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Strukturen und Algebra » Gruppen » Ordnung der alternierenden Gruppe
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Universität/Hochschule J Ordnung der alternierenden Gruppe
Phoensie
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-09-27 15:40


Liebes Matheforum

Ich soll folgende Aufgabe bearbeiten: Sei \(A_n:=\{\sigma \in S_n \mid \mathrm{sgn}(\sigma)=1\}\) die Alternierende Gruppe. Sei \(\mathrm{sgn}:S_n \to \{-1,+1\}\) die Signaturabbildung. Bestimme die Ordnung von \(A_n\).

Die Ordnung der Symmetrischen Gruppe \(S_n\) habe ich mittels kombinatorischem Argument zeigen können (\(|S_n|=n!\)), und weil \(A_n \subset S_n\) nichtleere Teilmenge ist, gilt sicher mal
\[
1 \leq \mathrm{ord}(A_n) \leq n!
\]
Ich habe dann (um eine Idee zu erhalten) für \(A_1,A_2,A_3\) explizite Rechnungen gemacht (alle Permutationen aus \(S_1,S_2,S_3\) aufschreiben, Fehlstände zählen, Signatur berechnen) und bin so auf Folgendes gekommen:

Behauptung:
\[
\mathrm{ord}(A_n)=\frac{n!}{2}.
\]
Jedoch weiss ich nicht ganz, wie der Nachweis klappt. Im englischen Wikipedia-Artikel zur Alternierenden Gruppe wird von Kommutatorgruppen gesprochen, die wir noch nicht behandelt haben.

Jedoch stelle ich fest, dass \(\ker(\mathrm{sgn})=A_n\) ist, (da alle geraden Permutationen auf das neutrale Element in \(\{-1,+1\}\) abgebildet werden. Dann ist mir aber ein wenig schleierhaft, inwiefern mir dies die Behauptung liefern könnte...🤔

Habt ihr mir da einen Tipp?



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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-09-27 15:42


Tipp: Homomorphiesatz.


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The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-09-27 15:42


Hallo Phoensie,

die Signaturabbildung ist ein Homomorphismus.

Denk mal an "Kern" und "Nebenklassen".

Viele Grüße

Wally


[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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Phoensie
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-27 16:09


Hi Kezer

Ich denke, du meinst diesen:

Homomorphiesatz: Ist $f: A \to B$ ein Homomorphismus und $\ker(f)$ der Kern von $f$, dann ist $A/\ker(f)$ isomorph zum Bild $f[A]$.

Also auf unsere Abbildung hier angewandt:
\(\mathrm{sgn}: S_n \to \{-1,1\}\) homomorph \(\implies S_n/A_n \cong \mathrm{sgn}[S_n]=\{-1,+1\}\).

Wiederum ist \(A_n\) selbst eine Gruppe, womit auch gelten muss, dass:
\(\mathrm{sgn}: A_n \to \{1\}\) homomorph \(\implies A_n/A_n \cong \mathrm{sgn}[A_n]=\{1\}\).

Die Homomorphie der Signaturabbildung mussten wir bereits zeigen, und ebenso, dass \(A_n \triangleleft S_n\) ein Normalteiler ist (dies hat geklappt).

Nun bedeutet Isomorphie von Gruppen ja, dass ein Isomorphismus (d.h. eine homomorphe Bijektion) zwischen ihnen existiert, womit wiederum die Kardinalitäten bzw. Ordnungen der Mengen identisch wären und gelten muss, dass
\[
\mathrm{ord}(S_n/A_n) = 2.
\]



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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-09-27 16:19


Ja, und für Normalteiler $N \subseteq G$ gilt $|G/N| = \frac{|G|}{|N|}$.


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Phoensie
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-27 17:12


Wow, spitze. Danke vielmals!

Deine letzte Bemerkung habe ich sogar noch in meinen Notizen in einer Ecke gekritzelt gefunden. Schönen Sonntag noch.👍🤗



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