Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Differentiation » Differentialrechnung in IR » Integral über differenzierbare Funktionen differenzieren
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Universität/Hochschule Integral über differenzierbare Funktionen differenzieren
Potheker
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 26.11.2017
Mitteilungen: 67
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-10-21


Gegeben seien $f,g \in C^1(\mathbb{R})$, untersuche die durch

$$F(t) = \int_0^t f(t-s)g(s) ds$$
gegebene Funktion auf Differenzierbarkeit und bestimme gegebenenfalls ihre Ableitung.

Nun habe ich zunächst die Definition eingesetzt:

$\begin{split}
F'(t) &= \lim\limits_{h \rightarrow 0}\frac{1}{h}\left[ \int_0^{t+h} f(t+h-s)g(s) ds - \int_0^t f(t-s)g(s) ds \right] \\
 &= \lim\limits_{h \rightarrow 0}\int_0^{t}\frac{1}{h} [f(t+h-s)- f(t-s)]g(s) ds \\
&+ \lim\limits_{h \rightarrow 0} \int_t^{t+h} \frac{1}{h}f(t+h-s)g(s) ds
\end{split}$

Nun schätze ich mal, dass ich jetzt den ersten Grenzwert in das Integral ziehen will, dafür bräuchte ich aber zB gleichmäßige Konvergenz. Ich kann die Funktionen durch ihre Einschränkungen auf ein Kompaktum ersetzen, aber das bringt immernoch keine glm. Konvergenz.

Bei dem zweiten Summanden habe ich allerdings noch gar keine Idee...



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Triceratops
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 4319
Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-10-22


Kann man vielleicht den Satz von der majorisierten Konvergenz anwenden?

Zur Kompaktheit: Beachte, dass $F(t)$ nur von $f|_{[0,t]}$ und $g|_{[0,t]}$ abhängt.

EDIT: Noch eine andere Idee: Kennst du die Fourier-Transformation? Die hat ja die angenehme Eigenschaft, die Faltung in Multiplikation zu übersetzen.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
wessi90
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.09.2011
Mitteilungen: 2056
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-10-22


Hallo,

lass mich das Problem zunächst etwas allgemeiner formulieren. Du möchtest die Ableitung einer Funktion berechnen, die durch
$$F(t)=\int_0^t h(s,t) \mathrm{d}s$$ gegeben ist und $h$ eine stetig differenzierbare Funktion ist.

Zunächst ist $F(t)$ für jedes $t$ wohldefiniert, denn die Funktion $h_t(s):=h(s,t)$ ist auf jedem Intervall der Form $[0,t]$ stetig und somit beschränkt. Das Integral existiert also.

Mithilfe der Transformationsformel zeigt man dann leicht, dass
$$F(t)=t \int_0^1 h(t u,t) \mathrm{d} u$$ gilt.

Die Ableitung kann nun in das Integral gezogen werden, denn das Integral geht nun über ein kompaktes Intervall. Die partielle Ableitung nach $t$ ergibt dann mit Produkt- und Kettenregel
$$F'(t)=\int_0^1 h(tu,t)+tu D_1 h(tu,t)+t D_2 h(tu,t)\mathrm{d} u$$ wobei der letzte Summand nach der Transformationsformel wieder $\int_0^t D_2 f(s,t)\mathrm{d}s$ ergibt.

Eine Stammfunktion für die ersten beiden Terme ist $H(u,t)=u f(tu,t)$, wie man durch Ableiten nach $u$ nachprüft.

Insgesamt erhält man dann
$$F'(t)=\int_0^t D_2 h(s,t)\mathrm{d}s+h(t,t)$$ und damit eine explizite Form der Ableitung. Da kann man jetzt natürlich noch die explizite Form von $h$ einsetzen.





Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Potheker hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Potheker wird per Mail über neue Antworten informiert.
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2020 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]