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Mathematik » Olympiade-Aufgaben » Alte Olympiadeaufgaben
Thema eröffnet 2019-04-22 08:33 von
stpolster
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Kein bestimmter Bereich Alte Olympiadeaufgaben
TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.160, eingetragen 2019-04-28


Aufgabe 051226:
Kann ein von einem regelmäßigen Tetraeder begrenzter Körper bei parallelem und senkrecht auf die Bildebene auftreffendem Licht auf dieser einen quadratförmigen Schatten werfen?
Klar geht das. :)

Wähle die Mittelpunkte zweier gegenüberliegende Kanten. Sei $g$ die Gerade durch diese beiden Punkte. Die beiden Kanten und die Gerade $g$ sind paarweise orthogonal zueinander. Eine Parallelprojektion in Richtung $g$ bildet die beiden Kanten auf ein symmetrisches Kreuz ab, welche die Diagonalen eines Quadrats bilden. Die übrigen vier Kanten werden auf die Seiten des Quadrats abgebildet.



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cyrix
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.161, eingetragen 2019-04-28


Und noch eine Funktionalgleichung:

Aufgabe 071243: Geben Sie alle Funktionen $y=f(x)$ an, die jeweils in größtmöglichem Definitionsbereich (innerhalb des Bereichs der reellen Zahlen) der Gleichung

$a \cdot f(x^n) + f(-x^n) =bx$

genügen, wobei $b$ eine beliebige reelle Zahl, $n$ eine beliebige ungerade natürliche Zahl und $a$ eine reelle Zahl mit $|a|\neq 1$ ist!


Lösung:

Da $n$ ungerade ist, gilt für alle reellen $x$ die Identität $(-x)^n=-x^n$. Insbesondere erhält man also durch Einsetzen von $-x$ in die Funktionalgleichung eine zweite: $a \cdot f(-x^n)+f(x^n)=-bx$. Addition dieser beiden Gleichungen liefert $(a+1) \cdot (f(x^n)+f(-x^n))=0$, also wegen $a\neq -1$ schließlich $f(-x^n)=-f(x^n)$. Setzt man dies wiederum in die Ausgangs-Funktionalgleichung ein, erhält man $(a-1) \cdot f(x^n)=bx$ bzw. nach Division durch $a-1\neq 0$ und der passenden Substitution

$f(x)=\frac{b}{a-1} \cdot \sqrt[n]{x}$.

Man überprüft schnell, dass diese Funktion tatsächlich auch die Funktionalgleichung erfüllt, da

$f(x^n)=\frac{b}{a-1} \cdot \sqrt[n]{x^n}=\frac{b}{a-1} \cdot x$ und $f(-x^n)=\frac{b}{a-1} \cdot \sqrt[n]{-x^n}=\frac{b}{a-1} \cdot \sqrt[n]{(-x)^n}=\frac{b}{a-1} \cdot (-x)$, also

$a \cdot f(x^n) + f(-x^n)= a \cdot \frac{b}{a-1} \cdot x - \frac{b}{a-1} \cdot x = (a-1) \cdot \frac{b}{a-1} \cdot x = bx$

gilt.

Bemerkung: Damit diese Funktionen wohldefiniert sind, muss man für negative reelle Zahlen $x$ und ungerade Wurzelexponenten $n$ die Wurzel-Funktion in ihrem Definitionsbereich auf die gesamten reellen Zahlen erweitern via $\sqrt[n]{x}=-\sqrt[n]{-x}$, sodass sie auf dem Bereich der gesamten reellen Zahlen die Umkehrfunktion der Potenzfunktion $p: x \mapsto x^n$ ist. (Dies ist möglich, da $p$ eine eineindeutige Abbildung von den reellen Zahlen auf die reellen Zahlen ist.)

Cyrix



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.162, eingetragen 2019-04-28


2019-04-28 15:22 - Kornkreis in Beitrag No. 159 schreibt:
051242
An einem Tanzabend hat jeder der anwesenden Herren mit mindestens einer der anwesenden Damen getanzt und jede der anwesenden Damen mit mindestens einem der anwesenden Herren.
Kein Herr hat mit jeder der anwesenden Damen und keine Dame mit jedem der anwesenden Herren getanzt.
Es ist zu beweisen, dass es unter den Anwesenden zwei solche Damen und zwei solche Herren gegeben hat, dass an dem Abend jede der beiden Damen mit genau einem der beiden Herren, und jeder der beiden Herren mit genau einer der beiden Damen getanzt hat.
Es wird vorausgesetzt, dass der Tanzabend nicht ohne Damen und Herren stattgefunden hat, d.h., die Menge, die aus allen anwesenden Damen und Herren besteht, ist nicht leer.

Lösung
Im Folgenden bezeichne "Aussage" die zu zeigende Aussage der Aufgabenstellung.
Aus den Voraussetzungen folgt, dass mindestens zwei Herren und zwei Damen anwesend waren, da sonst ein Herr mit allen Damen oder eine Dame mit allen Herren getanzt haben müsste.

Wir führen eine vollständige Induktion nach der Anzahl der Herren durch. Für zwei Herren und beliebig viele (größer gleich 2) Damen ist die Aussage wahr: Dazu schreiben wir die Tanzkonstellation in Matrixform und bezeichnen mit "+" und "-" dass ein Tanz stattgefunden bzw. nicht stattgefunden hat. Jede Spalte entspricht einem bestimmten Herren und jede Zeile einer bestimmten Dame, d.h. wir haben zwei Spalten und beliebig viele Zeilen. Falls die Aussage nicht wahr wäre, müsste die Konstellation die folgende Form haben
+ -
+ -
...
+ -
was aber bedeuten würde, dass ein Herr mit allen Damen getanzt hat (in diesem Fall sogar beide Herren).

Sei nun die Anzahl der Herren $n>2$ und die Aussage bereits für $n-1$ Herren bewiesen. Wir betrachten eine Tanzkonstellation, die den Bedingungen der Aufgabenstellung genügt
Falls man aus den $n$ Herren $n-1$ Herren auswählen kann, für die die Bedingungen der Aufgabenstellung erfüllt sind (d.h. jeder dieser $n-1$ Herren hat mit mindestens einer Dame getanzt und jede der Damen mit einem dieser Herren, und niemand dieser Herren hat mit allen Damen getanzt und keine der Damen mit allen dieser Herren), so zeigt die Induktionsvoraussetzung die Aussage.
Wir betrachten nun den Fall, dass so eine Auswahl nicht existiert. Dies bedeutet in der Matrixschreibweise, dass man keine $n-1$ Spalten auswählen kann, welche den Bedingungen der Aufgabenstellung genügen, d.h. in der Tanzkonstellation der $n$ Herren gibt es eine Zeile, in der genau ein "+" oder genau ein "-" steht, o.B.d.A. sei dies genau ein Plus ganz rechts in der letzten Spalte
(d.h. von der Form - - ... - - +).
Nun muss aber in einer anderen Zeile ganz rechts ein Minus stehen (sonst hätte der entsprechende Herr mit allen Damen getanzt) und irgendwo anders in derselben Zeile ein Plus (sonst hätte die entsprechende Dame mit keinem Herren getanzt).
D.h. man hat z.B. das Schema
- -  ...  - - +
     ...
- + ... + - -
Die Damen, die diesen beiden Zeilen entsprechen und die Herren, die der ganz rechten Spalte und der Spalte mit dem Plus irgendwo anders (von der Zeile mit dem Minus ganz rechts) entsprechen, zeigen nun die Aussage.



[Die Antwort wurde nach Beitrag No.157 begonnen.]

Vorhin habe ich auf einer Zugfahrt ebenfalls über diese Aufgabe nachgedacht und bin, so meine ich, auf eine etwas griffigere Lösung gekommen.

Sei \(d_1\) eine Dame mit den meisten Tanzpartnern und \(h_1\) ein Herr, mit dem \(d_1\) nicht getanzt hat. \(d_2\) sei eine Tanzpartnerin von \(h_1\). Dann gibt es einen Herrn \(h_2\), mit dem \(d_1\) aber nicht \(d_2\) getanzt hat. (Denn sonst hätte \(d_2\) mit allen Tanzpartnern von \(d_1\) und zusätzlich mit \(h_1\) getanzt, was der Maximalität von \(d_1\) widerspricht.) \(d_1\), \(d_2\), \(h_1\) und \(h_2\) bilden ein Quartett, wie es laut Aufgabenstellung behauptet wird.



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cyrix
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.163, eingetragen 2019-04-28


@StrgAltEntf: Schöne Anwendung des Extremalprinzips. :)

Nun noch ein paar Augaben aus der Landesrunde, Klasse 9, der 9. Olympiade:

Aufgabe 090933: Für eine bestimmte Arbeit benötigt <math>A</math> genau <math>m</math>-mal solang wie <math>B</math> und <math>C</math> zusammen; <math>B</math> benötigt genau <math>n</math>-mal so lange wie <math>C</math> und <math>A</math> zusammen und <math>C</math> genau <math>p</math>-mal solange wie <math>A</math> und <math>B</math> zusammen.

Berechnen Sie <math>p</math> in Abhängigkeit von <math>m</math> und <math>n</math>!

Lösung:

Wir betrachten die Leistungen <math>a</math>, <math>b</math> und <math>c</math> von <math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math>. Dann gilt nach Aufgabenstellung

<math>a=\frac{1}{m} (b+c)</math>, <math>b=\frac{1}{n} (a+c)</math> und <math>c=\frac{1}{p} (a+b)</math>.

Die erste Gleichung ist äquivalent zu <math>c=am-b</math>, die zweite zu <math>c=bn-a</math>. Insbesondere ist also <math>am-b=bn-a</math> bzw. <math>(m+1)a=(n+1)b</math>, also <math>b=\frac{m+1}{n+1} \cdot a</math> und <math>c=am-b=\frac{mn-1}{n+1} \cdot a</math>.

Ist <math>mn-1=0</math>, also <math>c=0</math>, dann leistet <math>C</math> keine Arbeit und also ist <math>p</math> nicht definiert. Andernfalls können wir im Folgenden durch <math>c\neq 0</math> dividieren.

Mit der dritten Gleichung erhalten wir schließlich durch Einsetzen

<math>p=\frac{a+b}{c}=\frac{\frac{n+1+m+1}{n+1} \cdot a}{\frac{mn-1}{n+1} \cdot a}=\frac{m+n+2}{mn-1}</math>.



Aufgabe 090934: Man beweise: Wenn zwei ganze Zahlen <math>a</math> und <math>b</math> die Bedingung erfüllen, dass die Zahl <math>11a+2b</math> durch 19 teilbar ist, dann ist auch die Zahl <math>18a+5b</math> durch 19 teilbar.

Lösung: Mit <math>11a+2b</math> ist auch <math>12 \cdot (11a+2b) - 19 \cdot (6a+b)=132a+24b-114a-19b=18a+5b</math> durch 19 teilbar.


Aufgabe 090936: Es sei <math>f(x)</math> die für alle reellen Zahlen <math>x</math> definierte Funktion <math>f(x)=\frac{(x-1)x}{2}</math>.
Ferner sei <math>x_0</math> eine beliebig gegebene von 0 verschiedene reelle Zahl. Wie üblich seien die Funktionswerte der Funktion <math>f(x)</math> an den Stellen <math>x_0+1</math> und <math>x_0+2</math> mit <math>f(x_0+1)</math> bzw. <math>f(x_0+2)</math> bezeichnet.

Man beweise, dass dann <math>f(x_0+2)=\frac{(x_0+2)f(x_0+1)}{x_0}</math> gilt.


Lösung:

Es ist <math>\frac{(x_0+2)f(x_0+1)}{x_0}=\frac{(x_0+2) \cdot \frac{x_0(x_0+1)}{2}}{x_0}=\frac{(x_0+2)(x_0+1)}{2}=f(x_0+2)</math>.

Bemerkung: Da war ein Druckfehler in der Aufgabe.

Cyrix



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cyrix
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.164, eingetragen 2019-04-28


Eine etwas kürzere Lösungsalternative für die 060931:

Aufgabe: Zwei Primzahlen <math>p_1</math> und <math>p_2</math> (mit <math>p_1>p_2</math>) heißen Primzahlzwillinge, wenn <math>p_1-p_2=2</math> gilt. Beweisen Sie, dass für alle Primzahlzwillinge <math>p_1</math> und <math>p_2</math>, für die <math>p_2>3</math> ist, stets die Summe <math>p_1+p_2</math> durch 12 teilbar ist!

Lösung:

Von den drei aufeinander folgenden natürlichen Zahlen <math>p_2</math>, <math>p_2+1=p_1-1=\frac{p_1+p_2}{2}</math> und <math>p_1</math> ist genau eine durch 3 teilbar. Da es wegen <math>p_1>p_2>3</math> die beiden Primzahlen nicht sind, ist es also <math>\frac{p_1+p_2}{2}</math>. Darüber hinaus ist diese Zahl als Nachfolger (und Vorgänger) einer ungeraden Zahl selbst gerade, also durch 6 teilbar. Damit ist <math>p_1+p_2=2 \cdot \frac{p_1+p_2}{2}</math> durch 12 teilbar.




Zu Aufgabe 090922: Jemand behauptet: Wenn von zwei natürlichen Zahlen <math>a</math> und <math>b</math> jede die Eigenschaft hat, sich als Summe der Quadrate zweier natürlicher Zahlen darstellen zu lassen, dann hat auch das Produkt von <math>a</math> und <math>b</math> diese Eigenschaft. a) Geben Sie ein Zahlenbeispiel an! b) Bweisen Sie diesen Satz!


Lösung:
zu b) Seien <math>a_1, a_2, b_1, b_2</math> natürliche Zahlen mit <math>a=a_1^2+a_2^2</math> und <math>b=b_1^2+b_2^2</math>. Dann ist <math>ab=(a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)=a_1^2b_1^2+a_1^2b_2^2+a_2^2b_1^2+a_2^2b_2^2=(a_1b_1)^2-2a_1b_1a_2b_2+(a_2b_2)^2+(a_1b_2)^2+2a_1b_2a_2b_1+(a_2b_1)^2=(a_1b_1-a_2b_2)^2+(a_1b_2+a_2b_1)^2</math>.

Bemerkung: Man erhält diese Identität, indem man <math>a</math>, <math>b</math> und <math>ab</math> als Betragsquadrate der komplexen Zahlen <math>z_1:=a_1+i \cdot a_2</math>, <math>z_2:=b_1+i \cdot b_2</math> bzw. <math>z_1 \cdot z_2</math> interpretiert.



Cyrix



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stpolster
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.165, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-28


Hallo,
eine neue Datei mit 178 Lösungen ist online.

Heute habe ich gemerkt, dass die Aufgaben Klasse 9 II.Stufe der 9.Olympiade die der 10. sind. Sorry.
D.h., ich muss heute noch Aufgaben tauschen und ergänzen.
Eure Lösungen sind aber nicht verloren. Sie sind eben jetzt bei der 10.Olympiade.

LG Steffen



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cyrix
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Dann noch schnell die 090935:

Die Fläche des Dreiecks <math>\triangle ABC</math> werde durch eine Parallele zur Seite <math>AB</math> in zwei inhaltsgleiche Teilflächen zerlegt.
Ermitteln Sie das Verhältnis, in dem die zur Seite <math>AB</math> gehörende Höhe des Dreiecks die Paralele geteilt wird.

Lösung: Es seien <math>P</math> und <math>Q</math> die Schnittpunkte der Parallelen mit den Seiten <math>AC</math> bzw. <math>BC</math>. Darüber hinaus seien <math>h_{AB}</math> und <math>h_{PQ}</math> die Längen der Höhen des Punktes <math>C</math> auf <math>AB</math> bzw. die Parallele <math>PQ</math>. Nach Aufgabenstellung ist der Flächeninhalt <math>A_{PQC}</math> des Dreiecks <math>\triangle PQC</math> genau halb so groß wie der Flächeninhalt <math>A_{ABC}</math> des Dreiecks <math>\triangle ABC</math>.

Also ist <math>\frac{1}{2} |PQ| \cdot h_{PQ}=A_{PQC}=\frac{1}{2} A_{ABC} = \frac{1}{4} \cdot |AB| \cdot h_{AB}</math> bzw. <math>2=\frac{|AB|}{|PQ|} \cdot \frac{h_{AB}}{h_{PQ}}</math>.

Nach den Strahlensätzen ist <math>\frac{|AB|}{|PQ|} = \frac{h_{AB}}{h_{PQ}}</math>, also <math>h_{AB}=\sqrt{2} \cdot \h_{PQ}</math>. Damit wird die Höhe <math>h_{AB}</math> im Verhältnis <math>1:(\sqrt{2}-1)</math> durch die Parallele <math>PQ</math> zu <math>AB</math> geteilt.


Und die Aufgabe 061035: Ermitteln Sie alle reellen Zahlen <math>x</math>, die die folgende Ungleichung erfüllen: <math>\frac{1}{2} \lg(2x-1) + \lg\sqrt{x-9}>1</math>.

Lösung: Zuerst zum Definitionsbereich: Da die Logarithmus-Funktion nur für positive Argumente definiert ist, muss also wegen des ersten Summanden <math>x>\frac{1}{2}</math> und aufgrund des zweiten <math>x>9</math> gelten. Zusammen bleiben also genau die reellen Zahlen <math>x>9</math> zu betrachten.

Für die ist dann <math>\lg\sqrt{x-9}=\frac{1}{2} \cdot \lg(x-9)</math> und somit (nach Multiplikation mit 2 die zu betrachtende Ungleichung äquivalent zu <math>\lg((2x-1)\cdot(x-9))>2</math> bzw. aufgrund der Monotonie der Logarithmusfunktion auch zu <math>(2x-1)(x-9)>100</math>. Dies führt auf die quadratische Ungleichung <math>2x^2-19x-91>0</math> bzw. <math>x^2-\frac{19}{2}x-\frac{91}{2}>0</math>. Das quadratische Polynom <math>x^2-\frac{19}{2}x-\frac{91}{2}</math> beschreibt eine nach oben geöffnete Parabel mit den Nullstellen <math>x_{1/2}=\frac{19}{4} \pm \sqrt{\frac{361}{16}+\frac{91 \cdot 8}{16}}=\frac{19 \pm \sqrt{1089}}{4}=\frac{19\pm 33}{4}</math>, also <math>x_1=\frac{19-33}{4}= -\frac{7}{2}</math> und <math>x_2=\frac{19+33}{4}=13</math>. Damit nimmt das betrachtete quadratische Polynom genau für die reellen Zahlen <math>x</math> mit <math>x< -\frac{7}{2}</math> und diejenigen mit <math>x>13</math> positive Funktionswerte an.

Zusammen mit der Betrachtung des Definitionsbereichs der Ausgangsungleichung wird diese also genau von allen reellen Zaheln <math>x>13</math> erfüllt.

Cyrix

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.164 begonnen.]



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TomTom314
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Hallo Steffen, zu Aufgabe 051235 hätte ich noch ein Bild:

<math>
\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (6,4);
\coordinate (C) at (9,-1);
\coordinate (D) at (7,-3);
\coordinate (P) at ($0.5*(A)+0.5*(B)$);
\coordinate (Q) at ($0.5*(B)+0.5*(C)$);
\coordinate (R) at ($0.5*(C)+0.5*(D)$);
\coordinate (S) at ($0.5*(D)+0.5*(A)$);

\draw[fill=green!50] (A) -- (B) -- (intersection of  A--C and B--D);
\draw[fill=red!50] (P) -- (intersection of  A--C and P--S) -- (intersection of  A--C and B--D) -- (intersection of  B--D and P--Q);
\draw (A) -- (B);
\draw (B) -- (C);
\draw (C) -- (D);
\draw (A) -- (D);
\draw (P) -- (Q);
\draw (Q) -- (R);
\draw (R) -- (S);
\draw (S) -- (P);
\draw (A) -- (C);
\draw (B) -- (D);
\draw (intersection of  A--C and P--S) -- (intersection of  B--D and P--Q);
\draw node[left] at (A){A};
\draw node[above] at (B){B};
\draw node[right] at (C){C};
\draw node[below] at (D){D};
\draw node[above] at (P){P};
\draw node[right] at (Q){Q};
\draw node[below] at (R){R};
\draw node[left] at (S){S};

\end{tikzpicture}
</math>



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cyrix
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@Steffen: Danke fürs Bereitstellen der Aufgaben sowie Sammeln und Zusammenfassen der Lösungen!

In deiner PDF, wie ich sie gerade offen habe, ist in Klasenstufe 9, III. Olympiade 1963 als einzige Aufgabe die 010921 angegeben, die doch in die ersten Olympiade gehört. Gegebenenfalls ist da was beim Kopieren schief gegangen...

Und beim Aufgabentext zur 090935 hat sich ein Artefakt einer "58.14508" eingeschlichen.


Abschließend noch ne kleine Algebra
Aufgabe 061045: Es sei <math>a</math> eine beliebig gegebene reelle Zahl. Ermitteln Sie alle reellen <math>x</math>, die der Gleichung genügen:
<math> \sqrt{a+x} - \sqrt{\frac{a^2}{a+x}}=\sqrt{2a+x}</math>

Lösung: Multiplikation der Gleichung mit <math>\sqrt{a+x}</math> überführt diese in (die wegen <math>a+x\neq 0</math> äquivalente Gleichung)
<math>a+x-|a| = \sqrt{(2a+x)\cdot (a+x)}</math>.

1. Fall: <math>a> 0</math>. Dann ist <math>|a|=a</math> und man erhält durch Quadrieren <math>x^2=x^2+3ax+2a^2</math> bzw. <math>x= -\frac{2}{3} \cdot a</math>. Damit erhält man <math>a+x=\frac{1}{3} \cdot a</math> bzw.
<math>\sqrt{a+x} - \sqrt{\frac{a^2}{a+x}}=\sqrt{\frac{1}{3} a} - \sqrt{\frac{a^2}{\frac{1}{3}a}}=\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot\sqrt{a} - \sqrt{3a}=\sqrt{a} \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{3}-\sqrt{3}\right)<0\leq \sqrt{2a-x}</math>, also einen Widerspruch zur Ausgangsgleichung, sodass es in diesem Fall keine Lösungen gibt.

2. Fall: <math>a\leq 0</math>. Dann ist <math>|a|=-a</math>, sodass die Gleichung übergeht in <math>2a+x=\sqrt{(2a+x)\cdot (a+x)}</math>.

Fall 2.1: <math>2a+x=0</math>. (Wegen <math>a+x\neq 0</math> ist in diesem Fall <math>a\neq 0</math>, denn sonst würde aus <math>2a+x=0</math> nach Subtraktion von <math>a=0</math> sofort auch <math>a+x=0</math> folgen.) Dann ist <math>x=-2a</math> und <math>\sqrt{a+x} - \sqrt{\frac{a^2}{a+x}}=\sqrt{-a}- \sqrt{-a}=0=\sqrt{2a+x}</math>, sodass dies Lösungen der Ausgangsgleichung sind.

Fall 2.2: Es ist <math>2a+x\neq 0</math>, also auch <math>\sqrt{2a+x}\neq 0</math>, sodass wir dadurch dividieren können. Damit erhalten wir die Gleichung <math>\sqrt{2a+x}=\sqrt{a+x}</math> bzw. nach Quadrieren <math>2a+x=a+x</math>, also <math>a=0</math>. Tatsächlich vereinfacht sich aber in diesem Fall die Ausgangsgleichung zu <math>\sqrt{x}-\sqrt{\frac{0}{x}}=\sqrt{x}</math>, was für alle positiven reellen Zahlen <math>x</math> erfüllt ist.


Zusammenfassung: Für positive <math>a</math> hat die Gleichung keine Lösung, für negative <math>a</math> ist jeweils <math>x=-2a</math> die einzige Lösung und für <math>a=0</math> erfüllt jede positive reelle Zahl <math>x</math> die Gleichung.


Cyrix

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.166 begonnen.]



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cyrix
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Abschließend für heute noch zwei kleine Aufgaben aus der 10:

Aufgabe 071034: Gesucht sind alle diejenigen Tripel natürlicher Zahlen <math>a_i</math> (<math>i=1,2,3</math>), die die Gleichung <math>\sqrt{2a_1^2-2a_2^2}=a_3</math> erfüllen und für die außerdem <math>1\leq a_i\leq 10</math> gilt!

Lösung:
Die Gleichung ist offenbar äquivalent zu <math>2(a_1-a_2)(a_1+a_2)=a_3^2</math>. Da 2 eine Primzahl ist, folgt aus <math>2|a_3^2</math> direkt <math>2|a_3</math>, sodass die rechte Seite der Gleichung durch 4 teilbar ist. Also muss auch <math>(a_1-a_2)(a_1+a_2)</math> gerade sein, und damit mindestens einer dieser beiden Faktoren. Da nur beide zugleich (oder keiner von beiden) gerade sein können, ist die rechte Seite der Gleichung also sogar durch 8 teilbar, sodass aufgrund der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung <math>a_3</math> zumindest durch 4 teilbar sein muss.

Es verbleiben also zwei Fälle: <math>a_3=4</math> und <math>a_3=8</math>.

1. Fall: <math>a_3=4</math>. Dann ist also <math>(a_1-a_2)(a_1+a_2)=8</math> und, da beide Faktoren gerade sind, wegen <math>a_1+a_2>0</math> auch <math>a_1-a_2>0</math> und schließlich <math>a_1+a_2>a_1-a_2</math>, also <math>a_1+a_2=4</math> sowie <math>a_1-a_2=2</math>. Es ergibt sich als Lösungstripel <math>(a_1,a_2,a_3)=(3,1,4)</math>, was durch Einsetzen in die Ausgangsgleichung auch bestätigt wird.

2. Fall: <math>a_3=8</math>. Dann ist <math>(a_1-a_2)(a_1+a_2)=32</math>. Nun ergeben sich folgende mögliche Zerlegungen in zwei positive und gerade Faktoren:
*) <math>a_1+a_2=16</math> und <math>a_1-a_2=2</math>, was auf <math>a_1=9</math> und <math>a_2=7</math> führt.
*) <math>a_1+a_2=8</math> und <math>a_1-a_2=4</math>, was dan auf <math>a_1=6</math> und <math>a_2=2</math> führt.
Beide mögliche Lösungen werden durch die Probe bestätigt.

Zusammenfassung: Im zu betrachtenden Bereich gibt es genau drei Lösungstripel, nämlich (3,1,4), (6,2,8) und (9,7,8).



Und 071044: Ermitteln Sie den Flächeninhalt eines regelmäßigen Dreiecks aus der Länge seiner Hypothenuse und der Summe der Sinus seiner spitzen Winkel! Welche Werte kann die Sinussumme annehmen?

Lösung:

Wir bezeichnen die Winkel und Seiten des Dreiecks auf kanonische Weise, sodass die Hypothenuse <math>c</math>, die Katheten <math>a</math> und <math>b</math> sowie die ihnen gegenüberliegenden Innenwinkel mit <math>\alpha</math> bzw. <math>\beta</math> lautet.

Nach der Definition der Sinusfunktion im rechtwinkligen Dreieck gilt <math>\sin \alpha = \frac{a}{c}</math> und analog <math>\sin \beta = \frac{b}{c}</math>, also <math>\sin \alpha + \sin \beta = \frac{a+b}{c}</math> bzw. <math>A=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{4} \cdot (2ab)= \frac{1}{4} \cdot ((a+b)^2-(a^2+b^2))= \frac{1}{4} \cdot \left((\sin \alpha + \sin \beta)^2 c^2 -c^2\right)=\frac{c^2}{4} \cdot ((\sin\alpha + \sin\beta)^2-1)</math>.

Für feste Hypothenusenlänge <math>c</math> kann sich, damit das Dreieck bei <math>C</math> einen rechten Winkel besitzt, nach dem Satz des Thales der Punkt <math>C</math> nur auf einem Kreis, der die Hypothenuse als Durchmesser hat, bewegen. Damit ist die Höhe auf <math>c</math> nach unten durch 0 und nach oben durch den Umkreisradius, also <math>\frac{c}{2}</math> beschränkt, sodass der Flächeninhalt des Dreiecks im Intervall <math>\left(0; \frac{1}{2} \cdot c \cdot \frac{c}{2}\right]</math> aus Stetigkeitsgründen jeden Wert annehmen kann, die Sinussumme also genau die Werte aus dem Intervall <math>(0; 1]</math>. Dabei wird die Summe genau für <math>\alpha=\beta=45^{\circ}</math> maximal.

Cyrix



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stpolster
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2019-04-28 21:10 - cyrix in Beitrag No. 168 schreibt:
@Steffen: Danke fürs Bereitstellen der Aufgaben sowie Sammeln und Zusammenfassen der Lösungen!

In deiner PDF, wie ich sie gerade offen habe, ist in Klasenstufe 9, III. Olympiade 1963 als einzige Aufgabe die 010921 angegeben, die doch in die ersten Olympiade gehört. Gegebenenfalls ist da was beim Kopieren schief gegangen...

Und beim Aufgabentext zur 090935 hat sich ein Artefakt einer "58.14508" eingeschlichen.
Danke für die vielen Lösungen.
Die Aufgabennummer war falsch, die Aufgabe richtig. Ist korrigiert.
Die "58.14508" war schlimmer. Ich habe 20 min gesucht, woran es liegt. Ich habe oft \Delta statt \triangle verwendet und in ein paar Abbildungen war ein Makro "\Delta" definiert, was anschließend alle meine \Deltas kaputt gemacht hat. Ich habe es aber gefunden.
Wieder etwas gelernt.
In etwa 30 Minuten werde ich die geänderte PDF hochladen, jetzt mit 181 Lösungen. Da kommt eine Menge zusammen. Sehr schön.

LG Steffen

PS: Datei ist online mit 183 Lösungen.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.168 begonnen.]



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cyrix
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Einen hab' ich noch. ;)

Aufgab 071046: Man gebe alle reellen <math>x</math> an, die folgende Gleichung erfüllen:

<math>\sqrt{x+\sqrt{x}} - \sqrt{x-\sqrt{x}}=\frac{3}{2} \cdot \sqrt{\frac{x}{x+\sqrt{x}}}</math>.

Lösung:

Offensichtlich ist <math>x\geq \sqrt{x}</math>, damit <math>\sqrt{x-\sqrt{x}}</math> definiert ist. Dies ist äquivalent zu <math>x\geq 1</math> oder <math>x=0</math>, wobei aber letzteres ausgeschlossen ist, da man sonst wegen <math>x+\sqrt{x}=0</math> einen Nullnenner im Bruch unter der Wurzel auf der rechten Seite erhalten würde. Sei also ab sofort <math>x\geq 1</math>.

Durch Multiplikation mit <math>\sqrt{x+\sqrt{x}} \neq 0</math> geht die Gleichung äquivalent über in

<math>x+\sqrt{x}-\sqrt{x^2-x}=\frac{3}{2} \sqrt{x}</math> bzw.
<math>x-\sqrt{x} \cdot \sqrt{x-1}=\frac{1}{2} \sqrt{x}</math>. Nach Division durch <math>\sqrt{x} \neq 0</math> und umsortieren erhält man
<math>\sqrt{x}-\frac{1}{2}=\sqrt{x-1}</math>.  Quadriert man diese Gleichung, was wegen <math>x\geq 1</math> und also <math>\sqrt{x}-\frac{1}{2}>0</math> eine Äquivalenzumformung ist, führt dies auf
<math>x-\sqrt{x}+\frac{1}{4}=x-1</math> bzw. <math>\sqrt{x}=\frac{5}{4}</math>, also <math>x=\frac{25}{16}</math>.

Tatsächlich bestätigt die (mathematisch nicht notwendige) Probe (da es sich ausschließlich um Äquivalenzumformungen gehandelt hat), dass <math>x=\frac{25}{16}</math> Lösung der Ausgangsgleichung ist. Diese ist auch, wie gezeigt, die einzige Lösung.

Cyrix



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Eine kürzere Alternative für

Aufgabe 070922: Für zwei rationale Zahlen <math>a</math> und <math>b</math> gelten die vier Ungleichungen
<math>a+b\neq 3</math>; <math>a-b\neq 10</math>; <math>a \cdot b \neq 5</math>; <math>a : b \neq 18{,}75</math>.
Die Zahlen 3; 10; 5 und 18,75 stimmen jedoch (in einer anderen Reihenfolge) mit je einer der Zahlen <math>a+b</math>, <math>a-b</math>, <math>a \cdot b</math> und <math>a:b</math> übrtrin.
Ermitteln Sie die Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>.

Lösung:
Da mit <math>a=\frac{(a+b)+(a-b)}{2}>0</math> auch <math>b=\frac{a \cdot b}{a}</math> positiv ist, gilt <math>a-b<a+b</math>. Insbesondere kann also <math>a-b</math> nicht den größten der vier Werte annehmen. Es verbleiben zwei Fälle: <math>a-b=5</math> oder <math>a-b=3</math>. In beiden Fällen ist <math>a-b\in\mathbb{N}</math>. Wäre <math>a+b=18{,}75</math>, so würde <math>a\cdot b=\frac{(a+b)^2-(a-b)^2}{4}\not\in\mathbb{N}</math> folgen, da im Zähler dieses Bruchs von einer nicht ganzen eine ganze Zahl subtrahiert wird, also noch nicht einmal der Zähler eine ganze Zahl ist. Aber <math>a \cdot b\not\in\mathbb{N}</math> wäre ein Widerspruch, da die übrigen drei Ergebnisse alle natürlich sind. Also folgt in beiden Fällen <math>a+b\neq 18{,}75</math>.

Fall 1: <math>a-b=5</math>. Dann verbleibt für <math>a+b</math> als einziger Wert die 10, was zu <math>a=\frac{15}{2}</math>, <math>b=\frac{5}{2}</math>, <math>a \cdot b=\frac{75}{4}=18{,}75</math> und <math>a:b=3</math>, also einer Lösung, führt.

Fall 2: <math>a-b=3</math>. Wäre <math>a+b=10</math>, so <math>a=\frac{13}{2}</math>, <math>b=\frac{7}{2}</math> und <math>a\cdot b=\frac{91}{4}</math>, was nicht in der Liste vorkommt. Also verbleibt hier noch die Möglichkeit <math>a+b=5</math> zu prüfen, die aber auf <math>a=4</math>, <math>b=1</math> und <math>a\cdot b=4</math>, also auch keine Lösung, führt.

Es gibt also genau ein Lösungspaar, nämlich <math>(a,b)=\left(\frac{15}{2}, \frac{5}{2}\right)</math>.


Und noch eine kürzere Alternativ-Lösung für die 070936:
Man ermittle alle reellen Zahlen <math>x</math>, die die Ungleichung erfüllen:
<math>\frac{3}{2x-1}-\frac{2}{x-\frac{1}{2}}>-\frac{1}{3}</math>.

Lösung:
Die Ungleichung ist wegen <math>\frac{2}{x-\frac{1}{2}}=\frac{4}{2x-1}</math> äquivalent zu <math>-\frac{1}{2x-1}>-\frac{1}{3}</math>, also nach Multiplikation mit (-1) und Reziprokenbildung auch zu <math>2x-1>3</math> oder <math>2x-1<0</math>, d.h. <math>x>2</math> oder <math>x<\frac{1}{2}</math>.

Bemerkung: Die abgedruckte Lösung geht auf mehr oder minder dem gleichen Weg vor, erkennt aber im ersten Schritt nicht, dass man den Subtrahenden einfach mit 2 erweitern kann, um einen gemeinsamen Nenner zu erhalten.
 
Cyrix



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.173, eingetragen 2019-04-29


Zur Aufgabe 090921: Bei einem Klassenfest stellen die Schüler ihrem Mathematiklehrer die folgende Aufgabe: Die Schüler teilen ihrem Lehrer mit, dass sie sich insgeheim so in drei Gruppen aufgeteilt haben, dass jeder Schüler der Klasse genau einer Gruppe angehört. Die Schüler der ersten Gruppe nennen sich die ”Wahren”, weil sie jede Frage wahrheitsgemäß beantworten. Die Schüler der zweiten Gruppe  nennen  sich  die ”Unwahren”, weil sie jede Frage falsch beantworten. Die Schüler der  dritten  Gruppe schließlich nennen sich die ”Unbeständigen”, weil jedervon ihnen Serien aufeinanderfolgender Fragen alternierend (abwechselnd) wahr und falsch beantwortet; dabei ist aber  ungewiss, ob er jeweils  die  erste  Frage  einer Serie wahr oder falsch beantwortet. Jeder Schüler  antwortet auf eine gestellte Frage nur mit ja oder nur mit nein; Fragen,  die andere Antworten erfordern, werden nicht zugelassen. Der Lehrer soll nun von einem beliebigen Schüler der Klasse durch Fragen, die er an diesen Schüler richtet und die sich nur auf die Zugehörigkeit zu einer der genannten Gruppen beziehen, feststellen, ob der Schüler ein ”Wahrer”, ein ”Unwahrer” oder ein ”Unbeständiger” ist.
a) Welches ist die kleinste Anzahl von Fragen, die dazu ausreicht?
b) Geben Sie eine Möglichkeit an, die Zugehörigkeit eines Schülers mit dieser kleinsten Anzahl von Fragen zu ermitteln!

Lösung:
a) Eine Frage genügt nicht, da damit nur zwei Fälle ("ja"- vs. "nein"-Antwort) unterschieden werden können, es aber drei Gruppen gibt. Dass es mit zwei Fragen geht, zeigt Teil b).
b) Man stelle zwei mal die gleiche Frage "Bist du ein 'Unbeständiger'?".
Ein "Wahrer" wird darauf zwei mal mit "nein" antworten, ein "Unwahrer" zwei mal mit "ja" und ein "Unbeständiger" einmal mit "ja" und einmal mit "nein" (in irgendeiner Reihenfolge).


Aufgabe 090922: Gegeben sei ein Würfel mit der Kantenlänge <math>a_1</math> und dem Volumen <math>V_1</math> sowie ein reguläres Tetraeder mit der Kantenlänge <math>a_2</math> und dem Volumen <math>V_2</math>. Für die Kantenlängen gelte <math>a_1 : a_2 = 1 : \sqrt{2}</math>. Berechnen Sie das Verhältnis <math>V_1 : V_2</math>.

Lösung:

Es ist <math>V_1=a_1^3</math> und <math>V_2=\frac{1}{12} \cdot \sqrt{2} \cdot a_2^3=\frac{1}{12} \cdot \sqrt{2} \cdot (\sqrt{2} a_1)^3=\frac{1}{3} a_1^3= \frac{1}{3} V_1</math>, sodass das Verhältnis <math>V_1 : V_2</math> genau <math>3: 1</math> beträgt.

Bemerkung: Das Volumen <math>V</math> eines regulären Tetraeders mit Kantenlänge <math>a</math> ergibt sich (wie für jede Pyramide) zu <math>V=\frac{1}{3} \cdot A_G \cdot h</math>, wobei <math>A_G</math> der Flächeninhalt der Grundfläche und <math>h</math> die Länge der zugehörigen Höhe ist. Als Grundfläche ergibt sich ein gleichseitiges Dreieck mit Kantenlänge <math>a</math>. Dessen Fläche lässt sich (wie in jedem Dreieck) via <math>A_G=\frac{1}{2} \cdot a \cdot h_g</math> berechnen, wobei <math>h_g</math> die Länge einer Höhe im Dreieck ist. Da die Höhen im gleichseitigen Dreieck mit den Seitenhalbierenden zusammenfallen, teilt eine solche das gleichseitige Dreieck in zwei rechtwinklige, wobei eine der Katheten eines solchen Dreiecks die Höhe <math>h_g</math>, die zweite eine halbe Grundseite und die Hypothenuse die ungeteilte Dreiecksseite ist. Es ergibt sich nach dem Satz von Pythagoras <math>h_g^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2=a^2</math>, also <math>h_g=\frac{\sqrt{3}}{2} a</math> und damit <math>A_G=\frac{\sqrt{3}}{4} a^2</math>.

Für die Höhe im regulären Tetraeder beachte man, dass sie mit der entsprechenden Schwerelinie (Verbindung eines Eckpunkts mit dem Schwerpunkt der gegenüberliegenden Seitenfläche) zusammenfällt. So ergibt sich ein rechtwinkliges Dreieck mit "Spitze des Tetraeders", "Schwerpunkt der Grundfläche" und einem Eckpunkt der Grundfläche als Eckpunkte. Dessen Hypothenuse ist eine Kante des regulären Tetraeders, eine Kathete die Höhe <math>h</math> und die zweite Kathete der Abschnitt der Seitenhalbierenden in der Grundfläche zwischen Schwerpunkt und Eckpunkt.

Da der Schwerpunkt die Seitenhalbierenden im Verhältnis <math>2:1</math> teilt, wobei der Abschnitt zwischen Eckpunkt und Schwerpunkt der längere ist, und da im gleichseitigen Dreieck die Höhen und Seitenhalbierenden zusammenfallen, ist dieser Abschnitt hier also <math>\frac{2}{3} \cdot h_g=\frac{\sqrt{3}}{3} a</math> lang.

Es ergibt sich für das betrachtete rechtwinklige Dreieck zwischen Spitze, Schwerpunkt und Eckpunkt nach dem Satz von Pythagoras nun also
<math>h^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{3} a\right)^2=a^2</math>, also <math>h^2+\frac{3}{9} a^2=a^2</math> bzw. <math>h=\sqrt{\frac{2}{3}} a=\frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{3} a</math>.

Zusammen mit der zuvor berechneten Grundfläche ergibt sich nun
<math>V=\frac{1}{3} \cdot A_G \cdot h=\frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \cdot \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{3} a=\frac{\sqrt{2}}{3 \cdot 4} a^3</math>, was wir oben verwendet haben.


Cyrix



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HyperPlot
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.174, eingetragen 2019-04-29


@ stpolster

Mir aufgefallen, dass Du angefangen hast, das ein oder andere aus den Planimetriethreads zu übernehmen.

Ich möchte dabei zu bedenken geben, dass sich
- Aufgabenskizze (also das mit den Längen bzw. Winkeln zur Übersicht)
- Planfigur
- Konstruktionszeichnung

üblicherweise deutlich unterscheiden. Es reicht im Allgmeinen nicht, nur eines davon anzugeben.



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.175, eingetragen 2019-04-29


2019-04-29 02:07 - cyrix in Beitrag No. 172 schreibt:
Eine kürzere Alternative für

Aufgabe 070922: Für zwei rationale Zahlen <math>a</math> und <math>b</math> gelten die vier Ungleichungen
<math>a+b\neq 3</math>; <math>a-b\neq 10</math>; <math>a \cdot b \neq 5</math>; <math>a : b \neq 18{,}75</math>.
Die Zahlen 3; 10; 5 und 18,75 stimmen jedoch (in einer anderen Reihenfolge) mit je einer der Zahlen <math>a+b</math>, <math>a-b</math>, <math>a \cdot b</math> und <math>a:b</math> übrtrin.
Ermitteln Sie die Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>.

Lösung:
Da mit <math>a=\frac{(a+b)+(a-b)}{2}>0</math> auch <math>b=\frac{a \cdot b}{a}</math> positiv ist, gilt <math>a-b<a+b</math>. Insbesondere kann also <math>a-b</math> nicht den größten der vier Werte annehmen. Es verbleiben zwei Fälle: <math>a-b=5</math> oder <math>a-b=3</math>. In beiden Fällen ist <math>a-b\in\mathbb{N}</math>. Wäre <math>a+b=18{,}75</math>, so würde <math>a\cdot b=\frac{(a+b)^2-(a-b)^2}{4}\not\in\mathbb{N}</math> folgen, da im Zähler dieses Bruchs von einer nicht ganzen eine ganze Zahl subtrahiert wird, also noch nicht einmal der Zähler eine ganze Zahl ist. Aber <math>a \cdot b\not\in\mathbb{N}</math> wäre ein Widerspruch, da die übrigen drei Ergebnisse alle natürlich sind. Also folgt in beiden Fällen <math>a+b\neq 18{,}75</math>.

Fall 1: <math>a-b=5</math>. Dann verbleibt für <math>a+b</math> als einziger Wert die 10, was zu <math>a=\frac{15}{2}</math>, <math>b=\frac{5}{2}</math>, <math>a \cdot b=\frac{75}{4}=18{,}75</math> und <math>a:b=3</math>, also einer Lösung, führt.

Fall 2: <math>a-b=3</math>. Wäre <math>a+b=10</math>, so <math>a=\frac{13}{2}</math>, <math>b=\frac{7}{2}</math> und <math>a\cdot b=\frac{91}{4}</math>, was nicht in der Liste vorkommt. Also verbleibt hier noch die Möglichkeit <math>a+b=5</math> zu prüfen, die aber auf <math>a=4</math>, <math>b=1</math> und <math>a\cdot b=4</math>, also auch keine Lösung, führt.

Es gibt also genau ein Lösungspaar, nämlich <math>(a,b)=\left(\frac{15}{2}, \frac{5}{2}\right)</math>.

Es stimmt, dass man die erste Lösung dieser Aufgabe im Vergleich zu deiner Lösung dann eigentlich "vergessen" kann, da sie viel zu viele Fallunterscheidungen enthält. Ich denke aber, dass man selbst die einzige Fallunterscheidung von dir oben nach dem Wert von $a-b \in \{5,3\}$ noch vermeiden kann und zwar wie folgt:

Ausgehend von der Gleichung

$(a+b)^2-(a-b)^2=4ab$ (*)

bleibt aufgrund der Tatsachen, dass 18.75 gemäß der Angabe unter den 3 Werten $a+b,a-b,ab$ vorkommen muss, aber $a\pm b=18.75$ auf den Widerspruch führt, dass die linke Seite von (*) im Gegensatz zur rechten nicht ganzzahlig ist, nur mehr die Möglichkeit $ab=18.75=\frac {75}4$ übrig. Insbesondere ist also dann $a+b>\sqrt{4\cdot \frac{75}4}>8$, womit von allen dann ganzzahligen Möglichkeiten für $a+b$ nur mehr $a+b=10$ übrigbleibt, was dann wegen (*) auch sofort $a-b=5$ zur Folge hat. Die Auflösung von

$a+b=10,\ a-b=5$

führt dann wieder auf die einzige Möglichkeit $a=\frac{15}2, b=\frac52$, welche auch tatsächlich alle Vorgaben hier erfüllt.



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cyrix
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Danke für die weitere Verbesserung! :) Es kam mir schon seltsam vor, dass ich von den gegebenen Ungleichungen nur eine sinnvoll genutzt habe...

Cyrix



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cyrix
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Für zwischendurch die Aufgabe 090923:

Jemand hat sieben Kärtchen mit jeweils einer der Ziffern 1, 2, 3, 4, 5, 6 und 7.
Man zeige, dass sich unter allen denjenigen siebenstelligen Zahlen, die unter Verwendung jeweils genau dieser sieben Kärtchen gelegt werden können (wobei ein z.B. durch Umdrehen bewirktes ”Verwandeln” der 6 in eine 9 verboten ist), keine zwei befinden, deren eine ein ganzzahliges Vielfaches der anderen ist!

Lösung:

Wir nehmen indirekt an, es gäbe zwei solche Zahlen <math>a>b</math>, die sich so bilden lassen und für die <math>a</math> Vielfaches von <math>b</math> ist. Dann gäbe es eine natürliche Zahl <math>n>1</math> mit <math>a=n \cdot b</math>.

Da <math>a</math> und <math>b</math> aus den gleichen Ziffern gebildet werden, besitzen sie die gleiche Quersumme <math>1+2+\dots+7=28</math>, lassen also wegen <math>28-3\cdot 9=1</math> jeweils den Rest <math>1</math> bei der Division durch 9.

Demnach muss auch <math>n</math> den Rest 1 bei der Teilung durch 9 lassen, damit dies auch für das Produkt <math>a=b\cdot n</math> gilt. Also ist <math>n\geq 10</math>, sodass <math>a</math> mindestens eine Stelle mehr besitzen müsste als <math>b</math>, was ein Widerspruch ist.

Kurz: <math>a\equiv b \equiv 28 \equiv 1 \pmod{9}</math>, also auch <math>n \equiv b \cdot n = a \equiv 1 \pmod{9}</math> und damit <math>n\geq 10</math>, <math>\lightning</math>.

Cyrix



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cyrix
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Zur 090924: es ist zu beweisen:
Verbindet man in einem Parallelogramm <math>ABCD</math> den Eckpunkt <math>C</math> mit den Mittelpunkten der Seiten <math>AB</math> und <math>AD</math>, so teilen diese Verbindungsstrecken die Diagonale <math>BD</math> in drei gleich lange Teilstrecken.

Lösung:

Sei mit <math>S</math> der Diagonalenschnittpunkt des Parallelogramms, <math>M</math> der Mittelpunkt von <math>AB</math> und <math>N</math> der von <math>AD</math> bezeichnet.

Die Diagonalen <math>AC</math> und <math>BD</math> halbieren sich gegenseitig. Also ist <math>BS</math> Seitenhalbierende im Dreieck <math>\triangle ABC</math>, genauso wie <math>CM</math>. Damit schneiden diese sich im Schwerpunkt <math>S_B</math> des Dreiecks, sodass <math>|BS_B|=\frac{2}{3} |SB|= \frac{1}{3} |DB|</math> gilt, da der Schwerpunkt eines Dreiecks jede seiner Seitenhalbierender im Verhältnis <math>1:2</math> teilt.

Analog ist <math>DS</math> Seitenhalbierende im Dreieck <math>\triangle ACD</math>, genauso wie <math>CN</math>. Damit schneiden sich diese beiden Geraden im Schwerpunkt <math>S_D</math> des Dreiecks, sodass wieder <math>|DS_D|=\frac{2}{3} |DS|= \frac{1}{3} |DB|</math> gilt, was zu beweisen war.

Cyrix



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HyperPlot
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2019-04-28 10:43 - Nuramon in Beitrag No. 148 schreibt:
2019-04-28 05:51 - HyperPlot in Beitrag No. 145 schreibt:
Ohne Bild immer etwas verwirrend; daher mal mein Senf dazu
Da stimme ich dir zu. Ich hatte auch darauf gehofft, dass du mir die Arbeit abnimmst razz
Vielen Dank!

stpolster hat beide Lösungen eingepflegt (hier).



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StrgAltEntf
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2019-04-22 08:33 - stpolster im Themenstart schreibt:
Aufgabe 090931:
Es sei <math>ABCDEFGH</math> ein regelmäßiges Achteck. Man denke sich alle Dreiecke gebildet, deren Ecken je drei der Punkte <math>A, B, C, D, E, F, G, H</math> sind.
Jemand will nun einige dieser Dreiecke aufschreiben, und zwar so, dass keine zwei der aufgeschriebenen Dreiecke einander kongruent sind.
Ermitteln Sie die größtmögliche Anzahl von Dreiecken, die er unter dieser Bedingung aufschreiben kann!

Lösung:
Es gibt nur fünf verschiedene Sorten von Dreiecken, d. h. jedes mögliche Dreieck gehört zu genau einer dieser Sorten. Begründung:
Für ein Dreieck mit den Ecken \(X,Y,Z\in\{A,...,H\}\) seien \(x,y\) und \(z\) die Abstände zwischen jeweils zwei Ecken. (Bei dem Dreieck mit den Ecken \(B,C,H\) wäre etwa \(x=1,y=5,z=2\).) Zwei Dreiecke sind genau dann kongruent, wenn die Tripel der zugehörigen Abstände gleich sind. Dabei spielt es aber keine Rolle, in welcher Reihenfolge die Abstände stehen. (Etwa für das Dreieck \(E,G,D\) ist \(x=2,y=5,z=1\), und die Dreiecke \(E,G,D\) und \(B,C,H\) sind kongruent.) Die Summe \(x+y+z\) ist stets gleich 8. Folglich ist die Fragestellung dazu äquivalent, auf wie viele Weisen sich 8 als Summe dreier natürlicher Zahlen darstellen lässt, wobei die Reihenfolge der Summanden keine Rolle spielt. Hierfür gibt es nur die fünf Möglichkeiten \(1+1+6=1+2+5=1+3+4=2+2+4=2+3+3\)



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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.181, eingetragen 2019-04-29


ein Bild zu Aufgabe 041226:

<math>  \begin{tikzpicture}
\draw [help lines] (-2,-2) grid (2,2);
\fill[green!50] (0.447,0.895) arc (62:208:1);
\fill[green!50] (-0.447,-0.895) arc (242:388:1);
\draw (-1.5,-1) -- (1,1.5);
\draw (-1,-1.5) -- (1.5,1);
\draw(0,0) circle (1);
\end{tikzpicture}
</math>

<math> \begin{tikzpicture}
\draw [help lines] (-2,-2) grid (2,2);
\draw[fill=green!50] (0,1) arc (90:180:1);
\draw[fill=green!50] (0,-1) arc (270:360:1);
\draw (-1.5,-0.5) -- (0.5,1.5);
\draw (-0.5,-1.5) -- (1.5,0.5);
\draw(0,0) circle (1);
\end{tikzpicture}
</math>

Hier sind jetzt beide Versionen (die erste gerade noch gerettet). Was darf's sein?



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Caban
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.182, eingetragen 2019-04-29


Hallo TomTom314

In meinen Augen sind deine Sehnen nicht richtig. Es ist ja die Geraden y=x+r/2 und nicht y=r+x.

Gruß Caban



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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.183, eingetragen 2019-04-29


... und ein Bild zu 040933

<math>  \begin{tikzpicture}
\draw (1,0) -- (1,2); % senkrecht
\draw (-1,0) -- (1,0);
\draw (0,0) -- (1,2);
\draw (1,0) arc (0:180:1);
\draw[dashed] (0.447,0) -- (0.447,0.895);
\draw[dashed] (-0.447,0.895) -- (0.447,0.895);
\draw[dashed] (-0.447,0) -- (-0.447,0.895);
\draw node[below] at (-1,0){A};
\draw node[below] at (0,0){M};
\draw node[below] at (1,0){B};
\draw node[right] at (1,2){C};
\end{tikzpicture}
</math>

@Caban: Ja,ja, ... Du hast recht. smile Ich begebe mich an die Korrektur.



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.184, eingetragen 2019-04-29


2019-04-29 21:57 - Caban in Beitrag No. 182 schreibt:
Hallo TomTom314

In meinen Augen sind deine Sehnen nicht richtig. Es ist ja die Geraden y=x+r/2 und nicht y=r+x.

Gruß Caban

Hallo Caban,

wie kommst du auf r/2? Ich hatte das in Beitrag #150 eigentlich nachbessern lassen.



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HyperPlot
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.185, eingetragen 2019-04-29


2019-04-29 20:36 - StrgAltEntf in Beitrag No. 180 schreibt:
Aufgabe 090931:
Es sei <math>ABCDEFGH</math> ein regelmäßiges Achteck. ....

Das kann man übr. problemlos mit der Bibliothek shapes per Befehl zeichnen ("shape=regular polygon, regular polygon sides=8"). Aber ich komme da nicht hinterher, die vielen Lösungen nachzusetzen.



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Caban
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.186, eingetragen 2019-04-30


Hallo

Ich bin mir fast sicher, dass in der orginalen Aufgabenstellung von stopster eine 2 als Faktor dabei war.

Gruß Caban



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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.187, eingetragen 2019-04-30


Aufgabe 2 - 090932
Konstruieren Sie ein Dreieck ABC aus $s_a= 9,6 cm$, $s_b= 12,6 cm$ und $s_c= 11,1 cm$! Dabei sind sa,sb und sc die L angen der drei Seitenhalbierenden des Dreiecks.Beschreiben und diskutieren Sie die Konstruktion!

<math>
\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (3,2);
\coordinate (C) at (4,0);
\coordinate (P) at ($0.5*(A)+0.5*(B)$);
\coordinate (Q) at ($0.5*(B)+0.5*(C)$);
\coordinate (R) at ($0.5*(C)+0.5*(A)$);
\coordinate (S) at ($(C)-0.5*(A)+0.5*(B)$);
\coordinate (T) at ($(B)-0.5*(A)+0.5*(C)$);


\draw[fill=green!50] (A) -- (B) -- (C) -- (A);
\draw (B) -- (T) -- (S) -- (C);
\draw (S) -- (P) -- (R) -- (T);
\draw[thick] (B)--(R)--(S)--(B);
\draw node[below] at (A){A};
\draw node[above] at (B){B};
\draw node[below] at (C){C};
\draw node[below] at (R){P};
\draw node[right] at (S){Q};

\end{tikzpicture}
</math>

Die Seitenmittelpunkte unterteilen das Dreieck $ABC$ in 4 kongruente Teildreiecke. Durch hinzufügen weiterer Kopien erhalten wir das Dreieck $BPQ$, dessen Seiten gerade die Längen $s_a,s_b,s_c$ haben - dieses ist an geeigneten Parallelogrammen einsehbar. $BPQ$ kann wie üblich konstruiert werden. Die Seitenhalbierenden des Dreiecks $BPQ$ sind parallel zu den Seiten des gesuchten Dreiecks $ABC$. Daher erhalten wir dieses mittels parallele Geraden durch $B$ und $P$. Insbesondere ist das Dreick konstruierbar, falls $s_a,s_b,s_c$ die Dreieckungleichungen erfüllen.


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.185 begonnen.]



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cyrix
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.188, eingetragen 2019-04-30


Ein paar neue Lösungen:

Aufgabe 1009535: Eine dreiseitige Pyramide mit den Ecken <math>A, B, C, D</math> und der Spitze <math>D</math> habe die Kantenlängen <math>AB= 4</math> cm, <math>AC = 3</math> cm, <math>BC = 5</math> cm, <math>BD = 12</math> cm, <math>CD = 13 cm</math> ud <math>\angle ABD</math> sei ein rechter Winkel.
Man berechne das Volumen der Pyramide.

Lösung:
Da <math>AB^2+AC^2=BC^2</math> gilt, ist nach der Umkehrung des Satzes des Pythagoras das Dreieck <math>\triangle ABC</math> rechtwinklig, wobei <math>AB</math> und <math>AC</math> seine Katheten sind. Also beträgt sein Flächeninhalt <math>A=\frac{1}{2} AB \cdot AC=6 cm^2</math>. Da <math>\angle ABD=90^{\circ}</math> beträgt, ist die Strecke <math>BD</math> auch gleichzeitig die Höhe der Spitze <math>D</math> über der Grundfläche <math>ABC</math>. Also beträgt das Volumen <math>V</math> der Pyramide genau <math>V=\frac{1}{3} A \cdot BD=24 cm^3</math>.


Aufgabe 100934: Besucht sind alle geordneten Tripel reeller Zahlen <math>(x,y,z)</math>, welche Lösungen des Gleichungssystems sind: <math>x+y=2</math>; <math>xy-z^2=1</math>.

(In der Aufgabenstellung im PDF ist ein Druckfehler: Das "hoch" bei <math>z^2</math> ist verloren gegangen.)

Lösung:
Aus der zweiten Gleichung erhält man <math>xy=1+z^2\geq 1</math> und damit
<math>0\leq (x-y)^2=(x+y)^2-4xy=2^2-4xy\leq 4-4=0</math>.
Also muss in dieser Ungleichungskette an jeder Stelle Gleichheit gegolten haben, sodass <math>x-y=0</math> und <math>xy=1</math>, also <math>x=y=\pm 1</math>, und mit Gleichung (2) auch <math>z=0</math> folgt.

Es kann also nur zwei Lösungstripel <math>(x,y,z)</math> geben, nämlich <math>(-1,-1,0)</math> und <math>(1,1,0)</math>. Die Probe bestätigt aber nur das zweite, sodass <math>(1,1,0)</math> die einzige Lösung des gegebenen Gleichungssystems ist.


Aufgabe 100936:
Es sei ein Dreieck <math>\triangle ABC</math> aus <math>a+b+c, \alpha, \gamma</math> zu konstruieren. Dabei bedeuten wie üblich <math>a,b,c</math> die Längen der Seiten <math>BC, AC, AB</math> und <math>\alpha, \gamma</math> die Größen der Winkel <math>\angle CAB, \angle ACB</math>. Beschreiben, begründen und diskutieren Sie Ihre Konstruktion!

Lösung:
1) Man zeichne zuerst ein beliebiges Dreieck mit den Innenwinkeln <math>\alpha</math> und <math>\gamma</math>, indem man ausgehend von zwei Punkten <math>A</math> und <math>C^{\prime}</math> an die Strecke <math>AC^{\prime}</math> in <math>A</math> den Winkel <math>\alpha</math> und in <math>C^{\prime}</math> den Winkel <math>\gamma</math> in entsprechender Orientierung, dass sich ein Dreieck <math>AB^{\prime}C^{\prime}</math> mit <math>B^{\prime}</math> als Schnittpunkt der freien Schenkel der gezeichneten Winkel ergibt.
2) Auf einer Geraden durch <math>A</math>, welche weder <math>\B^{\prime}</math> noch <math>C^{\prime}</math> enthält, konstruiere man einen Punkt <math>S^{\prime}</math> mit <math>AS^{\prime}=AC^{\prime}+AB^{\prime}+B^{\prime}C^{\prime}</math>, indem man zuerst die Strecke <math>AC^{\prime}</math> an <math>A</math>, dann <math>AB^{\prime}</math> an den so erhaltenen ersten Zwischenpunkt und schließlich die Strecke <math>B^{\prime}C^{\prime}</math> an den gerade erhaltenen zweiten Zwischenpunkt auf der Geraden anträgt.
3) Auf dem von <math>A</math> ausgehenden Strahl, der <math>S</math> enthält, konstruiere man auch den Punkt <math>S</math> mit <math>AS=a+b+c</math>.
4) Man konstruiere nun die Parallele zu <math>B^{\prime}S^{\prime}</math> durch <math>S</math>. Diese schneide die Gerade <math>AB^{\prime}</math> in <math>B</math>.
5) Analog sei der Schnittpunkt der Parallelen zu <math>C^{\prime}S^{\prime}</math> durch <math>S</math> mit der Geraden <math>AC^{\prime}</math> mit <math>C</math> bezeichnet.

Dann ist <math>\triangle ABC</math> das gesuchte Dreieck.

Beweis: Das Dreieck <math>\triangle AB^{\prime}C^{\prime}</math> ist ähnlich zum zu konstruierenden Dreieck, da es nach Konstruktion in zwei Innenwinkeln mit diesem übereinstimmt. Also gibt es einen Streckungsfaktor <math>k</math>, sodass alle Seitenlängen des Dreiecks <math>\triangle AB^{\prime}C^{\prime}</math> um den gleichen Faktor <math>k</math> gestreckt werden müssen, um die Seitenlängen des gesuchten Dreiecks zu erhalten. Demzufolge ist auch der Umfang des Dreiecks <math>\triangle AB^{\prime}C^{\prime}</math> um den Faktor <math>k</math> zu klein. Dieser Umfang ist durch die Strecke <math>AS^{\prime}</math> gegeben; der Umfang des zu konstruierenden Dreiecks mit <math>AS</math>, der Streckungsfaktor also durch <math>\frac{AS}{AS^{\prime}}</math>.
Nach den Strahlensätzen ist aber nach Konstruktion <math>\frac{AB}{AB^{\prime}}=\frac{AS}{AS^{\prime}}</math> und analog <math>\frac{AC}{AC^{\prime}}=\frac{AS}{AS^{\prime}}</math>, da die von <math>A</math> ausgehenden Strahlen <math>AB</math>, <math>AC</math> und <math>AS</math> von den Parallelen <math>BS</math> und <math>B^{\prime}S^{\prime}</math> bzw. <math>CS</math> und <math>C^{\prime}S^{\prime}</math> geschnitten werden. Damit ist <math>\triangle ABC</math> das gesuchte Dreieck.


Aufgabe 100933: Wenn <math>x</math> eine reelle Zahl ist, so bedeute <math>[x]</math> die größte ganze Zahl, die nicht größer als <math>x</math> ist. (So ist z.B. [3,7]=3, [-3,7]=-4, [4]=4.)
Ermitteln Sie alle diejenigen reellen Zahlen <math>x</math>, für die gilt:
<math>\left[\frac{10+3x}{6}\right]=\frac{5x+3}{7}</math>.

Lösung:
Die Gleichung wird genau dann erfüllt, wenn die folgenden beiden Ungleichungen zugleich wahr sind:
<math>\frac{5x+3}{7} \leq \frac{10+3x}{6}</math> und <math>\frac{10+3x}{6} < \frac{5x+3}{7} + 1=\frac{5x+10}{7}</math>.

Die erste Ungleichung ist äquivalent zu <math>\left(\frac{5}{7}-\frac{3}{6}\right)x \leq \frac{10}{6}-\frac{3}{7}</math> bzw. <math>\frac{3}{14} \cdot x \leq \frac{26}{21}</math>, also <math>x\leq \frac{26}{21} \cdot \frac{14}{3}=\frac{52}{9}</math>.

Und die zweite Ungleichung ist äquivalent zu <math>\left(\frac{3}{6}-\frac{5}{7}\right) \cdot x < \frac{10}{7}-\frac{10}{6}</math> bzw. <math>-\frac{3}{14} \cdot x < -\frac{5}{21}</math>, also <math>x > \frac{5}{21} \cdot \frac{14}{3}=\frac{10}{9}</math>.

Zusammengefasst erfüllen also genau die reellen Zahlen <math>x</math> mit <math>\frac{10}{9}<x\leq \frac{52}{9}</math> die gegebene Betragsgleichung.


Cyrix

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.184 begonnen.]



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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.189, eingetragen 2019-04-30


@caban, StrgAltEntf
Im Original der Augabe 041226 steht tatsächlich $r/2$. @Caban: Es wäre schön, wenn Du zu der Aufgabe noch die Koordinaten der "Ecken" berechnest.

Viele Grüße
Tom



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Kornkreis
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.190, eingetragen 2019-04-30


2019-04-28 18:21 - StrgAltEntf in Beitrag No. 162 schreibt:

Vorhin habe ich auf einer Zugfahrt ebenfalls über diese Aufgabe nachgedacht und bin, so meine ich, auf eine etwas griffigere Lösung gekommen.

Sei \(d_1\) eine Dame mit den meisten Tanzpartnern und \(h_1\) ein Herr, mit dem \(d_1\) nicht getanzt hat. \(d_2\) sei eine Tanzpartnerin von \(h_1\). Dann gibt es einen Herrn \(h_2\), mit dem \(d_1\) aber nicht \(d_2\) getanzt hat. (Denn sonst hätte \(d_2\) mit allen Tanzpartnern von \(d_1\) und zusätzlich mit \(h_1\) getanzt, was der Maximalität von \(d_1\) widerspricht.) \(d_1\), \(d_2\), \(h_1\) und \(h_2\) bilden ein Quartett, wie es laut Aufgabenstellung behauptet wird.

Kurz und schmerzlos, gefällt mir! wink

Aufgabe 061241:
In einer Ebene <math>\epsilon</math> seien ein Quadrat <math>ABCD</math> und ein in seinem Innern gelegenen Punkt <math>P</math> gegeben. Ein Punkt <math>Q</math> durchlaufe alle Seiten des Quadrates.
Beschreiben Sie die Menge aller derjenigen Punkte <math>R</math> in <math>\epsilon</math>, für die das Dreieck <math>\Delta PQR</math> gleichseitig ist!

Lösung
Die Menge der Punkte R entspricht den Rändern des Quadrates ABCD nach Drehung um den Punkt P um 60° sowie -60°, was aus der folgenden Zeichnung ersichtlich wird.


Beweis (skizziert): Da es für die zwei stets nicht-identischen Punkte P, Q in der Ebene immer genau zwei gleichseitige Dreiecke gibt (PQR und PQR'), betrachten wir im Folgenden nur den Punkt R, der sich auf einer bestimmten Seite von PQ befindet (d.h. wir schließen Sprünge von R zu R' aus). Man begründet leicht, dass sich R genau dann auf einer Geraden bewegt, wenn sich Q auf einer Geraden bewegt, da die Änderung von Winkel und Länge von PQ identisch für PR ist. Außerdem folgt, dass sich R auf einer Strecke bewegt, die aus der Drehung von AB um den Winkel 60° um P hervorgeht, wenn sich Q auf AB bewegt (analog für die anderen vier Seiten). In den Übergängen zwischen zwei Seiten, wenn Q seine Richtung um 90° ändert, ändert auch R seine Richtung um 90° (mit der gleichen Orientierung). Insgesamt folgt daraus die obige Behauptung.




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stpolster
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.191, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-30


2019-04-30 00:34 - TomTom314 in Beitrag No. 189 schreibt:
@caban, StrgAltEntf
Im Original der Augabe 041226 steht tatsächlich <math>r/2</math>. @Caban: Es wäre schön, wenn Du zu der Aufgabe noch die Koordinaten der "Ecken" berechnest.
Viele Grüße
Tom
Hallo,
im Original steht <math>r/2</math>. Sorry, mein Fehler. Ich habe es geändert.

LG Steffen



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cyrix
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.192, eingetragen 2019-04-30


Moin,

ein paar neue Lösungen:

Aufgabe 100921: Vier Freunde A, B, C und D verstecken einen Brief. Einer von ihnen nimmt ihn an sich.
Anschließend macht jeder von ihnen die folgenden genannten drei Aussagen, von denen
wenigstens je zwei wahr sind.
A (1) ”Wenn ich den Brief nicht habe, dann hat ihn C.”
(2) ”Ich habe den Brief nicht.”
(3) ”Mein Freund hat den Brief.”
B (1) ”Entweder A oder C hat den Brief.”
(2) ”Alle Aussagen von A sind wahr.”
(3) ”D hat den Brief nicht.”
C (1) ”Wenn ich den Brief nicht habe, dann hat ihn B.”
(2) ”Ich habe den Brief.”
(3) ”B macht keine falschen Aussagen.”
D (1) ”Ich habe den Brief nicht.”
(2) ”Entweder hat A den Brief, oder er hat ihn nicht.”
(3) ”B hat das Spiel ausgedacht.”
Wer hat den Brief?


Lösung:
A kann den Brief nicht haben, da sonst seine Aussagen <math>A_2</math> und <math>A_3</math> falsch wären. (Er wird sich nicht als sein eigener Freund bezeichnen.) Auch B kann den Brief nicht haben, da sonst die Aussage <math>A_1</math> und damit neben <math>B_1</math> auch <math>B_2</math> falsch wären. Gleiches gilt, wenn D den Brief hätte.

Es verbleibt die Frage, ob C den Brief haben kann. In dem Fall sind die Aussagen <math>A_1</math> bis <math>A_3</math> richtig, da C ein Freund von A ist. Damit sind auch alle Aussagen <math>B_1</math> bis <math>B_3</math> von B wahr sowie alle drei Aussagen von <math>C</math>. (Man beachte dazu bei <math>C_1</math>, dass die Voraussetzung der Implikation, dass C den Brief nicht selbst hätte, in diesem Fall nicht erfüllt ist, die Implikation also wahr ist.) Schließlich sind die Aussagen <math>D_1</math> und <math>D_2</math> (letzteres, da es eine Tautologie ist) wahr; über <math>D_3</math> können wir keine Aussage treffen. Also trifft jeder der vier Freunde in diesem Fall mindestens zwei korrekte Aussagen, sodass tatsächlich C den Brief haben muss.


Aufgabe 100923: Gegeben seien zwei reelle Zahlen <math>m\neq 0</math> und <math>n</math>. Ferner sei <math>f</math> die durch <math>f(x) = mx + n</math> für alle reellen Zahlen definierte Funktion.
a) Ermitteln Sie für <math>m = 1</math> und <math>n = 0</math> alle Zahlen <math>x_0</math>, für die <math>2 \cdot f(x_0) = f(x_0 + 2)</math> gilt (d.h. für die der Funktionswert an der Stelle <math>x_0 + 2</math> doppelt so groß ist wie der an der Stelle <math>x_0</math>)!
b) Ermitteln Sie bei beliebig gegebenen reellen Zahlen <math>m\neq 0</math> und <math>n4 alle Zahlen </math>x_0<math>, fr die </math>2 \cdot f(x_0) = f(x_0 + 2)<math> gilt!

Lsung:
a) Durch die Wahl von </math>m<math> und </math>n<math> ist </math>f(x)=x<math> fr alle reellen Zahlen </math>x<math>, d.h., es sind die Lsungen der Gleichung 2 \cdot x_0= x_0+2</math> gesucht, was genau für <math>x_0=2</math> erfüllt wird.
b) Hier ist die Gleichung <math>2m \cdot x_0+ 2n=m\cdot x_0+2m+n</math> zu lösen, was äquivalent ist zu <math>m \cdot x_0=2m-n</math>, also <math>x_0=2-\frac{m}{n}</math>.


Aufgabe 100924:  Eine regelmäßige gerade dreiseitige Pyramide ist eine Pyramide, deren Grundfläche eine gleichseitige Dreiecksfläche ist und deren Höhenfußpunkt mit dem Schwerpunkt der Grundfläche zusammenfällt.
In der regelmäßigen Pyramide mit den Ecken <math>A,B,C,D</math> und der Spitze <math>D</math> sei der Neigungswinkel zwischen jeder der drei Seitenflächen und der Grundfläche <math>60^{\circ}</math> groß. Die Grundfläche habe die Seitenlänge <math>a</math>.
Berechnen Sie das Volumen <math>V</math> dieser Pyramide!
Anmerkung: Haben zwei ebene Flächen eine gemeinsame Kante und ist <math>P</math> ein von den Endpunkten verschiedener Punkt dieser Kante, dann ist der Winkel, den zwei in <math>P</math> auf der Kante errichtete und in den beiden Flächen gelegene senkrecht stehende Strecken miteinander bilden, gleich dem Neigungswinkel der beiden Flächen zueinander.

Lösung:
Es sei <math>M</math> der Mittelpunkt der Strecke <math>AB</math>. Dann ist das Dreieck <math>\triangle CAM</math> rechtwinklig mit Hypothenuse <math>CA</math> und es gilt <math>|CM|=\sqrt{|CA|^2-|AM|^2}=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2} a</math>. Damit ist <math>A_{ABC}=\frac{1}{2} \cdot |CM| \cdot |AB|=\frac{\sqrt{3}}{4} a^2</math>.

Sei <math>S</math> der Schwerpunkt der Grundfläche. Da der Schwerpunkt die Seitenhalbierenden im Verhältnis 2:1 teilt und <math>CM</math> eine Seitenhalbierende in der Grundfläche ist, gilt <math>|SM|=\frac{1}{3} |CM|=\frac{1}{2 \cdot \sqrt{3}} a</math>.

Die drei Punkte <math>D</math>, <math>S</math> und <math>M</math> bilden ein rechtwinkliges Dreieck mit rechtem Winkel bei <math>S</math> und <math>\angle SMD=60^{\circ}</math>, da sowohl <math>SM=CM</math> als auch <math>DM</math> senkrecht auf <math>AB</math> stehen. (Es ist das Dreieck <math>\triangle ABD</math> gleichschenklig mit <math>|AD|=|BD|</math>, also die Seitenhalbierende <math>DM</math> auf <math>AB</math> gleich der Höhe von <math>D</math> auf <math>AB</math>, also <math>DM</math> orthogonal zu <math>AB</math>.)

Nach der Definition des Tangens im rechtwinkligen Dreieck <math>\triangle DMS</math> ist <math>\tan \angle SMD=\frac{|SD|}{|SM|}</math>, also <math>|SD|=\tan 60^{\circ} \cdot |SM|=\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{3}} a= \frac{a}{2}</math>.

Damit ergibt sich für das Volumen <math>V</math> der Pyramide <math>V=\frac{1}{3} \cdot A_{ABC} \cdot |SD|= \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \cdot \frac{a}{2}=\frac{\sqrt{3}}{24} a^3</math>.

Cyrix



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cyrix
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Und noch schnell die fehlenden Lösungen für die 10093:

Aufgabe 100931: Günter verbrachte in seinen Ferien eine Anzahl von Tagen mit seiner FDJ-Gruppe in einem Lager. An jedem Tage wurden aus seiner Gruppe genau zwei Schüler vormittags und genau zwei Schüler nachmittags zum Tischdienst eingeteilt. Im Laufe der Tage wurden alle Schüler seiner Gruppe gleich oft zu diesem Tischdienst eingesetzt.
Ferner ist folgendes bekannt:
(1) Günter war an genau 6 Tagen zum Tischdienst eingeteilt.
(2) Wenn er nachmittags Tischdienst hatte, hatte er vormittags keinen.
(3) Er hatte an diesen Tagen genau 13 mal nachmittags keinen Tischdienst.
(4) Er hatte an diesen Tagen genau 11 mal vormittags keinen Tischdienst.
Aus wieviel Schülern bestand Günters Gruppe?

Lösung:

Nach (3) und (4) hatte er genau zwei mal öfter vormittags als nachmittags Tischdienst, und da er nach (2) niemals sowohl vormittags als auch nachmittags Tischdienst hatte, war er mit (1) an genau vier Tagen vormittags, an zweien nachmittags und an 13-4=11-2=9 gar nicht beschäftigt. Das Lager dauerte damit 9+4+2=15 Tage, sodass <math>15 \cdot 4=60</math> Schüler-Tischdienst-Einsätze notwendig waren. Günther war zu 6 davon eingeteilt, sodass also insgesamt seine Gruppe aus <math>\frac{60}{6}=10</math> Schülern bestand.


Aufgabe 100932: In einem Quadrat <math>ABCD</math> mit der Seitenlänge <math>a</math> seien die Mittelpunkte der Seiten <math>AB, BC, CD, DA</math> mit <math>E, F, G, H</math> bezeichnet.
In dem Streckenzug <math>AFDECHBGA</math> auftretenden Schnittpunkte seien so mit <math>K, L, M, N, O, P, R</math> bezeichnet, dass <math>AKELBMFNCOGPDQHR</math> ein (nicht konvexes) Sechzehneck ist, auf dessen Seiten keine weiteren Schnittpunkte des obengenannten Streckenzuges mit sich selbst liegen (siehe Abbildung).
Berechnen Sie den Flächeninhalt dieses Sechzehnecks!

Lösung (ohne Skizze):

Der Flächeninhalt des Sechszehnecks ergibt sich als Differenz der Fläche des Quadrats und der der acht (aus Symmetriegründen -- Spiegelung an den Diagonalen bzw. den Mittelparallelen des Quadrats bzw. Hintereinanderausführungen davon überführt je zwei solche ineinander -- kongruenten) Dreiecke <math>AKL</math>, <math>ELB</math>, <math>BMF</math>, <math>FNC</math>, <math>COG</math>, <math>GPD</math>, <math>DQH</math> und <math>HRA</math>.

Der Flächeninhalt des Dreiecks <math>AED</math> beträgt <math>\frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a}{2}=\frac{a^2}{4}</math>. Dieses lässt sich zerlegen in das Dreieck <math>AKE</math> und das Dreieck <math>DAK</math>. Aufgrund der Parallelität der Geraden <math>AK=AF</math> und <math>HQ=HC</math> geht das Dreieck <math>DAK</math> durch Streckung mit Zentrum <math>D</math> um den Faktor 2 aus dem Dreieck <math>DHQ</math> hervor, da <math>|DA|=2|DH|</math> ist. Sei mit <math>x</math> der Flächeninhalt des Dreiecks <math>AKE</math> bezeichnet. Dann hat also auch das Dreieck <math>DHQ</math> den Flächeninhalt <math>x</math> und das Dreieck <math>DAK</math> demnach den Flächeninhalt <math>2^2 \cdot x= 4x</math>. Nach der Vorüberlegung ist der Flächeninhalt des Dreiecks <math>AED</math> gleich <math>4x+x=\frac{1}{4} a^2</math>, sodass jedes einzelne der betrachteten "kleinen Dreiecke" den Flächeninhalt von <math>x=\frac{1}{20} a^2</math> besitzt.

Der Flächeninhalt des Sechszehnecks beträgt demnach <math>a^2-8\cdot \frac{1}{20} a^2=\frac{3}{5} a^2</math>.

Cyrix



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@cyrix

Was hälst Du von dieser Skizze zu 100932?

<math>
\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,0);
\coordinate (C) at (5,5);
\coordinate (D) at (0,5);
\coordinate (E) at ($0.5*(A)+0.5*(B)$);
\coordinate (F) at ($0.5*(B)+0.5*(C)$);
\coordinate (G) at ($0.5*(C)+0.5*(D)$);
\coordinate (H) at ($0.5*(D)+0.5*(A)$);

\coordinate (P) at (intersection of  A--F and B--G);
\coordinate (Q) at (intersection of  A--F and D--E);
\coordinate (R) at ($0.5*(B)+0.5*(P)$);

\fill[green!50] (A)--(Q)--(E);
\fill[green!50] (F)--(B)--(P);
\fill[yellow!50] (B)--(P)--(Q)--(E);
\draw (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- (A);
\draw (A) -- (F);
\draw (D) -- (E);
\draw (C) -- (H);
\draw (B) -- (G);
\draw (Q) -- (R);
\draw (R) -- (E);

\end{tikzpicture}
</math>



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<math>% Seitenlngen
\pgfmathsetmacro{\a}{6} %
\pgfmathsetmacro{\b}{3.2} %
\pgfmathsetmacro{\c}{4.5} %
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))} %
\pgfmathsetmacro{\Beta}{acos((\a^2+\c^2-\b^2)/(2*\a*\c))} %
\pgfmathsetmacro{\Gamma}{acos((\a^2+\b^2-\c^2)/(2*\a*\b))} %

\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}

\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },
Dreieck/.style={thick},
]

% Dreieckskonstruktion
\coordinate[Punkt={below}{B}] (B) at (0,0);
\coordinate[Punkt={below}{C}] (C) at (\a,0);
\coordinate[Punkt={above}{A}] (A) at (\Beta:\c);
\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; % Dreieck zeichnen



\pgfmathsetmacro{\B}{tan(\Beta)} %
\pgfmathsetmacro{\G}{tan(\Gamma)} %
\pgfmathsetmacro{\p}{sqrt(3)/2} %

\pgfmathsetmacro{\n}{(\a*\G*(\B+2*\p))/(2*(\B*(\G+\p)+\G*\p))} %
\pgfmathsetmacro{\m}{(\a*\B*(\G+2*\p))/(2*(\B*(\G+\p)+\G*\p))} %
\pgfmathsetmacro{\x}{(\a*\B*\G)/(\B*(\G+\p)+\G*\p)} %

\draw[blue,thick] (B) -- (\n,0) coordinate[Punkt={text=red, below}{Z}] (Z);,
%\draw[red, thick] (C) --+ (-\m,0) coordinate(Z);

\draw[red] (Z) --++ (60:\x) coordinate[Punkt={right}{X}](X) node[midway, right]{$x$}
--++ (-\x,0) coordinate[Punkt={left}{Y}](Y) node[midway, above]{$x$}
-- (Z) node[midway, left]{$x$};




%\draw[] (Ha) --+ (60:2) coordinate(Y);
%\draw[] (Ha) --+ (120:2) coordinate(X);
%\draw[] (X) -- (Y);
%
%
%\pgfmathsetmacro{\s}{(\a+\b+\c)/2} %
%\pgfmathsetmacro{\F}{sqrt(\s*(\s-\a)*(\s-\b)*(\s-\c))} %
%\pgfmathsetmacro{\ha}{2*\F/\a} %
%\pgfmathsetmacro{\p}{sqrt(3)/2} %
%%\pgfmathsetmacro{\x}{sqrt(\a*(\a*\p+4*\ha))/(2*sqrt(\p))-\a/2} %
%\pgfmathsetmacro{\x}{sqrt((sqrt(\a^2*\p^2+2*\p*\a*\ha)-\a*\p)/(\p)} %
%
%
%\pgfmathsetmacro{\H}{\p*\x} %
%\pgfmathsetmacro{\CY}{\H/sin(\Gamma)} %  a
%\pgfmathsetmacro{\YZ}{\x} %  b
%\pgfmathsetmacro{\CZ}{sqrt(\CY^2+\YZ^2-2*\CY*\YZ*cos(180-60-\Gamma))} %  c
%\draw[blue, thick] (C) -- (\CZ,0) coordinate(Z) --+ (180-60:\x) ;
%
%\pgfmathsetmacro{\XZ}{\x} %  a
%\pgfmathsetmacro{\BX}{\H/sin(\Beta)} %  b
%\pgfmathsetmacro{\BZ}{sqrt(\XZ^2+\BX^2-2*\XZ*\BX*cos(180-60-\Beta))} %  c
%\draw[red] (B) -- (\BZ,0) coordinate(Z) --+ (60:\x); %--++ (-\x,0) -- (Z);

%\path[] (B) -- ($(B)!0.5!(A)$) coordinate[Punkt={left}{M_c}] (Mc);
%\path[] (C) -- ($(C)!0.5!(A)$) coordinate[Punkt={right}{M_b}] (Mb);
%\draw[] (Mc) -- (Mb);
%\draw[] (Mc) circle[radius=0.5*\c];
%\draw[] (Mb) circle[radius=0.5*\c];










%% Annotationen - Aufgabe
%\pgfmathsetmacro{\x}{max(\a, \b,\c)} %
%\begin{scope}[shift={($(dreieck.north west)+(-\x cm-3mm,0)$)}]
%% Strecken
%\foreach[count=\y from 0] \s/\S in {a/a,b/b,c/c}{%%
%\draw[|-|, yshift=-\y*5mm, local bounding box=strecken] (0,0) -- (\csname \s \endcsname,0) node[midway, above]{$\S$ %= \csname \s \endcsname cm
%};}%%
%\end{scope}
%% Winkel
%\pgfmathsetmacro{\AlphaXShift}{\Alpha > 90 ? -cos(\Alpha) : 0} %
%\draw[shift={($(strecken.south west)+(\AlphaXShift,-12mm)$)}] (\Alpha:1)  coordinate(P) -- (0,0) coordinate(Q) -- (1,0) coordinate(R);
%\draw pic [draw, angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.3,
%% pic text={$\alpha$}, pic text options={},
%"$\alpha$",
%] {angle =R--Q--P};


%%% Punkte
%\foreach \P in {B}
%\draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);

\end{tikzpicture}
</math>


Konstruktion und Rechnung.


<math>% Seitenlngen
\pgfmathsetmacro{\a}{6} %
\pgfmathsetmacro{\b}{3.2} %
\pgfmathsetmacro{\c}{4.5} %
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))} %
\pgfmathsetmacro{\Beta}{acos((\a^2+\c^2-\b^2)/(2*\a*\c))} %
\pgfmathsetmacro{\Gamma}{acos((\a^2+\b^2-\c^2)/(2*\a*\b))} %

\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}

\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },
Hilfs/.style={overlay, draw=none},
]

% Dreieckskonstruktion
\coordinate[Punkt={below}{B}] (B) at (0,0);
\coordinate[Punkt={below}{C}] (C) at (\a,0);
\coordinate[Punkt={above}{A}] (A) at (\Beta:\c);
\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; % Dreieck zeichnen

\pgfmathsetmacro{\B}{tan(\Beta)} %
\pgfmathsetmacro{\G}{tan(\Gamma)} %
\pgfmathsetmacro{\p}{sqrt(3)/2} %

\pgfmathsetmacro{\n}{(\a*\G*(\B+2*\p))/(2*(\B*(\G+\p)+\G*\p))} %
\pgfmathsetmacro{\m}{(\a*\B*(\G+2*\p))/(2*(\B*(\G+\p)+\G*\p))} %
\pgfmathsetmacro{\x}{(\a*\B*\G)/(\B*(\G+\p)+\G*\p)} %
%
\draw[blue,thick] (B) -- (\n,0) coordinate[Punkt={text=red, below}{Z}] (Z);,
%\draw[red, thick] (C) --+ (-\m,0) coordinate(Z);

\draw[red] (Z) --++ (60:\x) coordinate[Punkt={right}{X}](X) node[midway, right]{$x$}
--++ (-\x,0) coordinate[Punkt={left}{Y}](Y) node[midway, above]{$x$}
-- (Z) node[midway, left]{$x$};


% Winkel
\draw pic [draw, angle radius=3.5mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\alpha$",
] {angle =B--A--C};
\draw pic [draw, angle radius=9mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\beta$",
] {angle =C--B--A};
\draw pic [draw, angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\gamma$",
] {angle =A--C--B};

\draw pic [draw, angle radius=6mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\beta$",
] {angle =X--Y--A};
\draw pic [draw, angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\gamma$",
] {angle =A--X--Y};

\draw pic [draw, angle radius=4mm, angle eccentricity=1.5,
"$60^\circ$",
] {angle =Y--Z--B};
\draw pic [draw, angle radius=4mm, angle eccentricity=1.6,
"$60^\circ$",
] {angle =C--Z--X};

\draw pic [draw, angle radius=5mm, angle eccentricity=1.4,
"$60^\circ$",
] {angle =X--Z--Y};
\draw pic [draw, angle radius=4mm, angle eccentricity=1.6,
"$60^\circ$",
] {angle =Z--Y--X};
\draw pic [draw, angle radius=4mm, angle eccentricity=1.6,
"$60^\circ$",
] {angle =Y--X--Z};

\draw pic [draw, angle radius=3mm, angle eccentricity=1.6, double,
pic text={$120^\circ$-$\beta$}, pic text options={font=\tiny, xshift=-2pt},
] {angle =B--Y--Z};
\draw pic [draw, angle radius=3mm, angle eccentricity=1.8, double,
pic text={$120^\circ$-$\gamma$}, pic text options={font=\tiny},
] {angle =Z--X--C};

\node[below, anchor=north west, align=left, text width=\textwidth-\a cm-0mm,
draw=none, inner sep=1pt,
xshift=\n cm-5mm,  yshift=3mm,
font=\normalsize,
%fill=black!1, draw=red,
] at (A){%\vspace{-1em}
Planfigur 1. Die Betrachtung der Stufen- bzw. F-Winkel sowie der Supplementwinkel bei $X$ und $Y$ liefert die $60^\circ$-Winkel bei $Z$. \\[0.5em]
Zur Konstruktion wird also lediglich die Position der Spitze $Z$ des gesuchten gleichseitigen Dreiecks $XYZ$ bentigt.
};




%%% Punkte
%\foreach \P in {B}
%\draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);

\end{tikzpicture}
</math>

<math>\pgfdeclarelayer{background}
\pgfdeclarelayer{foreground}
\pgfsetlayers{background,main,foreground}% Achtung: hier keine Leerstellen!

% Seitenlngen
\pgfmathsetmacro{\a}{6} %
\pgfmathsetmacro{\b}{3.2} %
\pgfmathsetmacro{\c}{4.5} %
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))} %
\pgfmathsetmacro{\Beta}{acos((\a^2+\c^2-\b^2)/(2*\a*\c))} %
\pgfmathsetmacro{\Gamma}{acos((\a^2+\b^2-\c^2)/(2*\a*\b))} %

\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}

\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },
Hilfs/.style={overlay, draw=none},
]

% Dreieckskonstruktion
\coordinate[Punkt={below}{B}] (B) at (0,0);
\coordinate[Punkt={below}{C}] (C) at (\a,0);
\coordinate[Punkt={above}{A}] (A) at (\Beta:\c);
\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; % Dreieck zeichnen

%% Hhe hc
%\draw[densely dashed, gray] (A) -- ($(B)!(A)!(C)$) coordinate[Punkt={below}{}] (Ha);


\pgfmathsetmacro{\B}{tan(\Beta)} %
\pgfmathsetmacro{\G}{tan(\Gamma)} %
\pgfmathsetmacro{\p}{sqrt(3)/2} %

\pgfmathsetmacro{\n}{(\a*\G*(\B+2*\p))/(2*(\B*(\G+\p)+\G*\p))} %
\pgfmathsetmacro{\m}{(\a*\B*(\G+2*\p))/(2*(\B*(\G+\p)+\G*\p))} %
\pgfmathsetmacro{\x}{(\a*\B*\G)/(\B*(\G+\p)+\G*\p)} %

\draw[blue] (B) -- (\n,0) coordinate[Punkt={text=red, left, yshift=3pt}{Z}] (Z);,
%\draw[red, thick] (C) --+ (-\m,0) coordinate(Z);

\draw[red, densely dashed, thin] (Z) --++ (60:\x) coordinate[Punkt={right}{X}](X) node[midway, right]{$x$}
--++ (-\x,0) coordinate[Punkt={left}{Y}](Y) node[midway, above]{$$}
-- (Z) node[midway, left]{$$};

%\draw[red] (Z) -- (A);


% Herleitung der Konstrukion
\path[name path=AC] (A) -- (C);

\foreach[count=\K] \k in {2,4}{%%%%%%%%%%%%%%%
\pgfmathsetmacro{\n}{\k/10} %
\tikzset{font=\tiny}
\path[name path=XsY, Hilfs] ($(A)!\n!(B)$) coordinate[Punkt={left}{Y_\K}](Y\K)
--+ (\a,0) coordinate(Xs);
\path[name intersections={of=AC and XsY, name=X\K}];
\coordinate[Punkt={right}{X_\K}] (X\K) at (X\K-1);
\path let
\p0 = (Y\K), % Zentrum
\p1 = (X\K),
\n1 = {veclen(\y1-\y0,\x1-\x0)},    \n2={atan2(\y1-\y0,\x1-\x0)}
in    [savevalue={\Radius}{\n1}, savevalue={\winkel}{\n2}];
%\pgfmathsetmacro{\Winkel}{\winkel} % "pt" abstreifen
%\draw[red,ultra thick] (Y) --+ (\Radius, 0); % Test

\path[name path=kreisX, Hilfs] (X\K) circle[radius=\Radius];
\path[name path=kreisY, Hilfs] (Y\K) circle[radius=\Radius];
\path[name intersections={of=kreisX and kreisY, name=Z}];
\coordinate[Punkt={right, text=red}{Z_\K}] (Z\K) at (Z-2);

\draw[] (X\K) -- (Y\K) -- (Z\K) --cycle;

\draw[name path=gerade, red, shorten <=-3mm] (Z\K) --  (A);

\draw[name path=gAB, densely dashed] (A) -- ($(A)!1.4!(B)$);
\draw[name path=ZP, densely dashed] (Z\K) --+ (-2.1*\m,0);
\path[name intersections={of=gAB and ZP, name=P\K}];
\coordinate[Punkt={above, red}{P_\K}] (P\K) at (P\K-1);
\begin{pgfonlayer}{foreground}
\draw[red, fill=black!1] (P\K) circle (1.75pt);
\draw[red, fill=black!1] (Z\K) circle (1.75pt);
\end{pgfonlayer}
}%%%%%%%%%%%%%%%
\node[xshift=-4pt, below, red] at (Z2) {$p$};

\node[below, anchor=north west, align=left, text width=\textwidth-\a cm-0mm,
draw=none, inner sep=1pt,
xshift=\n cm-5mm,  yshift=3mm,
font=\normalsize,
%fill=black!1, draw=red,
] at (A){%\vspace{-1em}
Planfigur 2. Legt man in das Ausgangsdreieck $ABC$ zwei beliebige gleichseitige Dreiecke $X_1 Y_1 Z_1$ und $X_2 Y_2 Z_2$, deren Basen parallel zur Seite $|BC|$ des Ausgangsdreiecks sind ($|X_1 Y_1| \parallel |BC|$ und $|X_2 Y_2| \parallel |BC|$); und deren Spitzen ($Z_1$ und $Z_2$) nicht notwendigerweise auf der Seite $|BC|$ liegen, so folgt aus der Strahlensatzfigur mit Scheitelpunkt $A$ und Schenkeln durch die Punkte $Z$ und die Hilfspunkte $P$, dass die Spitzen $Z$ auf einer Geraden $p$ liegen. Dass auch der Punkt $A$ auf der Geraden liegt folgt, wenn man die Basis eines der gleichseitigen Dreiecke beliebig an den Punkt $A$ annhert. \\
Dementsprechend gengt es auch ein beliebiges gleichseitges Dreieck einzupassen, etwa $X_1 Y_1 Z_1$, und $p$ als diejenige Gerade durch $A$ und $Z_1$ zu konstruieren.
\\[0.5em]
Der Schnittpunkt von $p$ mit der Seite $|BC|$ liefert also die Position der Spitze $Z$ des gesuchten gleichseitigen Dreiecks; welches sich damit ohne Weiteres aus obiger Winkelbetrachtung konstruieren lsst.
};




%% Annotationen - Rechnung
%\tikzset{PosUnten/.style={below=5mm of dreieck, anchor=north,}}
%\tikzset{PosLinks/.style={shift={($(dreieck.north)+(-40mm,0)$)}, anchor=north east,}}
%\node[yshift=-0mm, draw, align=left, fill=lightgray!50,
%PosUnten,
%%PosLinks,
%]{
%$\begin{array}{l l}
%a = \a \text{ cm}  &  \\
%b = \b \text{ cm}  &  \\
%c = \c \text{ cm}  &  \\
%\alpha = \Alpha^\circ    &  \\
%\beta = \Beta^\circ    &  \\
%\gamma = \Gamma^\circ    &  \\ \hline
%x = \x \text{ cm}  &  \\
%|BZ|= \n \text{ cm}  &  \\
%|CZ|= \m \text{ cm}  &  \\
%%\multicolumn{2}{l}{s_{a, \text{max}} = \saMax  \text{ cm}} \\
%\end{array}$
%};


%% Punkte
\foreach \P in {Z}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);

\end{tikzpicture}
</math>

<math>% Seitenlngen
\pgfmathsetmacro{\a}{6} %
\pgfmathsetmacro{\b}{3.2} %
\pgfmathsetmacro{\c}{4.5} %
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))} %
\pgfmathsetmacro{\Beta}{acos((\a^2+\c^2-\b^2)/(2*\a*\c))} %
\pgfmathsetmacro{\Gamma}{acos((\a^2+\b^2-\c^2)/(2*\a*\b))} %

\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}

\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },
Hilfs/.style={overlay, draw=none},
]

% Dreieckskonstruktion
\coordinate[Punkt={below}{B}] (B) at (0,0);
\coordinate[Punkt={below}{C}] (C) at (\a,0);
\coordinate[Punkt={above}{A}] (A) at (\Beta:\c);
\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; % Dreieck zeichnen

%% Hhe hc
%\draw[densely dashed, gray] (A) -- ($(B)!(A)!(C)$) coordinate[Punkt={below}{}] (Ha);


\pgfmathsetmacro{\B}{tan(\Beta)} %
\pgfmathsetmacro{\G}{tan(\Gamma)} %
\pgfmathsetmacro{\p}{sqrt(3)/2} %

%\pgfmathsetmacro{\m}{(\a*\G*(\B+2*\p))/(2*(\B*(\G+\p)+\G*\p))} %
%\pgfmathsetmacro{\n}{(\a*\B*(\G+2*\p))/(2*(\B*(\G+\p)+\G*\p))} %
%\pgfmathsetmacro{\x}{(\a*\B*\G)/(\B*(\G+\p)+\G*\p)} % alt
\pgfmathsetmacro{\x}{\a/(1+\p*(1/\B+1/\G))} %
\pgfmathsetmacro{\m}{\x*(\p/\B+0.5)} %
\pgfmathsetmacro{\n}{\a-\m} %

\draw[blue,thick] (B) -- (\m,0) coordinate[Punkt={text=red, below}{Z}] (Z);,
%\draw[red, thick] (C) --+ (-\m,0) coordinate(Z);

\draw[red] (Z) --++ (60:\x) coordinate[Punkt={right}{X}](X) node[midway, right]{$x$}
--++ (-\x,0) coordinate[Punkt={left}{Y}](Y) node[midway, above]{$x$}
-- (Z) node[midway, left]{$x$};

\draw pic [draw, angle radius=4mm, angle eccentricity=1.5,
"$60^\circ$",
] {angle =Y--Z--B};
\draw pic [draw, angle radius=4mm, angle eccentricity=1.6,
"$60^\circ$",
] {angle =C--Z--X};

%\draw[red] (Z) -- (A);

% Berechnung
\draw[densely dashed] (X) -- ($(B)!(X)!(C)$) coordinate(Cs) node[midway, right]{$h$};
\draw[densely dashed] (Y) -- ($(B)!(Y)!(C)$) coordinate(Bs) node[midway, left]{$h$};
\draw[densely dashed] (Z) --+ (0,\p*\x)  coordinate(Xs) node[midway, left]{$h$};

\draw pic [draw, angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\cdot$",
] {angle =Y--Bs--B};
\draw pic [draw, angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\cdot$",
] {angle =C--Cs--X};
\draw pic [draw, angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\cdot$",
] {angle =Z--Xs--X};


\path[] (B) -- (Z) node[midway, below]{$m$};
\path[] (C) -- (Z) node[midway, below]{$n$};

\draw pic [draw, angle radius=9mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\beta$",
] {angle =C--B--A};
\draw pic [draw, angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\gamma$",
] {angle =A--C--B};


%% Punkte
\foreach \P in {Z}   \draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);

\node[below, anchor=north west, align=left, text width=\textwidth-\a cm-5mm,
draw=none, inner sep=1pt,
xshift=\n cm+4mm,  yshift=-3mm,
font=\normalsize,
%fill=black!1, draw=red,
] at (A){%\vspace{-1em}
Sei $x$ die Kantenlnge des gleichseitigen Dreiecks und $h=\dfrac{\sqrt{3}}{2}x$ seine Hhe; sei ferner $|BZ|=m$ und $|CZ|=n$.
};

\node[below, anchor=north west, align=left, text width=\textwidth-1mm,
draw=none, inner sep=1pt,
xshift=0 cm,  yshift=2*\p*\x cm+3mm,
font=\normalsize,
%fill=black!1, draw=red,
] at (B){
\textbf{Zusatz:} Berechnung von Kantenlnge und Position des gesuchten gleichseitigen Dreiecks $XYZ$.
};

\node[below, anchor=north west, align=left, text width=\textwidth-5mm,
draw=none, inner sep=1pt,
xshift=0 cm,  yshift=-7mm,
font=\normalsize,
%fill=black!1, draw=red,
] at (B){%\vspace{-1em}
Dann gengen die Gren $x,m,n$ dem linearen Gleichungssystem \par
$\begin{array}{l |l l}
\texttt{(1)}   & m=\dfrac{h}{\tan(\beta)}+\dfrac{x}{2}  &  \hspace{1.5cm}(\text{Dreieck } BZY) \\[1em]
\texttt{(2)}   & n=\dfrac{h}{\tan(\gamma)}+\dfrac{x}{2}  &  \hspace{1.5cm}(\text{Dreieck } ZCX) \\[1em]
\texttt{(3)}   & m+n=a &  \hspace{1.5cm}(\text{Dreieck } ABC)
\end{array}$  \\[1em]
woraus man erhlt  \\[1em]
\def\Lsgx{x =
\dfrac{a}{1+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(
\dfrac{1}{\tan(\beta)}+\dfrac{1}{\tan(\gamma)}\right)}
}
%
\def\textx{\text{\parbox{4.5cm}{%
\texttt{(1)}+\texttt{(2)}, einsetzen von \texttt{(3)} und $h$, auflsen nach $x$}%
}}
%
\def\Lsgm{m=
\dfrac{a\cdot\left( \dfrac{\sqrt{3}}{2\tan(\beta)} +  \dfrac{1}{2} \right)}{1+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(
\dfrac{1}{\tan(\beta)}+\dfrac{1}{\tan(\gamma)}\right)}
}
%
\def\textm{\text{\parbox{4.5cm}{%
einsetzen von $h$ und des Ergebnisses $x$ in \texttt{(1)}}%
}}
$\begin{array}{|l l}
\Lsgx  &  \hspace{1.25em}\longleftarrow\left\{ \textx \right. \\[3.5em]
\Lsgm  & \hspace{1.25em}\longleftarrow\left\{ \textm \right. \\[3.5em]
n=a-m &
\end{array}$ \\[1em]
\fbox{$\begin{array}{l l}
\textbf{Zahlenbeispiel:} \\
a = \a \text{ cm}  &  \\
b = \b \text{ cm}  &  \\
c = \c \text{ cm}  &  \\
%\alpha = \Alpha^\circ    &  \\
\beta = \Beta^\circ    &  \\
\gamma = \Gamma^\circ    &  \\ \hline
x = \x \text{ cm}  &  \\
|BZ|= m =  \m \text{ cm}  &  \\
|CZ|=n =  \n \text{ cm}  &  \\
\end{array}$}
};

\end{tikzpicture}
</math>



Gelöst von HyperPlot (mit Hilfe von Wauzi / Caban / markusv / Kornkreis)




LaTeX (030923-main.pdf zum Anschauen oder Direkteinbinden)
Planfigur1
latex
% arara: pdflatex
% arara: ghostscript: {  resolution: 150  , device: png16m}
 
% arara: cleanx: { extensions: [ aux , toc , log , bbl , bcf , blg , out , run.xml , synctex.gz ] }
 
\documentclass[margin=0pt, tikz]{standalone}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}
\usetikzlibrary{intersections}
\usetikzlibrary{backgrounds}
\usetikzlibrary{patterns}
\usetikzlibrary{positioning}
\usetikzlibrary{angles, quotes, babel}
\usepackage{amsmath, amssymb}
 
\begin{document}
 
% Seitenlängen
\pgfmathsetmacro{\a}{6} %  
\pgfmathsetmacro{\b}{3.2} %  
\pgfmathsetmacro{\c}{4.5} % 
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))} % 
\pgfmathsetmacro{\Beta}{acos((\a^2+\c^2-\b^2)/(2*\a*\c))} % 
\pgfmathsetmacro{\Gamma}{acos((\a^2+\b^2-\c^2)/(2*\a*\b))} % 
 
\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}
 
\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },  
Hilfs/.style={overlay, draw=none}, 
]
 
% Dreieckskonstruktion
\coordinate[Punkt={below}{B}] (B) at (0,0); 
\coordinate[Punkt={below}{C}] (C) at (\a,0); 
\coordinate[Punkt={above}{A}] (A) at (\Beta:\c); 
\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; % Dreieck zeichnen
 
\pgfmathsetmacro{\B}{tan(\Beta)} %  
\pgfmathsetmacro{\G}{tan(\Gamma)} %
\pgfmathsetmacro{\p}{sqrt(3)/2} % 
 
\pgfmathsetmacro{\n}{(\a*\G*(\B+2*\p))/(2*(\B*(\G+\p)+\G*\p))} %  
\pgfmathsetmacro{\m}{(\a*\B*(\G+2*\p))/(2*(\B*(\G+\p)+\G*\p))} %  
\pgfmathsetmacro{\x}{(\a*\B*\G)/(\B*(\G+\p)+\G*\p)} % 
%
\draw[blue,thick] (B) -- (\n,0) coordinate[Punkt={text=red, below}{Z}] (Z);, 
%\draw[red, thick] (C) --+ (-\m,0) coordinate(Z);
 
\draw[red] (Z) --++ (60:\x) coordinate[Punkt={right}{X}](X) node[midway, right]{$x$}
 --++ (-\x,0) coordinate[Punkt={left}{Y}](Y) node[midway, above]{$x$}
 -- (Z) node[midway, left]{$x$};
 
 
% Winkel
\draw pic [draw, angle radius=3.5mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\alpha$", 
] {angle =B--A--C};
\draw pic [draw, angle radius=9mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\beta$", 
] {angle =C--B--A};
\draw pic [draw, angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\gamma$", 
] {angle =A--C--B};
 
\draw pic [draw, angle radius=6mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\beta$", 
] {angle =X--Y--A};
\draw pic [draw, angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\gamma$", 
] {angle =A--X--Y};
 
\draw pic [draw, angle radius=4mm, angle eccentricity=1.5,
"$60^\circ$", 
] {angle =Y--Z--B};
\draw pic [draw, angle radius=4mm, angle eccentricity=1.6,
"$60^\circ$", 
] {angle =C--Z--X};
 
\draw pic [draw, angle radius=5mm, angle eccentricity=1.4,
"$60^\circ$", 
] {angle =X--Z--Y};
\draw pic [draw, angle radius=4mm, angle eccentricity=1.6,
"$60^\circ$", 
] {angle =Z--Y--X};
\draw pic [draw, angle radius=4mm, angle eccentricity=1.6,
"$60^\circ$", 
] {angle =Y--X--Z};
 
\draw pic [draw, angle radius=3mm, angle eccentricity=1.6, double,
 pic text={$120^\circ$-$\beta$}, pic text options={font=\tiny, xshift=-2pt}, 
] {angle =B--Y--Z};
\draw pic [draw, angle radius=3mm, angle eccentricity=1.8, double,
 pic text={$120^\circ$-$\gamma$}, pic text options={font=\tiny}, 
] {angle =Z--X--C};
 
%\node[below, anchor=north west, align=left, text width=\textwidth-\a cm-0mm,
% draw=none, inner sep=1pt, 
%xshift=\n cm-5mm,  yshift=3mm, 
%font=\normalsize, 
%%fill=black!1, draw=red,
%] at (A){%\vspace{-1em}
%Planfigur 1. Die Betrachtung der Stufen- bzw. F-Winkel sowie der Supplementwinkel bei $X$ und $Y$ liefert die $60^\circ$-Winkel bei $Z$. \\[0.5em]
%Zur Konstruktion wird also lediglich die Position der Spitze $Z$ des gesuchten gleichseitgen Dreiecks $XYZ$ benötigt. 
%};
 
 
 
 
%%% Punkte
%\foreach \P in {B}
%\draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);
 
\end{tikzpicture}
 
 
\end{document}


Planfigur2
latex
% arara: pdflatex
% arara: ghostscript: {  resolution: 150  , device: png16m}
 
% arara: cleanx: { extensions: [ aux , toc , log , bbl , bcf , blg , out , run.xml , synctex.gz ] }
 
\documentclass[margin=0pt, tikz]{standalone}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}
\usetikzlibrary{intersections}
\usetikzlibrary{backgrounds}
\usetikzlibrary{patterns}
\usetikzlibrary{positioning}
\usetikzlibrary{angles, quotes, babel}
\usepackage{amsmath, amssymb}
 
\begin{document}
 
\pgfdeclarelayer{background}
\pgfdeclarelayer{foreground}
\pgfsetlayers{background,main,foreground}% Achtung: hier keine Leerstellen!
 
% Seitenlängen
\pgfmathsetmacro{\a}{6} %  
\pgfmathsetmacro{\b}{3.2} %  
\pgfmathsetmacro{\c}{4.5} % 
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))} % 
\pgfmathsetmacro{\Beta}{acos((\a^2+\c^2-\b^2)/(2*\a*\c))} % 
\pgfmathsetmacro{\Gamma}{acos((\a^2+\b^2-\c^2)/(2*\a*\b))} % 
 
\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}
 
\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },  
Hilfs/.style={overlay, draw=none}, 
]
 
% Dreieckskonstruktion
\coordinate[Punkt={below}{B}] (B) at (0,0); 
\coordinate[Punkt={below}{C}] (C) at (\a,0); 
\coordinate[Punkt={above}{A}] (A) at (\Beta:\c); 
\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; % Dreieck zeichnen
 
%% Höhe hc
%\draw[densely dashed, gray] (A) -- ($(B)!(A)!(C)$) coordinate[Punkt={below}{}] (Ha);
 
 
\pgfmathsetmacro{\B}{tan(\Beta)} %  
\pgfmathsetmacro{\G}{tan(\Gamma)} %
\pgfmathsetmacro{\p}{sqrt(3)/2} % 
 
\pgfmathsetmacro{\n}{(\a*\G*(\B+2*\p))/(2*(\B*(\G+\p)+\G*\p))} %  
\pgfmathsetmacro{\m}{(\a*\B*(\G+2*\p))/(2*(\B*(\G+\p)+\G*\p))} %  
\pgfmathsetmacro{\x}{(\a*\B*\G)/(\B*(\G+\p)+\G*\p)} % 
 
\draw[blue] (B) -- (\n,0) coordinate[Punkt={text=red, left, yshift=3pt}{Z}] (Z);, 
%\draw[red, thick] (C) --+ (-\m,0) coordinate(Z);
 
\draw[red, densely dashed, thin] (Z) --++ (60:\x) coordinate[Punkt={right}{X}](X) node[midway, right]{$x$}
 --++ (-\x,0) coordinate[Punkt={left}{Y}](Y) node[midway, above]{$$}
 -- (Z) node[midway, left]{$$};
 
%\draw[red] (Z) -- (A); 
 
 
% Herleitung der Konstrukion
\path[name path=AC] (A) -- (C); 
 
\foreach[count=\K] \k in {2,4}{%%%%%%%%%%%%%%%
\pgfmathsetmacro{\n}{\k/10} %  
\tikzset{font=\tiny}
\path[name path=XsY, Hilfs] ($(A)!\n!(B)$) coordinate[Punkt={left}{Y_\K}](Y\K)
 --+ (\a,0) coordinate(Xs);
\path[name intersections={of=AC and XsY, name=X\K}];
\coordinate[Punkt={right}{X_\K}] (X\K) at (X\K-1); 
\path let             
\p0 = (Y\K), % Zentrum
\p1 = (X\K),
\n1 = {veclen(\y1-\y0,\x1-\x0)},    \n2={atan2(\y1-\y0,\x1-\x0)}
in    [savevalue={\Radius}{\n1}, savevalue={\winkel}{\n2}];
%\pgfmathsetmacro{\Winkel}{\winkel} % 'pt' abstreifen
%\draw[red,ultra thick] (Y) --+ (\Radius, 0); % Test
 
\path[name path=kreisX, Hilfs] (X\K) circle[radius=\Radius];
\path[name path=kreisY, Hilfs] (Y\K) circle[radius=\Radius];
\path[name intersections={of=kreisX and kreisY, name=Z}];
\coordinate[Punkt={right, text=red}{Z_\K}] (Z\K) at (Z-2); 
 
\draw[] (X\K) -- (Y\K) -- (Z\K) --cycle;
 
\draw[name path=gerade, red, shorten <=-3mm] (Z\K) --  (A);
 
\draw[name path=gAB, densely dashed] (A) -- ($(A)!1.4!(B)$);
\draw[name path=ZP, densely dashed] (Z\K) --+ (-2.1*\m,0);
\path[name intersections={of=gAB and ZP, name=P\K}];
\coordinate[Punkt={above, red}{P_\K}] (P\K) at (P\K-1); 
\begin{pgfonlayer}{foreground}
\draw[red, fill=black!1] (P\K) circle (1.75pt);
\draw[red, fill=black!1] (Z\K) circle (1.75pt);
\end{pgfonlayer}
}%%%%%%%%%%%%%%%
\node[xshift=-4pt, below, red] at (Z2) {$p$};
 
%\node[below, anchor=north west, align=left, text width=\textwidth-\a cm-0mm,
% draw=none, inner sep=1pt, 
%xshift=\n cm-5mm,  yshift=3mm, 
%font=\normalsize, 
%%fill=black!1, draw=red,
%] at (A){%\vspace{-1em}
%Planfigur 2. Legt man zwei beliebige gleichseitige Dreiecke $X_1 Y_1 Z_1$ und $X_2 Y_2 Z_2$, deren Basen parallel zur Seite $|BC|$ des Ausgangsdreiecks $ABC$ sind ($|X_1 Y_1| \parallel |BC|$ und $|X_2 Y_2| \parallel |BC|$); und deren Spitzen ($Z_1$ und $Z_2$) nicht notwendigerweise auf der Seite $|BC|$ liegen, so folgt aus der Strahlensatzfigur mit Scheitelpunkt $A$ und Schenkeln durch die Punkte $Z$ und die Hilfspunkte $P$, dass die Spitzen $Z$ auf einer Geraden $p$ liegen. Dass auch der Punkt $A$ auf der Geraden liegt folgt, wenn man die Basis eines der gleichseitigen Dreiecks beliebig an den Punkt $A$ annähert.  \\
%Dementsprechend genügt es auch ein beliebiges gleichseitges Dreieck einzupassen, etwa $X_1 Y_1 Z_1$ und $p$ als diejenige Gerade durch $A$ und $Z_1$ zu konstruieren. \\[0.5em]
%Der Schnittpunkt von $p$ mit der Seite $|BC|$ liefert also die Position der Spitze $Z$ des gesuchten gleichseitigen Dreiecks; welches sich damit ohne Weiteres aus obiger Winkelbetrachtung konstruieren lässt. 
%};
 
 
 
 
%% Annotationen - Rechnung
%\tikzset{PosUnten/.style={below=5mm of dreieck, anchor=north,}}
%\tikzset{PosLinks/.style={shift={($(dreieck.north)+(-40mm,0)$)}, anchor=north east,}}
%\node[yshift=-0mm, draw, align=left, fill=lightgray!50,
%PosUnten,
%%PosLinks,
%]{
%$\begin{array}{l l}
%a = \a \text{ cm}  &  \\
%b = \b \text{ cm}  &  \\
%c = \c \text{ cm}  &  \\
%\alpha = \Alpha^\circ    &  \\
%\beta = \Beta^\circ    &  \\
%\gamma = \Gamma^\circ    &  \\ \hline
%x = \x \text{ cm}  &  \\
%|BZ|= \n \text{ cm}  &  \\
%|CZ|= \m \text{ cm}  &  \\
%%\multicolumn{2}{l}{s_{a, \text{max}} = \saMax  \text{ cm}} \\ 
%\end{array}$
%};
 
 
%% Punkte
\foreach \P in {Z}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);
 
\end{tikzpicture}
 
 
\end{document}


Rechnung
latex
% arara: pdflatex
% arara: ghostscript: {  resolution: 150  , device: png16m}
 
% arara: cleanx: { extensions: [ aux , toc , log , bbl , bcf , blg , out , run.xml , synctex.gz ] }
 
\documentclass[margin=0pt, tikz]{standalone}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}
\usetikzlibrary{intersections}
\usetikzlibrary{backgrounds}
\usetikzlibrary{patterns}
\usetikzlibrary{positioning}
\usetikzlibrary{angles, quotes, babel}
\usepackage{amsmath, amssymb}
 
\begin{document}
 
% Seitenlängen
\pgfmathsetmacro{\a}{6} %  
\pgfmathsetmacro{\b}{3.2} %  
\pgfmathsetmacro{\c}{4.5} % 
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))} % 
\pgfmathsetmacro{\Beta}{acos((\a^2+\c^2-\b^2)/(2*\a*\c))} % 
\pgfmathsetmacro{\Gamma}{acos((\a^2+\b^2-\c^2)/(2*\a*\b))} % 
 
\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}
 
\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },  
Hilfs/.style={overlay, draw=none}, 
]
 
% Dreieckskonstruktion
\coordinate[Punkt={below}{B}] (B) at (0,0); 
\coordinate[Punkt={below}{C}] (C) at (\a,0); 
\coordinate[Punkt={above}{A}] (A) at (\Beta:\c); 
\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; % Dreieck zeichnen
 
%% Höhe hc
%\draw[densely dashed, gray] (A) -- ($(B)!(A)!(C)$) coordinate[Punkt={below}{}] (Ha);
 
 
\pgfmathsetmacro{\B}{tan(\Beta)} %  
\pgfmathsetmacro{\G}{tan(\Gamma)} %
\pgfmathsetmacro{\p}{sqrt(3)/2} % 
 
%\pgfmathsetmacro{\m}{(\a*\G*(\B+2*\p))/(2*(\B*(\G+\p)+\G*\p))} %  
%\pgfmathsetmacro{\n}{(\a*\B*(\G+2*\p))/(2*(\B*(\G+\p)+\G*\p))} % 
%\pgfmathsetmacro{\x}{(\a*\B*\G)/(\B*(\G+\p)+\G*\p)} % alt
\pgfmathsetmacro{\x}{\a/(1+\p*(1/\B+1/\G))} % 
\pgfmathsetmacro{\m}{\x*(\p/\B+0.5)} % 
\pgfmathsetmacro{\n}{\a-\m} % 
 
\draw[blue,thick] (B) -- (\m,0) coordinate[Punkt={text=red, below}{Z}] (Z);, 
%\draw[red, thick] (C) --+ (-\m,0) coordinate(Z);
 
\draw[red] (Z) --++ (60:\x) coordinate[Punkt={right}{X}](X) node[midway, right]{$x$}
 --++ (-\x,0) coordinate[Punkt={left}{Y}](Y) node[midway, above]{$x$}
 -- (Z) node[midway, left]{$x$};
 
\draw pic [draw, angle radius=4mm, angle eccentricity=1.5,
"$60^\circ$", 
] {angle =Y--Z--B};
\draw pic [draw, angle radius=4mm, angle eccentricity=1.6,
"$60^\circ$", 
] {angle =C--Z--X};
 
%\draw[red] (Z) -- (A); 
 
% Berechnung 
\draw[densely dashed] (X) -- ($(B)!(X)!(C)$) coordinate(Cs) node[midway, right]{$h$}; 
\draw[densely dashed] (Y) -- ($(B)!(Y)!(C)$) coordinate(Bs) node[midway, left]{$h$}; 
\draw[densely dashed] (Z) --+ (0,\p*\x)  coordinate(Xs) node[midway, left]{$h$}; 
 
\draw pic [draw, angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\cdot$", 
] {angle =Y--Bs--B};
\draw pic [draw, angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\cdot$", 
] {angle =C--Cs--X};
\draw pic [draw, angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\cdot$", 
] {angle =Z--Xs--X};
 
 
\path[] (B) -- (Z) node[midway, below]{$m$}; 
\path[] (C) -- (Z) node[midway, below]{$n$}; 
 
\draw pic [draw, angle radius=9mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\beta$", 
] {angle =C--B--A};
\draw pic [draw, angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\gamma$", 
] {angle =A--C--B};
 
 
%% Punkte
\foreach \P in {Z}   \draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);
 
%\node[below, anchor=north west, align=left, text width=\textwidth-\a cm-5mm,
% draw=none, inner sep=1pt, 
%xshift=\n cm+4mm,  yshift=-3mm, 
%font=\normalsize, 
%%fill=black!1, draw=red,
%] at (A){%\vspace{-1em}
%Sei $x$ die Kantenlänge des gleichseitigen Dreiecks und $h=\dfrac{\sqrt{3}}{2}x$ seine Höhe; sei ferner $|BZ|=m$ und $|CZ|=n$.
%};
 
%\node[below, anchor=north west, align=left, text width=\textwidth-1mm,
% draw=none, inner sep=1pt, 
%xshift=0 cm,  yshift=2*\p*\x cm+3mm, 
%font=\normalsize, 
%%fill=black!1, draw=red,
%] at (B){
%\textbf{Zusatz:} Berechnung von Kantenlänge und Position des gesuchten gleichseitigen Dreiecks $XYZ$.
%};
 
%\node[below, anchor=north west, align=left, text width=\textwidth-5mm,
% draw=none, inner sep=1pt, 
%xshift=0 cm,  yshift=-7mm, 
%font=\normalsize, 
%%fill=black!1, draw=red,
%] at (B){%\vspace{-1em}
%Dann genügen die Größen $x,m,n$ dem linearen Gleichungssystem \par
%$\begin{array}{l |l l}
%\texttt{(1)}   & m=\dfrac{h}{\tan(\beta)}+\dfrac{x}{2}  &  \hspace{1.5cm}(\text{Dreieck } BZY) \\[1em]
%\texttt{(2)}   & n=\dfrac{h}{\tan(\gamma)}+\dfrac{x}{2}  &  \hspace{1.5cm}(\text{Dreieck } ZCX) \\[1em]
%\texttt{(3)}   & m+n=a &  \hspace{1.5cm}(\text{Dreieck } ABC) 
%\end{array}$  \\[1em]
%woraus man erhält  \\[1em]
%\def\Lsgx{x =
%\dfrac{a}{1+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(
%\dfrac{1}{\tan(\beta)}+\dfrac{1}{\tan(\gamma)}\right)}
%}
%%
%\def\textx{\text{\parbox{4.5cm}{%
%\texttt{(1)}+\texttt{(2)}, einsetzen von \texttt{(3)} und $h$, auflösen nach $x$}%
%}}
%%
%\def\Lsgm{m=
%\dfrac{a\cdot\left( \dfrac{\sqrt{3}}{2\tan(\beta)} +  \dfrac{1}{2} \right)}{1+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(
%\dfrac{1}{\tan(\beta)}+\dfrac{1}{\tan(\gamma)}\right)}
%}
%%
%\def\textm{\text{\parbox{4.5cm}{%
%einsetzen von $h$ und des Ergebnisses $x$ in \texttt{(1)}}%
%}}
%$\begin{array}{|l l}
%\Lsgx  &  \hspace{1.25em}\longleftarrow\left\{ \textx \right. \\[3.5em]
%\Lsgm  & \hspace{1.25em}\longleftarrow\left\{ \textm \right. \\[3.5em]
%n=a-m & 
%\end{array}$ \\[1em]
%\fbox{$\begin{array}{l l}
%\textbf{Zahlenbeispiel:} \\
%a = \a \text{ cm}  &  \\
%b = \b \text{ cm}  &  \\
%c = \c \text{ cm}  &  \\
%%\alpha = \Alpha^\circ    &  \\
%\beta = \Beta^\circ    &  \\
%\gamma = \Gamma^\circ    &  \\ \hline
%x = \x \text{ cm}  &  \\
%|BZ|= m =  \m \text{ cm}  &  \\
%|CZ|=n =  \n \text{ cm}  &  \\
%\end{array}$}
%};
 
\end{tikzpicture}
 
 
\end{document}


Beispiel
latex
% arara: pdflatex
% arara: ghostscript: {  resolution: 150  , device: png16m}
 
% arara: cleanx: { extensions: [ aux , toc , log , bbl , bcf , blg , out , run.xml , synctex.gz ] }
 
\documentclass[margin=0pt, tikz]{standalone}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}
\usetikzlibrary{intersections}
\usetikzlibrary{backgrounds}
\usetikzlibrary{patterns}
\usetikzlibrary{positioning}
\usetikzlibrary{angles, quotes, babel}
\usepackage{amsmath, amssymb}
 
\begin{document}
 
% Seitenlängen
\pgfmathsetmacro{\a}{6} %  
\pgfmathsetmacro{\b}{3.2} %  
\pgfmathsetmacro{\c}{4.5} % 
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))} % 
\pgfmathsetmacro{\Beta}{acos((\a^2+\c^2-\b^2)/(2*\a*\c))} % 
\pgfmathsetmacro{\Gamma}{acos((\a^2+\b^2-\c^2)/(2*\a*\b))} % 
 
\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}
 
\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },  
Hilfs/.style={overlay, draw=none}, 
]
 
% Dreieckskonstruktion
\coordinate[Punkt={below}{B}] (B) at (0,0); 
\coordinate[Punkt={below}{C}] (C) at (\a,0); 
\coordinate[Punkt={above}{A}] (A) at (\Beta:\c); 
\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; % Dreieck zeichnen
 
%% Höhe hc
%\draw[densely dashed, gray] (A) -- ($(B)!(A)!(C)$) coordinate[Punkt={below}{}] (Ha);
 
 
\pgfmathsetmacro{\B}{tan(\Beta)} %  
\pgfmathsetmacro{\G}{tan(\Gamma)} %
\pgfmathsetmacro{\p}{sqrt(3)/2} % 
 
%\pgfmathsetmacro{\m}{(\a*\G*(\B+2*\p))/(2*(\B*(\G+\p)+\G*\p))} %  
%\pgfmathsetmacro{\n}{(\a*\B*(\G+2*\p))/(2*(\B*(\G+\p)+\G*\p))} % 
%\pgfmathsetmacro{\x}{(\a*\B*\G)/(\B*(\G+\p)+\G*\p)} % alt
\pgfmathsetmacro{\x}{\a/(1+\p*(1/\B+1/\G))} % 
\pgfmathsetmacro{\m}{\x*(\p/\B+0.5)} % 
\pgfmathsetmacro{\n}{\a-\m} % 
 
\draw[blue,thick] (B) -- (\m,0) coordinate[Punkt={text=red, below}{Z}] (Z);, 
%\draw[red, thick] (C) --+ (-\m,0) coordinate(Z);
 
\draw[red] (Z) --++ (60:\x) coordinate[Punkt={right}{X}](X) node[midway, right]{$x$}
 --++ (-\x,0) coordinate[Punkt={left}{Y}](Y) node[midway, above]{$x$}
 -- (Z) node[midway, left]{$x$};
 
\draw pic [draw, angle radius=4mm, angle eccentricity=1.5,
"$60^\circ$", 
] {angle =Y--Z--B};
\draw pic [draw, angle radius=4mm, angle eccentricity=1.6,
"$60^\circ$", 
] {angle =C--Z--X};
 
%\draw[red] (Z) -- (A); 
 
%% Berechnung 
%\draw[densely dashed] (X) -- ($(B)!(X)!(C)$) coordinate(Cs) node[midway, right]{$h$}; 
%\draw[densely dashed] (Y) -- ($(B)!(Y)!(C)$) coordinate(Bs) node[midway, left]{$h$}; 
%\draw[densely dashed] (Z) --+ (0,\p*\x)  coordinate(Xs) node[midway, left]{$h$}; 
 
%\draw pic [draw, angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.3,
%"$\cdot$", 
%] {angle =Y--Bs--B};
%\draw pic [draw, angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.3,
%"$\cdot$", 
%] {angle =C--Cs--X};
%\draw pic [draw, angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.3,
%"$\cdot$", 
%] {angle =Z--Xs--X};
 
 
\path[] (B) -- (Z) node[midway, below]{$m$}; 
\path[] (C) -- (Z) node[midway, below]{$n$}; 
 
\draw pic [draw, angle radius=9mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\beta$", 
] {angle =C--B--A};
\draw pic [draw, angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\gamma$", 
] {angle =A--C--B};
 
 
%% Punkte
\foreach \P in {Z}   \draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);
 
%\node[below, anchor=north west, align=left, text width=\textwidth-\a cm-5mm,
% draw=none, inner sep=1pt, 
%xshift=\n cm+4mm,  yshift=-3mm, 
%font=\normalsize, 
%%fill=black!1, draw=red,
%] at (A){%\vspace{-1em}
%Sei $x$ die Kantenlänge des gleichseitigen Dreiecks und $h=\dfrac{\sqrt{3}}{2}x$ seine Höhe; sei ferner $|BZ|=m$ und $|CZ|=n$.
%};
 
%\node[below, anchor=north west, align=left, text width=\textwidth-1mm,
% draw=none, inner sep=1pt, 
%xshift=0 cm,  yshift=2*\p*\x cm+3mm, 
%font=\normalsize, 
%%fill=black!1, draw=red,
%] at (B){
%\textbf{Zusatz:} Berechnung von Kantenlänge und Position des gesuchten gleichseitigen Dreiecks $XYZ$.
%};
 
\node[below, anchor=north west, align=left, text width=\textwidth-5mm,
 draw=none, inner sep=1pt, 
xshift=4 cm,  yshift=3mm, 
font=\normalsize, 
%fill=black!1, draw=red,
] at (A){%\vspace{-1em}
%Dann genügen die Größen $x,m,n$ dem linearen Gleichungssystem \par
%$\begin{array}{l |l l}
%\texttt{(1)}   & m=\dfrac{h}{\tan(\beta)}+\dfrac{x}{2}  &  \hspace{1.5cm}(\text{Dreieck } BZY) \\[1em]
%\texttt{(2)}   & n=\dfrac{h}{\tan(\gamma)}+\dfrac{x}{2}  &  \hspace{1.5cm}(\text{Dreieck } ZCX) \\[1em]
%\texttt{(3)}   & m+n=a &  \hspace{1.5cm}(\text{Dreieck } ABC) 
%\end{array}$  \\[1em]
%woraus man erhält  \\[1em]
%\def\Lsgx{x =
%\dfrac{a}{1+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(
%\dfrac{1}{\tan(\beta)}+\dfrac{1}{\tan(\gamma)}\right)}
%}
%%
%\def\textx{\text{\parbox{4.5cm}{%
%\texttt{(1)}+\texttt{(2)}, einsetzen von \texttt{(3)} und $h$, auflösen nach $x$}%
%}}
%%
%\def\Lsgm{m=
%\dfrac{a\cdot\left( \dfrac{\sqrt{3}}{2\tan(\beta)} +  \dfrac{1}{2} \right)}{1+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(
%\dfrac{1}{\tan(\beta)}+\dfrac{1}{\tan(\gamma)}\right)}
%}
%%
%\def\textm{\text{\parbox{4.5cm}{%
%einsetzen von $h$ und des Ergebnisses $x$ in \texttt{(1)}}%
%}}
%$\begin{array}{|l l}
%\Lsgx  &  \hspace{1.25em}\longleftarrow\left\{ \textx \right. \\[3.5em]
%\Lsgm  & \hspace{1.25em}\longleftarrow\left\{ \textm \right. \\[3.5em]
%n=a-m & 
%\end{array}$ \\[1em]
\fbox{$\begin{array}{l l}
\textbf{Zahlenbeispiel:} \\
a = \a \text{ cm}  &  \\
b = \b \text{ cm}  &  \\
c = \c \text{ cm}  &  \\
%\alpha = \Alpha^\circ    &  \\
\beta = \Beta^\circ    &  \\
\gamma = \Gamma^\circ    &  \\ \hline
x = \x \text{ cm}  &  \\
|BZ|= m =  \m \text{ cm}  &  \\
|CZ|=n =  \n \text{ cm}  &  \\
\end{array}$}
};
 
\end{tikzpicture}
 
 
\end{document}


main
latex
% main.tex
\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[ngerman]{babel}
\usepackage{tikz,fullpage,enumerate,icomma}
\usetikzlibrary{arrows,calc,intersections,patterns,
arrows.meta,backgrounds, positioning,angles, quotes, babel}
 
%%%%%%%%%% NEU
\pgfdeclarelayer{background}
\pgfdeclarelayer{foreground}
\pgfsetlayers{background,main,foreground}% Achtung: hier keine Leerstellen!
%%%%%%%%%% NEU
 
\usepackage{standalone}
\usepackage{geometry}
\geometry{
   left=2.5cm,
   textwidth=16cm,
   marginpar=3cm,
   top=2cm,
   bottom=2cm}
\setlength{\parindent}{0pt}  
\usepackage{framed}
\usepackage{scrlayer-scrpage}
  \pagestyle{empty}
\usepackage{hyperref} %brauche ich für das Titelblatt
 
%%%%%%%%%%
\usepackage{array} %%%%%%%%%% NEU
\usepackage{multicol} %%%%%%%%%% NEU
   \setlength{\columnseprule}{0pt} 
\begin{document}
 
\textbf{Aufgabe 3 - 030923, I.Stufe 1963, Klasse 9}
\begin{framed}
Einem spitzwinkligen Dreieck $ABC$ soll ein gleichseitiges Dreieck so einbeschrieben werden, dass eine seiner Seiten parallel zur Seite $|BC|$ 
verläuft und die Eckpunkte des einbeschriebenen Dreiecks auf den Seiten des Dreiecks $ABC$ liegen. Begründen Sie die Konstruktion!
\end{framed}
 
\begin{multicols}{2}%[''titel''][''Abstand'']
\input{030923-Planfigur1}
\columnbreak
Planfigur 1. Die Betrachtung der Stufen- bzw. F-Winkel sowie der Supplementwinkel bei $X$ und $Y$ liefert die $60^\circ$-Winkel bei $Z$. \\[0.5em]
Zur Konstruktion wird also lediglich die Position der Spitze $Z$ des gesuchten gleichseitgen Dreiecks $XYZ$ benötigt. 
\end{multicols}
 
 
\begin{multicols}{2}%[''titel''][''Abstand'']
\input{030923-Planfigur2}
Planfigur 2. Legt man zwei beliebige gleichseitige Dreiecke $X_1 Y_1 Z_1$ und $X_2 Y_2 Z_2$, deren Basen parallel zur Seite $|BC|$ des Ausgangsdreiecks $ABC$ sind ($|X_1 Y_1| \parallel |BC|$ und $|X_2 Y_2| \parallel |BC|$); und deren Spitzen ($Z_1$ und $Z_2$) nicht notwendigerweise auf der Seite $|BC|$ liegen, so folgt aus der Strahlensatzfigur mit Scheitelpunkt $A$ und Schenkeln durch die Punkte $Z$ und die Hilfspunkte $P$, dass die Spitzen $Z$ auf einer Geraden $p$ liegen. Dass auch der Punkt $A$ auf der Geraden liegt folgt, wenn man die Basis eines der gleichseitigen Dreiecks beliebig an den Punkt $A$ annähert.  \\
Dementsprechend genügt es auch ein beliebiges gleichseitges Dreieck einzupassen, etwa $X_1 Y_1 Z_1$ und $p$ als diejenige Gerade durch $A$ und $Z_1$ zu konstruieren. \\[0.5em]
Der Schnittpunkt von $p$ mit der Seite $|BC|$ liefert also die Position der Spitze $Z$ des gesuchten gleichseitigen Dreiecks; welches sich damit ohne Weiteres aus obiger Winkelbetrachtung konstruieren lässt. 
\end{multicols}
 
\textbf{Zusatz:} Berechnung von Kantenlänge und Position des gesuchten gleichseitigen Dreiecks $XYZ$. \par
 
\begin{multicols}{2}%[''titel''][''Abstand'']
\input{030923-Rechnung}
\columnbreak
Sei $x$ die Kantenlänge des gleichseitigen Dreiecks und $h=\dfrac{\sqrt{3}}{2}x$ seine Höhe; sei ferner $|BZ|=m$ und $|CZ|=n$.
\end{multicols}
 
Dann genügen die Größen $x,m,n$ dem linearen Gleichungssystem \par
$\begin{array}{l |l l}
\texttt{(1)}   & m=\dfrac{h}{\tan(\beta)}+\dfrac{x}{2}  &  \hspace{1.5cm}(\text{Dreieck } BZY) \\[1em]
\texttt{(2)}   & n=\dfrac{h}{\tan(\gamma)}+\dfrac{x}{2}  &  \hspace{1.5cm}(\text{Dreieck } ZCX) \\[1em]
\texttt{(3)}   & m+n=a &  \hspace{1.5cm}(\text{Dreieck } ABC) 
\end{array}$  \\[1em]
woraus man erhält  \\[1em]
\def\Lsgx{x =
\dfrac{a}{1+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(
\dfrac{1}{\tan(\beta)}+\dfrac{1}{\tan(\gamma)}\right)}
}
%
\def\textx{\text{\parbox{4.5cm}{%
\texttt{(1)}+\texttt{(2)}, einsetzen von \texttt{(3)} und $h$, auflösen nach $x$}%
}}
%
\def\Lsgm{m=
\dfrac{a\cdot\left( \dfrac{\sqrt{3}}{2\tan(\beta)} +  \dfrac{1}{2} \right)}{1+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(
\dfrac{1}{\tan(\beta)}+\dfrac{1}{\tan(\gamma)}\right)}
}
%
\def\textm{\text{\parbox{4.5cm}{%
einsetzen von $h$ und des Ergebnisses $x$ in \texttt{(1)}}%
}}
$\begin{array}{|l l}
\Lsgx  &  \hspace{1.25em}\longleftarrow\left\{ \textx \right. \\[3.5em]
\Lsgm  & \hspace{1.25em}\longleftarrow\left\{ \textm \right. \\[3.5em]
n=a-m & 
\end{array}$ 
 
\input{030923-Beispiel}
 
 
 
\end{document}


_____________________________________________
LaTeX alt

Achtung: Layer-Deklaration. Es ist sinnvoll die üblichen Layer einfach in den Dokumentkopf aufzunehmen.

\pgfdeclarelayer{background}
\pgfdeclarelayer{foreground}
\pgfsetlayers{background,main,foreground}% Achtung: hier keine Leerstellen!


Planfigur 1
latex
\documentclass[margin=5pt, tikz]{standalone}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}
\usetikzlibrary{intersections}
\usetikzlibrary{backgrounds}
\usetikzlibrary{patterns}
\usetikzlibrary{positioning}
\usetikzlibrary{angles, quotes, babel}
\usepackage{amsmath, amssymb}
 
\begin{document}
 
% Seitenlängen
\pgfmathsetmacro{\a}{6} %  
\pgfmathsetmacro{\b}{3.2} %  
\pgfmathsetmacro{\c}{4.5} % 
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))} % 
\pgfmathsetmacro{\Beta}{acos((\a^2+\c^2-\b^2)/(2*\a*\c))} % 
\pgfmathsetmacro{\Gamma}{acos((\a^2+\b^2-\c^2)/(2*\a*\b))} % 
 
\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}
 
\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },  
Hilfs/.style={overlay, draw=none}, 
]
 
% Dreieckskonstruktion
\coordinate[Punkt={below}{B}] (B) at (0,0); 
\coordinate[Punkt={below}{C}] (C) at (\a,0); 
\coordinate[Punkt={above}{A}] (A) at (\Beta:\c); 
\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; % Dreieck zeichnen
 
\pgfmathsetmacro{\B}{tan(\Beta)} %  
\pgfmathsetmacro{\G}{tan(\Gamma)} %
\pgfmathsetmacro{\p}{sqrt(3)/2} % 
 
\pgfmathsetmacro{\n}{(\a*\G*(\B+2*\p))/(2*(\B*(\G+\p)+\G*\p))} %  
\pgfmathsetmacro{\m}{(\a*\B*(\G+2*\p))/(2*(\B*(\G+\p)+\G*\p))} %  
\pgfmathsetmacro{\x}{(\a*\B*\G)/(\B*(\G+\p)+\G*\p)} % 
%
\draw[blue,thick] (B) -- (\n,0) coordinate[Punkt={text=red, below}{Z}] (Z);, 
%\draw[red, thick] (C) --+ (-\m,0) coordinate(Z);
 
\draw[red] (Z) --++ (60:\x) coordinate[Punkt={right}{X}](X) node[midway, right]{$x$}
 --++ (-\x,0) coordinate[Punkt={left}{Y}](Y) node[midway, above]{$x$}
 -- (Z) node[midway, left]{$x$};
 
 
% Winkel
\draw pic [draw, angle radius=3.5mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\alpha$", 
] {angle =B--A--C};
\draw pic [draw, angle radius=9mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\beta$", 
] {angle =C--B--A};
\draw pic [draw, angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\gamma$", 
] {angle =A--C--B};
 
\draw pic [draw, angle radius=6mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\beta$", 
] {angle =X--Y--A};
\draw pic [draw, angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\gamma$", 
] {angle =A--X--Y};
 
\draw pic [draw, angle radius=4mm, angle eccentricity=1.5,
"$60^\circ$", 
] {angle =Y--Z--B};
\draw pic [draw, angle radius=4mm, angle eccentricity=1.6,
"$60^\circ$", 
] {angle =C--Z--X};
 
\draw pic [draw, angle radius=5mm, angle eccentricity=1.4,
"$60^\circ$", 
] {angle =X--Z--Y};
\draw pic [draw, angle radius=4mm, angle eccentricity=1.6,
"$60^\circ$", 
] {angle =Z--Y--X};
\draw pic [draw, angle radius=4mm, angle eccentricity=1.6,
"$60^\circ$", 
] {angle =Y--X--Z};
 
\draw pic [draw, angle radius=3mm, angle eccentricity=1.6, double,
 pic text={$120^\circ$-$\beta$}, pic text options={font=\tiny, xshift=-2pt}, 
] {angle =B--Y--Z};
\draw pic [draw, angle radius=3mm, angle eccentricity=1.8, double,
 pic text={$120^\circ$-$\gamma$}, pic text options={font=\tiny}, 
] {angle =Z--X--C};
 
\node[below, anchor=north west, align=left, text width=\textwidth-\a cm-0mm,
 draw=none, inner sep=1pt, 
xshift=\n cm-5mm,  yshift=3mm, 
font=\normalsize, 
%fill=black!1, draw=red,
] at (A){%\vspace{-1em}
Planfigur 1. Die Betrachtung der Stufen- bzw. F-Winkel sowie der Supplementwinkel bei $X$ und $Y$ liefert die $60^\circ$-Winkel bei $Z$. \\[0.5em]
Zur Konstruktion wird also lediglich die Position der Spitze $Z$ des gesuchten gleichseitigen Dreiecks $XYZ$ benötigt. 
};
 
 
 
 
%%% Punkte
%\foreach \P in {B}
%\draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);
 
\end{tikzpicture}
 
 
\end{document}


Planfigur 2
latex
\documentclass[margin=5pt, tikz]{standalone}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}
\usetikzlibrary{intersections}
\usetikzlibrary{backgrounds}
\usetikzlibrary{patterns}
\usetikzlibrary{positioning}
\usetikzlibrary{angles, quotes, babel}
\usepackage{amsmath, amssymb}
 
\begin{document}
 
\pgfdeclarelayer{background}
\pgfdeclarelayer{foreground}
\pgfsetlayers{background,main,foreground}% Achtung: hier keine Leerstellen!
 
% Seitenlängen
\pgfmathsetmacro{\a}{6} %  
\pgfmathsetmacro{\b}{3.2} %  
\pgfmathsetmacro{\c}{4.5} % 
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))} % 
\pgfmathsetmacro{\Beta}{acos((\a^2+\c^2-\b^2)/(2*\a*\c))} % 
\pgfmathsetmacro{\Gamma}{acos((\a^2+\b^2-\c^2)/(2*\a*\b))} % 
 
\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}
 
\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },  
Hilfs/.style={overlay, draw=none}, 
]
 
% Dreieckskonstruktion
\coordinate[Punkt={below}{B}] (B) at (0,0); 
\coordinate[Punkt={below}{C}] (C) at (\a,0); 
\coordinate[Punkt={above}{A}] (A) at (\Beta:\c); 
\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; % Dreieck zeichnen
 
%% Höhe hc
%\draw[densely dashed, gray] (A) -- ($(B)!(A)!(C)$) coordinate[Punkt={below}{}] (Ha);
 
 
\pgfmathsetmacro{\B}{tan(\Beta)} %  
\pgfmathsetmacro{\G}{tan(\Gamma)} %
\pgfmathsetmacro{\p}{sqrt(3)/2} % 
 
\pgfmathsetmacro{\n}{(\a*\G*(\B+2*\p))/(2*(\B*(\G+\p)+\G*\p))} %  
\pgfmathsetmacro{\m}{(\a*\B*(\G+2*\p))/(2*(\B*(\G+\p)+\G*\p))} %  
\pgfmathsetmacro{\x}{(\a*\B*\G)/(\B*(\G+\p)+\G*\p)} % 
 
\draw[blue] (B) -- (\n,0) coordinate[Punkt={text=red, left, yshift=3pt}{Z}] (Z);, 
%\draw[red, thick] (C) --+ (-\m,0) coordinate(Z);
 
\draw[red, densely dashed, thin] (Z) --++ (60:\x) coordinate[Punkt={right}{X}](X) node[midway, right]{$x$}
 --++ (-\x,0) coordinate[Punkt={left}{Y}](Y) node[midway, above]{$$}
 -- (Z) node[midway, left]{$$};
 
%\draw[red] (Z) -- (A); 
 
 
% Herleitung der Konstrukion
\path[name path=AC] (A) -- (C); 
 
\foreach[count=\K] \k in {2,4}{%%%%%%%%%%%%%%%
\pgfmathsetmacro{\n}{\k/10} %  
\tikzset{font=\tiny}
\path[name path=XsY, Hilfs] ($(A)!\n!(B)$) coordinate[Punkt={left}{Y_\K}](Y\K)
 --+ (\a,0) coordinate(Xs);
\path[name intersections={of=AC and XsY, name=X\K}];
\coordinate[Punkt={right}{X_\K}] (X\K) at (X\K-1); 
\path let             
\p0 = (Y\K), % Zentrum
\p1 = (X\K),
\n1 = {veclen(\y1-\y0,\x1-\x0)},    \n2={atan2(\y1-\y0,\x1-\x0)}
in    [savevalue={\Radius}{\n1}, savevalue={\winkel}{\n2}];
%\pgfmathsetmacro{\Winkel}{\winkel} % 'pt' abstreifen
%\draw[red,ultra thick] (Y) --+ (\Radius, 0); % Test
 
\path[name path=kreisX, Hilfs] (X\K) circle[radius=\Radius];
\path[name path=kreisY, Hilfs] (Y\K) circle[radius=\Radius];
\path[name intersections={of=kreisX and kreisY, name=Z}];
\coordinate[Punkt={right, text=red}{Z_\K}] (Z\K) at (Z-2); 
 
\draw[] (X\K) -- (Y\K) -- (Z\K) --cycle;
 
\draw[name path=gerade, red, shorten <=-3mm] (Z\K) --  (A);
 
\draw[name path=gAB, densely dashed] (A) -- ($(A)!1.4!(B)$);
\draw[name path=ZP, densely dashed] (Z\K) --+ (-2.1*\m,0);
\path[name intersections={of=gAB and ZP, name=P\K}];
\coordinate[Punkt={above, red}{P_\K}] (P\K) at (P\K-1); 
\begin{pgfonlayer}{foreground}
\draw[red, fill=black!1] (P\K) circle (1.75pt);
\draw[red, fill=black!1] (Z\K) circle (1.75pt);
\end{pgfonlayer}
}%%%%%%%%%%%%%%%
\node[xshift=-4pt, below, red] at (Z2) {$p$};
 
\node[below, anchor=north west, align=left, text width=\textwidth-\a cm-0mm,
 draw=none, inner sep=1pt, 
xshift=\n cm-5mm,  yshift=3mm, 
font=\normalsize, 
%fill=black!1, draw=red,
] at (A){%\vspace{-1em}
Planfigur 2. Legt man in das Ausgangsdreieck $ABC$ zwei beliebige gleichseitige Dreiecke $X_1 Y_1 Z_1$ und $X_2 Y_2 Z_2$, deren Basen parallel zur Seite $|BC|$ des Ausgangsdreiecks sind ($|X_1 Y_1| \parallel |BC|$ und $|X_2 Y_2| \parallel |BC|$); und deren Spitzen ($Z_1$ und $Z_2$) nicht notwendigerweise auf der Seite $|BC|$ liegen, so folgt aus der Strahlensatzfigur mit Scheitelpunkt $A$ und Schenkeln durch die Punkte $Z$ und die Hilfspunkte $P$, dass die Spitzen $Z$ auf einer Geraden $p$ liegen. Dass auch der Punkt $A$ auf der Geraden liegt folgt, wenn man die Basis eines der gleichseitige Dreieck beliebig an den Punkt $A$ annähert.  \\
Dementsprechend genügt es auch ein beliebiges gleichseitges Dreieck einzupassen, etwa $X_1 Y_1 Z_1$, und $p$ als diejenige Gerade durch $A$ und $Z_1$ zu konstruieren. \\[0.5em]
Der Schnittpunkt von $p$ mit der Seite $|BC|$ liefert also die Position der Spitze $Z$ des gesuchten gleichseitigen Dreiecks; welches sich damit ohne Weiteres aus obiger Winkelbetrachtung konstruieren lässt. 
};
 
 
 
 
%% Annotationen - Rechnung
%\tikzset{PosUnten/.style={below=5mm of dreieck, anchor=north,}}
%\tikzset{PosLinks/.style={shift={($(dreieck.north)+(-40mm,0)$)}, anchor=north east,}}
%\node[yshift=-0mm, draw, align=left, fill=lightgray!50,
%PosUnten,
%%PosLinks,
%]{
%$\begin{array}{l l}
%a = \a \text{ cm}  &  \\
%b = \b \text{ cm}  &  \\
%c = \c \text{ cm}  &  \\
%\alpha = \Alpha^\circ    &  \\
%\beta = \Beta^\circ    &  \\
%\gamma = \Gamma^\circ    &  \\ \hline
%x = \x \text{ cm}  &  \\
%|BZ|= \n \text{ cm}  &  \\
%|CZ|= \m \text{ cm}  &  \\
%%\multicolumn{2}{l}{s_{a, \text{max}} = \saMax  \text{ cm}} \\ 
%\end{array}$
%};
 
 
%% Punkte
\foreach \P in {Z}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);
 
\end{tikzpicture}
 
 
\end{document}


Rechnung
latex
\documentclass[margin=5pt, tikz]{standalone}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}
\usetikzlibrary{intersections}
\usetikzlibrary{backgrounds}
\usetikzlibrary{patterns}
\usetikzlibrary{positioning}
\usetikzlibrary{angles, quotes, babel}
\usepackage{amsmath, amssymb}
 
\begin{document}
 
% Seitenlängen
\pgfmathsetmacro{\a}{6} %  
\pgfmathsetmacro{\b}{3.2} %  
\pgfmathsetmacro{\c}{4.5} % 
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))} % 
\pgfmathsetmacro{\Beta}{acos((\a^2+\c^2-\b^2)/(2*\a*\c))} % 
\pgfmathsetmacro{\Gamma}{acos((\a^2+\b^2-\c^2)/(2*\a*\b))} % 
 
\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}
 
\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },  
Hilfs/.style={overlay, draw=none}, 
]
 
% Dreieckskonstruktion
\coordinate[Punkt={below}{B}] (B) at (0,0); 
\coordinate[Punkt={below}{C}] (C) at (\a,0); 
\coordinate[Punkt={above}{A}] (A) at (\Beta:\c); 
\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; % Dreieck zeichnen
 
%% Höhe hc
%\draw[densely dashed, gray] (A) -- ($(B)!(A)!(C)$) coordinate[Punkt={below}{}] (Ha);
 
 
\pgfmathsetmacro{\B}{tan(\Beta)} %  
\pgfmathsetmacro{\G}{tan(\Gamma)} %
\pgfmathsetmacro{\p}{sqrt(3)/2} % 
 
%\pgfmathsetmacro{\m}{(\a*\G*(\B+2*\p))/(2*(\B*(\G+\p)+\G*\p))} %  
%\pgfmathsetmacro{\n}{(\a*\B*(\G+2*\p))/(2*(\B*(\G+\p)+\G*\p))} % 
%\pgfmathsetmacro{\x}{(\a*\B*\G)/(\B*(\G+\p)+\G*\p)} % alt
\pgfmathsetmacro{\x}{\a/(1+\p*(1/\B+1/\G))} % 
\pgfmathsetmacro{\m}{\x*(\p/\B+0.5)} % 
\pgfmathsetmacro{\n}{\a-\m} % 
 
\draw[blue,thick] (B) -- (\m,0) coordinate[Punkt={text=red, below}{Z}] (Z);, 
%\draw[red, thick] (C) --+ (-\m,0) coordinate(Z);
 
\draw[red] (Z) --++ (60:\x) coordinate[Punkt={right}{X}](X) node[midway, right]{$x$}
 --++ (-\x,0) coordinate[Punkt={left}{Y}](Y) node[midway, above]{$x$}
 -- (Z) node[midway, left]{$x$};
 
\draw pic [draw, angle radius=4mm, angle eccentricity=1.5,
"$60^\circ$", 
] {angle =Y--Z--B};
\draw pic [draw, angle radius=4mm, angle eccentricity=1.6,
"$60^\circ$", 
] {angle =C--Z--X};
 
%\draw[red] (Z) -- (A); 
 
% Berechnung 
\draw[densely dashed] (X) -- ($(B)!(X)!(C)$) coordinate(Cs) node[midway, right]{$h$}; 
\draw[densely dashed] (Y) -- ($(B)!(Y)!(C)$) coordinate(Bs) node[midway, left]{$h$}; 
\draw[densely dashed] (Z) --+ (0,\p*\x)  coordinate(Xs) node[midway, left]{$h$}; 
 
\draw pic [draw, angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\cdot$", 
] {angle =Y--Bs--B};
\draw pic [draw, angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\cdot$", 
] {angle =C--Cs--X};
\draw pic [draw, angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\cdot$", 
] {angle =Z--Xs--X};
 
 
\path[] (B) -- (Z) node[midway, below]{$m$}; 
\path[] (C) -- (Z) node[midway, below]{$n$}; 
 
\draw pic [draw, angle radius=9mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\beta$", 
] {angle =C--B--A};
\draw pic [draw, angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\gamma$", 
] {angle =A--C--B};
 
 
%% Punkte
\foreach \P in {Z}   \draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);
 
\node[below, anchor=north west, align=left, text width=\textwidth-\a cm-5mm,
 draw=none, inner sep=1pt, 
xshift=\n cm+4mm,  yshift=-3mm, 
font=\normalsize, 
%fill=black!1, draw=red,
] at (A){%\vspace{-1em}
Sei $x$ die Kantenlänge des gleichseitigen Dreiecks und $h=\dfrac{\sqrt{3}}{2}x$ seine Höhe; sei ferner $|BZ|=m$ und $|CZ|=n$.
};
 
\node[below, anchor=north west, align=left, text width=\textwidth-1mm,
 draw=none, inner sep=1pt, 
xshift=0 cm,  yshift=2*\p*\x cm+3mm, 
font=\normalsize, 
%fill=black!1, draw=red,
] at (B){
\textbf{Zusatz:} Berechnung von Kantenlänge und Position des gesuchten gleichseitigen Dreiecks $XYZ$.
};
 
\node[below, anchor=north west, align=left, text width=\textwidth-5mm,
 draw=none, inner sep=1pt, 
xshift=0 cm,  yshift=-7mm, 
font=\normalsize, 
%fill=black!1, draw=red,
] at (B){%\vspace{-1em}
Dann genügen die Größen $x,m,n$ dem linearen Gleichungssystem \par
$\begin{array}{l |l l}
\texttt{(1)}   & m=\dfrac{h}{\tan(\beta)}+\dfrac{x}{2}  &  \hspace{1.5cm}(\text{Dreieck } BZY) \\[1em]
\texttt{(2)}   & n=\dfrac{h}{\tan(\gamma)}+\dfrac{x}{2}  &  \hspace{1.5cm}(\text{Dreieck } ZCX) \\[1em]
\texttt{(3)}   & m+n=a &  \hspace{1.5cm}(\text{Dreieck } ABC) 
\end{array}$  \\[1em]
woraus man erhält  \\[1em]
\def\Lsgx{x =
\dfrac{a}{1+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(
\dfrac{1}{\tan(\beta)}+\dfrac{1}{\tan(\gamma)}\right)}
}
%
\def\textx{\text{\parbox{4.5cm}{%
\texttt{(1)}+\texttt{(2)}, einsetzen von \texttt{(3)} und $h$, auflösen nach $x$}%
}}
%
\def\Lsgm{m=
\dfrac{a\cdot\left( \dfrac{\sqrt{3}}{2\tan(\beta)} +  \dfrac{1}{2} \right)}{1+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(
\dfrac{1}{\tan(\beta)}+\dfrac{1}{\tan(\gamma)}\right)}
}
%
\def\textm{\text{\parbox{4.5cm}{%
einsetzen von $h$ und des Ergebnisses $x$ in \texttt{(1)}}%
}}
$\begin{array}{|l l}
\Lsgx  &  \hspace{1.25em}\longleftarrow\left\{ \textx \right. \\[3.5em]
\Lsgm  & \hspace{1.25em}\longleftarrow\left\{ \textm \right. \\[3.5em]
n=a-m & 
\end{array}$ \\[1em]
\fbox{$\begin{array}{l l}
\textbf{Zahlenbeispiel:} \\
a = \a \text{ cm}  &  \\
b = \b \text{ cm}  &  \\
c = \c \text{ cm}  &  \\
%\alpha = \Alpha^\circ    &  \\
\beta = \Beta^\circ    &  \\
\gamma = \Gamma^\circ    &  \\ \hline
x = \x \text{ cm}  &  \\
|BZ|= m =  \m \text{ cm}  &  \\
|CZ|=n =  \n \text{ cm}  &  \\
\end{array}$}
};
 
\end{tikzpicture}
 
 
\end{document}











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Caban
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Gruß Caban



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Und noch eine kleine Aufgabe:

Aufgabe 081036: Beweisen Sie die folgende Behauptung! Wenn <math>p</math> und <math>q</math> Primzahlen sind (<math>p>3, q>3</math>), dann ist <math>p^2-q^2</math> ein Vielfaches von 24.

Beweis:

Einerseits ist <math>p</math> ungerade, also <math>p-1</math> und <math>p+1</math> zwei aufeinanderfolgende gerade Zahlen, sodass eine von beiden sogar durch 4, also <math>p^2-1=(p-1)(p+1)</math> durch 8 teilbar ist. Analog ist <math>q^2-1</math> und damit auch <math>p^2-q^2=(p^2-1)-(q^2-1)</math> durch 8 teilbar.

Andererseits ist, da <math>q</math> teilerfremd zu 3 ist, genau eine der drei im Abstand <math>q</math> aufeinander folgenden ganzen Zahlen <math>p-q</math>, <math>p</math>, <math>p+q</math> durch 3 teilbar. Da es <math>p</math> nicht ist, muss es also eine der beiden anderen Zahlen, und damit auch <math>p^2-q^2=(p-q)(p+q)</math> sein.

Da 8 und 3 teilerfremd sind, folgt aus der Teilbarkeit von <math>p^2-q^2</math> durch 8 und durch 3 auch die durch <math>8\cdot 3=24</math>, <math>\Box</math>.

Cyrix



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cyrix
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Zur Aufgabe 071241: Man ermittle alle geordneten Quadrupel reeller Zahlen <math>(x_1, x_2, x_3, x_4)</math>, für die das folgende
Gleichungssystem erfüllt ist:
<math>x_1 + ax_2 + x_3 = b</math> (1)
<math>x_2 + ax_3 + x_4 = b</math> (2)
<math>x_3 + ax_4 + x_1 = b</math> (3)
<math>x_4 + ax_1 + x_2 = b</math> (4)
Dabei sind <math>a</math> und <math>b</math> reelle Zahlen (Fallunterscheidung!).

Lösung:

Fall 1: <math>a=0</math>. Dann ist das Gleichungssystem äquivalent zu <math>x_1+x_3=b=x_2+x_4</math>, sodass alle Lösungsquadrupel die Form <math>(s,t,b-s,b-t)</math> mit zwei reellen Parametern <math>s</math> und <math>t</math> besitzen. Einsetzen bestätigt, dass das alles auch Lösungen sind.

Fall 2: <math>a\neq 0</math>. Dann führt das Gleichsetzen von Gleichung (1) mit (3) auf <math>a x_2= a x_4</math> bzw. <math>x_2=x_4</math>. Analog erhält man mit Gleichungen (2) und (4) die Identität <math>x_1=x_3</math>. Einsetzen liefert nun <math>2x_1+ax_2=b=2x_2+ax_1</math>, also <math>(2-a) x_1= (2-a) x_2</math>.

Fall 2.1: <math>a \neq 2</math>. Dann folgt <math>x_1=x_2</math>, also sind alle vier Variablen gleich und man erhält <math>(2+a)x_1=b</math>.

Fall 2.1.1: <math>a \neq -2</math>. Dann sind genau die Quadrupel <math>\left(\frac{b}{2+a},\frac{b}{2+a},\frac{b}{2+a},\frac{b}{2+a}\right)</math> Lösungen des Gleichungssystems, wie man durch Einsetzen leicht bestätigt.

Fall 2.1.2: <math>a= -2</math> und <math>b=0</math>. Dann sind die Lösungsquadrupel gegeben durch <math>(t,t,t,t)</math>, wobei <math>t</math> die reellen Zahlen durchläuft. Auch hier bestätigt die Probe das Ergebnis.

Fall 2.1.3: <math>a=-2</math> und <math>b\neq 0</math>. Dann gibt es wegen <math>(2+a)x_1=(2-2)x_1=0\neq b</math> keine Lösung.

Fall 2.2: <math>a=2</math>. Dann ist <math>2x_1+2x_2=b</math>, sodass man genau alle Lösungstripel erhält durch <math>\left(t, \frac{b}{2}-t, t, \frac{b}{2}-t\right)</math>, wobei auch hier der Parameter <math>t</math> die reellen Zahlen durchläuft, und man durch Einsetzen bestätigt, dass dies alles Lösungen sind.

Cyrix



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cyrix
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... und die

Aufgabe 071231: Drei gleich große Holzkugeln mit einem Radius der Länge <math>r</math>, die sich paarweise berühren, liegen auf einer ebenen Tischplatte.
Wie groß ist der Radius einer vierten Kugel, die alle drei Kugeln und die Tischplatte gleichzeitig berührt?

Lösung:

Die Mittelpunkte der drei großen Kugeln liegen alle in einer Ebene, die parallel zur Tischplatte in einem Abstand von <math>r</math> verläuft. Sie bilden ein gleichseitiges Dreieck <math>\triangle M_1M_2M_3</math> mit Kantenlänge <math>2r</math> und sei <math>S</math> der Schwerpunkt dieses Dreiecks. Dann gilt <math>|M_1S|=\frac{2\sqrt{3}}{3} r</math>, da der Schwerpunkt die Seitenhalbierenden im Verhältnis <math>2:1</math> teilt und jede Seitenhalbierende im gleichseitigen Dreieck auch eine Höhe ist, deren Länge durch die Anwendung des Satzes von Pythagoras als <math>\sqrt{(2r)^2-r^2}</math> ermittelt werden kann.

Sei <math>M</math> der Mittelpunkt der vierten Kugel. Da sie die drei großen berührt, muss <math>M</math> aus Symmetriegründen auf dem Lot von <math>S</math> auf die Tischebene liegen. So entsteht ein rechtwinkliges Dreieck <math>\triangle M_1SM</math> mit rechtem Winkel bei <math>S</math>. Ist <math>R</math> der gesuchte Radius der vierten Kugel, so gilt einerseits <math>|SM|=r-R</math>, da  die vierte Kugel auch die Tischplatte (von oben) berührt und die Berührradien aller Kugeln auf die Tischplatte senkrecht zu dieser stehen, also der der vierten Kugel auch auf der Gerade <math>MS</math> liegt. Andererseits berühren sich aber auch die vierte und die erste Kugel, sodass ihre Mittelpunkte <math>M_1</math> und <math>M</math> den Abstand <math>r+R</math> haben.

Setzt man dies in die durch den Satz von Pythagoras gegebenen Gleichung für das rechtwinklige Dreieck <math>\triangle M_1SM</math> ein, erhält man

<math>(r+R)^2=|M_1M|^2=|M_1S|^2+|SM|^2=\frac{4}{3} r^2 + (r-R)^2</math> bzw. <math>4rR=(r+R)^2-(r-R)^2=\frac{4}{3} r^2</math>, also wegen <math>r>0</math> schließlich <math>R=\frac{1}{3} r</math>.

Cyrix



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