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Mathematik » Analysis » Vorwärts-Rückwärts-Induktion im Beweis der Ungleichheit von geom. und arithm. Mittel
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Autor
Universität/Hochschule J Vorwärts-Rückwärts-Induktion im Beweis der Ungleichheit von geom. und arithm. Mittel
niklasm
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-10-21 00:17


Hallo Zusammen,

es geht um den Beweis, dass das arithmetische Mittel mindestens so groß wie das geometrische Mittel ist.
Dabei kam ich auch relativ weit, bin aber am Ende nach Beweisen der Gültigkeit für alle 2er-Potenzen am Beweis für n-1 gescheitert. (Vorwärts-Rückwärts-Induktion)

Via Google habe ich folgenden Beweis gefunden, wo ein x_n nach Belieben gewählt wird (- und zwar so, dass das Dazunehmen dieses x_n das geometrische Mittel eines Datensets von n-1 Elementen nicht ändert).
Warum ist das legitim? Man muss es ja für alle beliebigen Datensets bzw x_n beweisen. Dass sich x_n so ausdrücken lässt, gilt ja im Allgemeinen definitiv nicht. Es würde nur gelten, wenn man alle anderen Werte des Datensets so anpasst, dass ebendiese Bedingung gilt, ohne dabei das arithmetische und geometrische Mittel zu ändern, oder?

Ist das überhaupt möglich? Ich kann mir das nur schwer erklären, und von meiner einzigen eventuellen Erklärung bin ich auch nicht überzeugt, dass man sie einfach so unerklärt im Beweis verwenden kann.




- - -

Der Rest ist natürlich einleuchtend und nur noch triviales Umformen. Aber am Verstehen des Arguments am Anfang scheitere ich. Vielleicht habt ihr anschauliche Erklärungen dafür.



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Kezer
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Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 378
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-10-21 00:25


Hallo,

das ist der Induktionsschritt von $n$ nach $n-1$. Hier ist entsprechend die Ungleichung nicht für $n$ zu beweisen, sondern für $n-1$ mit der Annahme, dass sie für $n$ gilt. (Beachte auch die Implikationspfeile in dem Bild.) Wir nehmen also an, AM-GM sei richtig für ein $n \in \mathbb{N}$. Insbesondere ist die Ungleichung für beliebige $x_1, \dots, x_n$ wahr und somit auch für eine explizite Wahl von $x_n$.

Deshalb wählt der Autor ein solches $x_n$. Es stellt sich am Ende heraus, dass diese Wahl tatsächlich einen Beweis für $n-1$ liefert. (Übung: Mache Dir klar, wieso diese Wahl intuitiv gut ist.)


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The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei



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niklasm
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 06.02.2017
Mitteilungen: 17
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-21 00:37


Vielen Dank, ich glaube jetzt hat es Klick gemacht. Ich war vom Gedankengang noch zu sehr im Beweis für beliebige n. Aber weil man eben die Wahrheit für beliebige n annehmen darf, also auch explizite, kann man aus dieser Wahrheit bei gegebenem x_n weitere Wahrheiten folgern. Und  durch diese schlaue Wahl, folgt eben unter anderem die Wahrheit für n-1.

Dieses Induktionsprinzip wurde in der Vorlesung nicht eingeführt und ein Übungszettel hat nur angedeutet, wie es geht, bzw. die einzelnen Teilschritte (für n=1, für n=2, für n=2^k, für alle n) in Teilaufgaben abverlangt - daher ist mir das noch neu.

Sind bei Vorwärts-Rückwärts-Beweisen solche geschickten Wahlen, die die Wahrheit für n-1 folgern lassen, typisch, oder kann man das so allgemein nicht sagen und es gibt genauso gut viele Fälle, wo es sich auch einfach "leicht einsetzen und herunterrechnen" lässt?



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Kezer
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 04.10.2013
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-10-21 05:20


2019-10-21 00:37 - niklasm in Beitrag No. 2 schreibt:
Sind bei Vorwärts-Rückwärts-Beweisen solche geschickten Wahlen, die die Wahrheit für n-1 folgern lassen, typisch, oder kann man das so allgemein nicht sagen und es gibt genauso gut viele Fälle, wo es sich auch einfach "leicht einsetzen und herunterrechnen" lässt?


Das hat nicht viel speziell mit Vorwärts-Rückwärts-Induktion zu tun. Wie in allen Induktionsbeweisen, versucht man von einer Aussage $A(n)$ auf eine andere Aussage zu schließen (das hat dann auch nicht zwingend mit Induktionsbeweisen zu tun).

In diesem Fall bietet sich eine solche explizite Wahl eben gut an. Es ist zwar eine schlaue Wahl, aber auch eine natürliche Wahl.

Ich lese auch heraus, dass Du einige leichte Induktionsbeweise kennengelernt hast. Das ist bei Weitem nicht so der Fall, sehr oft muss man geschickt und kreativ sein, um eine Induktion auszuführen (wie z.B. hier). Aber das wirst du sicher noch selber sehen.  smile


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