, startet man mit der Zweipunkteform der Geradengleichung, setzt einen Punkt auf $(0, 1)$, und setzt weiter voraus, dass $1-\epsilon$ Nullstelle ist. Dann erhält man $0=(y-1)(1-\epsilon)+x$. Setzt man nun für $y$ die Kreisfunktion für den großen Kreis ein und löst nach $x$ auf, bekommt man c heraus.

Für ein $\epsilon >0$ mit $\sqrt{2}-1<1-\epsilon$ schneidet die Verbindungsstrecke von $(0,1)$ und $(1-\epsilon, 0)$ den großen Kreis also immer in einer weiteren Koordinate im ersten Quadranten.

Wegen der Konkavität der Kreisfunktion kann man die Steigung der Geraden durch den Punkt $(1-\epsilon, 0)$ nun stets derart geringfügig erhöhen, dass sich weiterhin eine Sekante ergibt und der hintere Schnittpunkt mit der großen Kreisfunktion sich von der Koordinate $(0,1)$ nach rechts und nach unten verschiebt (eben dem Rand des Kreis entlang). Der Teil der Geraden der "hinter" diesem neuen Schnittpunkt liegt, besteht dann aus Punkten, die von keiner Gerade durch $(1-\epsilon, 0)$ erreicht werden können, ohne den großen Kreis zu schneiden und somit die Sichel zu verlassen, was bedeutet dass $(1-\epsilon, 0)$ kein Sternzentrum sein kann.

Hier zwei Skizzen dazu:


Zu den Punkten $A=1-\epsilon$ und $B=(0,1)$ finden wir einen Punkt $C$, der den großen Kreis schneidet. Indem wir die Steigung der Geraden durch $A$ leicht erhöhen, verschieben wir $B$ entlang des großen Kreises und erhalten:



Alles was auf der Geraden hinter der Strecke zwischen $C$ und $B$ liegt, kann also nicht von $A$ durch einen Streckenzug erreicht werden, ohne die Sichel zu verlassen.


 



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