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Differentiation » Mehrdim. Differentialrechnung » C^1-Diffeomorphismus in Bezug auf die Jacobi-Matrix
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Universität/Hochschule J C^1-Diffeomorphismus in Bezug auf die Jacobi-Matrix
TreeX
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-09-17


Meine Frage:
Die Aufgabe ist, dass wenn wenn f: U->V ein C^1 Diffeomorphismus ist, daraus folgt,
dass für alle x aus U: det(Jacobi-Matrix von f(x)) != 0.
Nun wollte ich fragen wie man darauf kommt /  inwiefern mein Gedankenweg stimmt.

Meine Ideen:
Mein Ansatz ist, dass f ja ein Diffeomorphismus ist, ist f bijektiv und f, f^-1 sind stetig diffbar.
Da f und f^-1 stetig diffbar sind, ist die Jacobi-Matrix  von f die inverse Matrix von der Jacobi-Matrix  von f^1.
Damit eine Matrix invertierter ist, darf ihre Determinante nicht 0 betragen.
Somit müsste die Annahme gelten.



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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-09-17


Hallo TreeX,

die Idee sieht gut aus.



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TreeX
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-17


Sieht gut aus bedeutet was genau ;D ?
Ist es richtig oder nicht.
Und gäbe es eine einen anderen Weg, dies zu lösen?



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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-09-17


Es bedeutet: Die Idee ist richtig und ich würde wahrscheinlich die Aufgabe auch so lösen. Mit Sicherheit gibt es andere Lösungen, nur habe ich nicht danach gesucht. :)



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TreeX
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-17


Ok.
Vielen dank für deine schnelle Antwort!
Ich warte mal, vieleicht hat jemand noch eine andere Idee.



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piquer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-09-17


Hi,

bist du dir sicher, dass die Hesse- und nicht die Jacobimatrix gemeint ist? Die Hessematrix ist nur für skalarwertige Funktionen definiert. In diesem Fall liefert dir
$$ \text{id}: \IR \to \IR, \, x \mapsto x
$$ ein einfaches Gegenbeispiel. Die Invertierbarkeit des Differentials (und damit der Jacobimatrix) eines Diffeomorphismus folgt direkt aus der Kettenregel. Damit folgt, dass die Determinante ungleich 0 ist.



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TreeX
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-17


Oh tut mir furchtbar leid piquer.
Du hast vollkommen recht, ich habe die Bezeichnung fatalerweise vertauscht ;/
Natürlich habe ich die Nachricht oben auch nun verbessert.
Und könnte man das nur anhand Definitionen erklären ohne ein Gegenbeispiel? ;D



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TreeX
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-17


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piquer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-09-17


Zunächst muss $m = n$ gelten, sonst sind die Matrizen nicht quadratisch.
Es reicht, wenn du dir die letzte Zeile,
$$ f'(f^{-1}(v)) \circ (f^{-1})'(v) = \text{id}_{\IR^n},
$$ anschaust. Diese Gleichung verät dir, dass $(f^{-1})'(v)$ eine Linksinverse hat. Wie folgt daraus die Bijektivität? Denk an lineare Algebra.



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TreeX
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-17


Da (f^−1)′(v) ein inverses Element besitzt, muss es eine Umkehrabbildung geben, sodass es eine identische Abbildung existiert.
Somit liegt eine Bijektion vor.



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2019-09-19


Die Aussage folgt daraus, dass $T : \mathsf{Diff}_* \to \mathsf{Vect}$ ein Funktor ist und allgemein Funktoren Isomorphismen erhalten.



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