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Analysis » Komplexe Zahlen » komplexe Zahlen Betrag vergleichen
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Universität/Hochschule J komplexe Zahlen Betrag vergleichen
nessa97
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-09-17


Hallo, in einer Aufgabe soll ich zeigen, dass
\(|z|≤|w| \Rightarrow |e^z|≤|e^w|\) nicht gilt für die komplexe Exponentialfunktion.

In der Vorlesung hat sie damals was von der Periodizität der komplexen E-funktion erwähnt... allerdings komme ich jetzt nicht mehr drauf...

Kann mir vielleicht wer helfen?



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-09-17


Hallo,

du musst ein Gegenbeispiel finden. Wie sieht es beispielsweise mit reellen negativen Zahlen aus?



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-09-17

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,

so eine Widerlegung macht man ja am besten mit einem Gegenbeispiel. Hierzu folgender Tipp. Es ist

\[e^z=e^{a+ib}=e^a\cdot e^{ib}=e^a\left(\cos b+i\sin b\right)\]
Welchen Betrag besitzt also der Faktor \(e^{ib}\)? Wenn dir das klar ist, sollte es leicht sein, ein solches Gegenbeispiel zu finden.


Gruß, Diophant

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]

[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Komplexe Zahlen' von Diophant]
\(\endgroup\)


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nessa97
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-17


Der Betrag von fed-Code einblenden

Ja über ein Gegenbeispiel is es mir klar, aber geht das auch allgemein?
und was hat die Periodizität damit zu tun? oder hab ich das falsch in Erinnerung?



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Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-09-17

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \usepackage{tikz-3dplot}\)
Oder Du verwendest $|e^z| = e^{\mathrm{Re}(z)}$.
Damit ist $
|e^z| \leq |e^w|
~~\Leftrightarrow~
\mathrm{Re}(z)   \leq  \mathrm{Re}(w)$; das ist für $|z| \leq |w|$ im Allgm. nicht erfüllt.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]
\(\endgroup\)


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Diophant
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Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-09-17

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

2019-09-17 13:01 - nessa97 in Beitrag No. 3 schreibt:
Der Betrag von fed-Code einblenden ist doch 1 oder?

Richtig.

2019-09-17 13:01 - nessa97 in Beitrag No. 3 schreibt:
Ja über ein Gegenbeispiel is es mir klar, aber geht das auch allgemein?

das wäre denkbar, jedoch umständlicher. Dann müsstest du alle Fälle angeben, in denen es gilt.

2019-09-17 13:01 - nessa97 in Beitrag No. 3 schreibt:
und was hat die Periodizität damit zu tun? oder hab ich das falsch in Erinnerung?

Na ja, dass für \(b\in\IR\) der Term \(e^{ib}\) periodisch den Einheitskreis durchläuft. Wenn das als Hinweis zu dieser Aufgabe gesagt wurde, dann wollte die Dozentin damit eben auf \(\left|e^{ib}\right|=1\) hinweisen.


Gruß, Diophant

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]
\(\endgroup\)


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nessa97
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-17


ach so ja okay das macht sinn

Vielen lieben Dank



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