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Strukturen und Algebra » Gruppen » Isomorphie von zyklischen Gruppen
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Universität/Hochschule J Isomorphie von zyklischen Gruppen
Phoensie
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  Themenstart: 2020-10-29

Hallo miteinander. Folgenden Satz haben wir heute in der Algebra-Vorlesung behandelt: Sei allgemein $C_r$ eine zyklische Gruppe mit Ordnung $\mathrm{ord}(C_r)=r$. Seien $p,q \in \mathbb{N}$ teilerfremd. Dann gilt: \[ C_{pq} \cong C_p \times C_q. \] Gibt es Beispiele, die illustrieren, warum man Teilerfremdheit von $p$ und $q$ benötigt? (bzw. welche die die Behauptung nicht erfüllen, wenn dies nicht gegeben ist) Ich versteh nicht ganz, wie die Teilerfremdheit fundamental wichtig sein kann hier...


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ochen
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  Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-29

Hallo Betrachte doch mal $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ und $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$. Die erste Gruppe wird von 1 erzeugt. Die zweite Gruppe ist gar nicht zyklisch, da die Summe eines Element mit sich selbst schon $(0,0)$ ist. Somit enthält das Erzeugnis eines Elementes nur das Element selbst und $(0,0)$.


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Triceratops
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  Beitrag No.2, eingetragen 2020-10-30

Tatsächlich gilt auch die Umkehrung. Wenn $C_p \times C_q$ zyklisch ist, dann sind $p,q$ teilerfremd. Der Grund ist: Wenn $d$ ein gemeinsamer Teiler von $p,q$ ist, dann ist auch die Untergruppe $C_d \times C_d$ der Ordnung $d^2$ zyklisch. Hier hat jedes Element als Ordnung höchstens $d$. Also ist $d^2=d$ und damit $d=1$. Oder alterativ: Es gilt $\mathrm{exp}(C_p \times C_q) = \mathrm{kgV}(\mathrm{exp}(C_p),\mathrm{exp}(C_q)) = \mathrm{kgV}(p,q)$, sodass $C_p \times C_q$ genau dann zyklisch ist, wenn $\mathrm{kgV}(p,q) = \mathrm{ord}(C_p \times C_q) = pq$, also wenn $\mathrm{ggT}(p,q)=1$.


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