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 Messbarkeit und Lebesgueintegral |
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cool97
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Hey an alle Interessierten, brauche bei folgender kurzer Aufgabe Hilfe:
Es sei f : (R, $B_{1}$) → (R, $B_{1}$) definiert durch f(x) := 0, falls x $\notin$ Q\{0} und f(x) := $\frac{1}{p*q^{2}}$ , falls x = p/q, q ∈ N, p ∈ Z\{0} teilerfremd.
Zeigen Sie, dass f messbar ist und berechnen Sie $\int$ fd $λ_{1}$ und $\int$ f d#. Dabei seien $λ_{1}$ das Lebesgue-Maß und # das Zählmaß auf (R, $B_{1}$).
Hinweis: Verwenden sie ohne Beweis den Primzahlsatz von Euler, um das Integral $\int$ f d# zu berechnen
Kann man das hier bei der Messbarkeit ähnlich machen wie hier bspw. auf Wikipedia de.wikipedia.org/wiki/Messbare_Funktion unter den Elemenateren Beispielenn (Bsp. 2)?
Und bezüglich der Integration kann man das ganze ja wie beim Riemannintegral behandeln, allerdings tue ich mich da beim Aufschreiben noch schwer. Muss man hierbei nicht sogar den Logarithmus verwenden um 1/x zu integrieren?
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sonnenschein96
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|      Beitrag No.1, eingetragen 2020-12-04
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Hallo cool97,
Nein kann man nicht. Dort werden triviale \(\sigma\)-Algebren, konstante Funktionen und Indikatorfunktionen betrachtet. Nichts davon ist hier der Fall.
Da Du mit \(B_1\) wahrscheinlich die Borel'sche \(\sigma\)-Algebra \(\mathcal{B}(\mathbb{R})\) meinst, hilft Dir eher de.wikipedia.org/wiki/Messbare_Funktion#%C3%9Cberpr%C3%BCfung
2020-12-04 09:49 - cool97 im Themenstart schreibt:
Und bezüglich der Integration kann man das ganze ja wie beim Riemannintegral behandeln, allerdings tue ich mich da beim Aufschreiben noch schwer. Muss man hierbei nicht sogar den Logarithmus verwenden um 1/x zu integrieren?
Um \(\int_{\mathbb{R}}f\,d\lambda_1\) zu bestimmen, musst Du eigentlich nicht einmal rechnen. \(f\) ist doch \(\lambda_1\)-f.ü. gleich \(0\). Der Logarithmus würde nur ins Spiel kommen, wenn Du \(\frac{1}{x}\) über ein Intervall integrieren möchtest, was hier nicht der Fall ist.
\(f\) ist denke ich genau dann bzgl. des Zählmaßes integrierbar, wenn \(\sum_{x\in\mathbb{Q}\setminus\{0\}}\frac{1}{|pq^2|}<\infty\) ist, wobei wir \(x\in\mathbb{Q}\setminus\{0\}\) eben eindeutig als \(x=\frac{p}{q}\) mit \(p\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}\) und \(q\in\mathbb{N}\) teilerfremd schreiben. Wozu man den Primzahlsatz von Euler benötig, ist mir schleierhaft, eigentlich sollte man das einfach durch eine harmonische Reihe abschätzen können und erkennen, dass \(f\) nicht integrierbar ist. Bist Du Dir sicher, dass Du die Funktion richtig abgeschrieben hast? Vielleicht habe ich aber auch einen Denkfehler.
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cool97
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-05
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Meinst du beim ersten Teil der Aufgabe, dass $f^{-1}$((-$\infty$,a]) in R liegen muss? Im Nachsatz steht dann ja noch, dass es auch reicht wenn das a alle rationalen Zahlen durchläuft, denn die angegebenen Intervalle bilden immer ein Erzeugendensystem der borelschen σ-Algebra, was ja in der gegebenen Aufgabe der Fall sein dürfte?
Beim zweiten Aufgabenteil verstehe ich nicht so recht, was du damit meinst dass ich nicht einmal rechnen muss? Irgendwas muss für das Integral auf $λ_{1}$ doch herauskommen.
Für das Integal des Zählmaßes sollen wir das ganze mithilfe von $\sum_{p\in N, p prim}$ 1/p = $\infty$ lösen, wobei ich aber aktuell keine richtige Idee habe, wie ich das abschäzen kann..
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sonnenschein96
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| Beitrag No.3, eingetragen 2020-12-05
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Es muss \(f^{-1}((-\infty,a])\in\mathcal{B}(\mathbb{R})\) für alle \(a\in\mathbb{R}\) sein. Ja es würde auch reichen, dies für alle \(a\in\mathbb{Q}\) zu zeigen, eigentlich musst Du hier aber nur \(a\geq0\) und \(a<0\) unterscheiden: Für \(a\geq0\) ist \(f^{-1}((-\infty,a])=\mathbb{R}\setminus A_a\) und für \(a<0\) ist \(f^{-1}((-\infty,a])=A_a\) mit gewissen Mengen \(A_a\subseteq\mathbb{Q}\setminus\{0\}\) (die Du nicht näher bestimmen musst).
Ja sicher kommt für \(\int_{\mathbb{R}}f\,d\lambda_1\) etwas heraus, aber eigentlich sollte es Dir möglich sein, das Ergebnis direkt hinzuschreiben. Es gilt ja \(\int_{\mathbb{R}}f\,d\lambda_1=\int_{\mathbb{Q}\setminus\{0\}}f\,d\lambda_1\).
Es gilt \(\int_{\mathbb{R}}|f|\,d\#=\int_{\mathbb{Q}\setminus\{0\}}|f|\,d\#\geq\int_{\mathbb{N}}|f|\,d\#=\sum_{p\in\mathbb{N}}\frac{1}{p}\).
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cool97
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-05
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Ok, vielen Dank dir :)
Versuche die Aufgabe morgen einmal selbständig mithilfe deiner Tipps hinzubekommen
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