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Mathematik » Stochastik und Statistik » Bedingte Wahrscheinlichkeit, Choleraepidemie
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Universität/Hochschule J Bedingte Wahrscheinlichkeit, Choleraepidemie
Phoensie
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-07-15 21:22


Liebes Matheforum
Könnt ihr euch folgenden Lösungsweg mal ansehen, bitte?

\(\textbf{Aufgabe:}\)
25% einer Bevölkerung sind gegen Cholera geimpft. Während einer Epidemie stellt man fest, dass jeder fünfte Kranke zuvor eine Impfung erhalten hatte. Zudem wird erfasst, dass innerhalb der Menge der Geimpften ein Zwölftel erkrankt ist. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erkrankt ein geimpfter Einwohner? Ist der Impfstoff effektiv?

\(\textbf{Mein Lösungsvorschlag:}\)
Definiere folgende Ergebnisse:
\[
\begin{align*}
    A &:= \{\text{geimpft}\}, \\
    \overline{A} &:= \{\text{nicht geimpft}\}, \\
    B &:= \{\text{krank}\}, \\
    \overline{B} &:= \{\text{gesund}\}.
\end{align*}
\] Gegeben sind
\[
\begin{align*}
    \mathbb{P}(A) = \frac{1}{4}
    ,\;
    \mathbb{P}(\overline{A}) = \frac{3}{4}
    ,\;
    \mathbb{P}(A \cap B) = \frac{1}{12}
    ,\;
    \mathbb{P}(A|B) = \frac{1}{5}.
\end{align*}
\] Es gilt
\[
\begin{align*}
    \mathbb{P}(B|A)
    = \frac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(A)}
    = \frac{\frac{1}{12}}{\frac{1}{4}}
    = \frac{1}{3}.
\end{align*}
\] Die Effektivität des Impfstoffes ist meiner Meinung nach Ansichtssache und ohne Spezifizierung, was als "effektiv" gelten darf, kann keine Aussage hierzu gemacht werden (obwohl ein Impfschutz in 67% der Fälle suboptimal ist).

Habe ich die gegebenen und gesuchten Wahrscheinlichkeiten korrekt aufgestellt, oder lese ich die Aufgabenstellung falsch?



\(\textbf{Bemerkung:}\)
Die Originalaufgabe war Französisch und lautete:
"Le quart d’une population est vacciné contre le choléra. Au cours d’une épidémie, on constate qu’il y a parmi les malades un vacciné pour 4 non-vaccinés, et qu’il y a un malade sur 12 parmi les vaccinés. Quelle est la probabilité qu’un non-vacciné tombe malade ? Le vaccin est-efficace ?" (falls ich Übersetzungsfehler gemacht hätte...)



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Caban
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Aus: Brennpunkt einer Parabel
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-15 21:33


Hallo

Meiner Meinung nach sind eine Werte falsch. Benutze hier lieber eine Vierfeldertafel.

Gruß Caban



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emmi82
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-07-15 21:45


Hi,

"Quelle est la probabilité qu’un non-vacciné tombe malade ?" = Mit welcher Wahrscheinlichkeit erkrankt ein nicht geimpfter Einwohner?
Gruß emmi



-----------------
"Wer immer nur tut, was er schon kann, bleibt immer das, was er schon ist." Henry Ford
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luis52
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-07-15 22:42


Moin, *ich* lese aus dem Text $\mathbb{P}(B\mid A)=\dfrac{1}{12}$. Ansonsten pflichte ich Caban bei.

vg Luis



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emmi82
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-07-20 11:11


Hi,

Luis hat Recht, und ich habe es nun durchgerechnet und bei meiner Lösung kann man schon eine Aussage fällen.

emmi


-----------------
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Phoensie
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Aus: Muri AG, Schweiz
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-26 10:39


Ok, ich habe mich nochmal an die Aufgabe gesetzt und bin auch zu einem Resultat gelangt.

\(\textbf{Aufgabenstellung (korrigiert):}\)
25% einer Bevölkerung sind gegen Cholera geimpft. Während einer Epidemie stellt man fest, dass jeder fünfte (d.h. 20%) der Kranken zuvor eine Impfung erhalten hatte. Zudem wird erfasst, dass innerhalb der Menge der Geimpften ein Zwölftel erkrankt ist.
- Mit welcher Wahrscheinlichkeit erkrankt ein \(\textbf{nicht}\) geimpfter Einwohner?
- Ist der Impfstoff effektiv?



Definiere folgende Ergebnisse:
\[
\begin{align*}
    A &:= \{\text{geimpft}\}, \\
    \overline{A} &:= \{\text{nicht geimpft}\}, \\
    B &:= \{\text{krank}\}, \\
    \overline{B} &:= \{\text{gesund}\}.
\end{align*}
\] Gegeben sind
\[
\begin{align*}
    \mathbb{P}(A) &= \frac{1}{4} \\
    \mathbb{P}(\overline{A}) &= 1-\mathbb{P}(A) = \frac{3}{4} \\
    \mathbb{P}(B|A) &= \frac{1}{12} \\
    \mathbb{P}(A|B) &= \frac{1}{5}
\end{align*}
\] Es gilt nach Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit
\[
\begin{align*}
    \mathbb{P}(B|A) &= \frac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(A)} \\
    \implies \mathbb{P}(A \cap B) &= \mathbb{P}(B|A) \cdot \mathbb{P}(A)
    = \frac{1}{12} \cdot \frac{1}{4}
    = \frac{1}{48}
\end{align*}
\] und ebenso
\[
\begin{align*}
    \mathbb{P}(A|B) &= \frac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(B)} \\
    \implies \mathbb{P}(B) &= \frac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(A|B)} = \frac{\frac{1}{48}}{\frac{1}{5}} = \frac{5}{48}.
\end{align*}
\] Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit, dass ein nicht geimpfter Einwohner erkrankt (d.h., dass ein Einwohner erkrankt im Wissen, dass dieser nicht geimpft ist), gilt
\[
\begin{align*}
    \mathbb{P}(B|\overline{A})
    &= \frac{\mathbb{P}(\overline{A} \cap B)}{\mathbb{P}(\overline{A})} \\
    &= \frac{\mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(\overline{A})} \\
    &= \frac{\mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A|B) \cdot \mathbb{P}(B)}{\mathbb{P}(\overline{A})} \\
    &= \frac{\mathbb{P}(B) \cdot (1 - \mathbb{P}(A|B))}{\mathbb{P}(\overline{A})} \\
    &= \frac{\frac{5}{48} \cdot (1 - \frac{1}{5})}{\frac{3}{4}} \\
    &= \frac{1}{9}
\end{align*}
\]
Sofern diese Berechnungen stimmen, ist der Impfstoff effektiv in dem Sinne, dass er das Infektionsrisiko senkt, denn das Risiko, zu erkranken, wenn man geimpft ist, ist \(\mathbb{P}(B|A)=\frac{1}{12}\), und somit geringer als \(\mathbb{P}(B|\overline{A})=\frac{1}{9}\).

Wäre toll, wenn dies jemand bestätigen könnte.😄



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Diophant
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Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-07-26 11:00

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

die Wahrscheinlichkeit \(P(B|\overline{A})=\frac{1}{9}\) passt, ebenso deine Schlussfolgerung hinsichtlich der Effektivität der Impfung.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Phoensie
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-26 11:30


Super, danke Diophant!👍



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Phoensie hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Phoensie hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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