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Analysis » Ungleichungen » Alternativer unbekannter Lösungsschritt bei Ungleichung mit Betrag
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Universität/Hochschule J Alternativer unbekannter Lösungsschritt bei Ungleichung mit Betrag
ProfSnape
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-10-18


Hallo!


Es geht um folgende Aufgabenstellung:


Ich kann diese Ungleichung in gewohnter "Manier" per Fallunterscheidung und anschließenden Termumformungen lösen und komme auch auf das selbe Ergebnis, wie der Prof in der Vorlesung.
Jedoch wurde hier ein alternativer Weg gewählt, bei welchem ich den ersten Schritt nicht nachvollziehen kann, der da wäre:

fed-Code einblenden

Wieso ist das so bzw. was passiert hier in diesem Schritt?
Also die Sache ist die - das ist doch nicht universell gültig?
Sei x hier x = 8.
Dann würde folgendes rauskommen:

- 1/2 < -2 < 1/2
Hierbei stimmt die erste Teilaussage nicht.
Also muss ich diesen ersten Schritt missverstehen...

Lg,
ProfSnape



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-10-18

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,

das ist jetzt schon höhere Arithmantik, sozusagen.  😁

Spaß beiseite: da wurden einfach beide Fälle zu einer einzigen Ungleichungskette zusammengefasst.

Du kannst dich von der Richtigkeit leicht überzeugen, indem du einmal den Inhalt der Betragsklammer als negativ annimmst und die Ungleichung so umformst, dass auf einer Seite wieder der Term \(2-\frac{x}{2}\) steht.

EDIT: und beachte auch unbedingt den nächsten Beitrag von Ritter!


Gruß, Diophant


[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Ungleichungen' von Diophant]
\(\endgroup\)


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Ritter
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-10-18


2019-10-18 14:07 - ProfSnape im Themenstart schreibt:
Sei x hier x = 8.
Dann würde folgendes rauskommen:

- 1/2 < -2 < 1/2
Hierbei stimmt die erste Teilaussage nicht.

Was passiert denn, wenn du x=8 in die Ausgangsungleichung einsetzt?



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ProfSnape
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-20

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
2019-10-18 14:12 - Diophant in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo,

das ist jetzt schon höhere Arithmantik, sozusagen.  😁

Spaß beiseite: da wurden einfach beide Fälle zu einer einzigen Ungleichungskette zusammengefasst.

Du kannst dich von der Richtigkeit leicht überzeugen, indem du einmal den Inhalt der Betragsklammer als negativ annimmst und die Ungleichung so umformst, dass auf einer Seite wieder der Term \(2-\frac{x}{2}\) steht.

EDIT: und beachte auch unbedingt den nächsten Beitrag von Ritter!


Gruß, Diophant


[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Ungleichungen' von Diophant]

Den Inhalt der Betragsklammer als negativ angenommen (wäre mein 2ter Fall, wenn ich es herkömmlich gemacht hätte)  :


     -(2 - x/2) < 1/2
<->  -2 + x/2   < 1/2
<->     x/2     < -3/2
                          ?
Keine Ahnung, was du mir da sagen wolltest.

@Ritter:
In welche Gleichung?
in die:
|2 - x/2| < 1/2
für x = 8   => Ergebis: |-2| < 1/2 <-> 2 < 1/2 oder Fallunterscheidung:
Mind. für ein Ergebnis stimmt es nicht.


\(\endgroup\)


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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-10-20

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,

2019-10-20 13:32 - ProfSnape in Beitrag No. 3 schreibt:
Den Inhalt der Betragsklammer als negativ angenommen (wäre mein 2ter Fall, wenn ich es herkömmlich gemacht hätte)  :


     -(2 - x/2) < 1/2
<->  -2 + x/2   < 1/2
<->     x/2     < -3/2
                          ?
Keine Ahnung, was du mir da sagen wolltest.

Angenommen, der Inhalt der Klammern wäre negativ, dann kehrt sich beim Weglassen der Klammern das Vorzeichen genau so um, wie du es gemacht hat (wobei die dritte Zeile deiner obigen Rechnung einen Fehler enthält, was aber hier erstmal nichts zur Sache tut). Dann sieht die Ungleichung so aus:

\[-2+\frac{x}{2}<\frac{1}{2}\]
Wenn man das jetzt mit \(-1\) durchmultipliziert, wird daraus

\[2-\frac{x}{2}>-\frac{1}{2}\quad\Leftrightarrow\quad -\frac{1}{2}<2-\frac{x}{2}\]
So war es gemeint.

Man kann sich so, wenn man noch \(2\)  subtrahiert und anschließend mit \(-2\) multipliziert, die Untersuchung der beiden Fälle für die Klammer sparen und das ganze auf einen Rutsch erledigen, das ist der Witz an der Vorgehensweise.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-10-20

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Hallo ProfSnape,

was du brauchst ist die Äquivalenz

\(|a|<b\Leftrightarrow -b<a<b\) (sinnvoll für \(b\ge 0\)).

Merk dir: \(|c-d|\) ist der Abstand von \(c\) und \(d\), \(|a|=|a-0|\) ist der Abstand von \(a\) zu Null.
Dann kannst du dir Vieles bildlich vorstellen und das Rechnen wird einfacher.

Wally
\(\endgroup\)


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Ritter
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-10-20

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
2019-10-20 13:32 - ProfSnape in Beitrag No. 3 schreibt:
2019-10-18 14:12 - Diophant in Beitrag No. 1 schreibt:
... so umformst, dass auf einer Seite wieder der Term \(2-\frac{x}{2}\) steht.
Gruß, Diophant


@Ritter:
In welche Gleichung?
in die:
|2 - x/2| < 1/2
für x = 8   => Ergebis: |-2| < 1/2

In diese Ungleichung meinte ich.

Zu den anderen Umformungen habe ich einmal Diophants Zitat etwas gekürzt.

Gruß, Ritter

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]
\(\endgroup\)


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ProfSnape
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-21

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
2019-10-20 13:38 - Diophant in Beitrag No. 4 schreibt:
Hallo,

2019-10-20 13:32 - ProfSnape in Beitrag No. 3 schreibt:
Den Inhalt der Betragsklammer als negativ angenommen (wäre mein 2ter Fall, wenn ich es herkömmlich gemacht hätte)  :


     -(2 - x/2) < 1/2
<->  -2 + x/2   < 1/2
<->     x/2     < -3/2
                          ?
Keine Ahnung, was du mir da sagen wolltest.

Angenommen, der Inhalt der Klammern wäre negativ, dann kehrt sich beim Weglassen der Klammern das Vorzeichen genau so um, wie du es gemacht hat (wobei die dritte Zeile deiner obigen Rechnung einen Fehler enthält, was aber hier erstmal nichts zur Sache tut). Dann sieht die Ungleichung so aus:

\[-2+\frac{x}{2}<\frac{1}{2}\]
Wenn man das jetzt mit \(-1\) durchmultipliziert, wird daraus

\[2-\frac{x}{2}>-\frac{1}{2}\quad\Leftrightarrow\quad -\frac{1}{2}<2-\frac{x}{2}\]
So war es gemeint.

Man kann sich so, wenn man noch \(2\)  subtrahiert und anschließend mit \(-2\) multipliziert, die Untersuchung der beiden Fälle für die Klammer sparen und das ganze auf einen Rutsch erledigen, das ist der Witz an der Vorgehensweise.


Gruß, Diophant

Ah, jetzt kapier ich es.
Danke, sowie auch für alle anderen Antworten:)
\(\endgroup\)


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