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Differentiation » Mehrdim. Differentialrechnung » Ableitung des Skalarproduktes
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Kein bestimmter Bereich Ableitung des Skalarproduktes
sueskind
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 10.12.2004
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Aus: Hamburg
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2005-04-02


Hallo, ihr Lieben!

Ich soll zeigen, dass
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Buri
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 45899
Aus: Dresden
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2005-04-02


Hallo sueskind,
na klar, das stimmt so.
Die Ableitung, die du angibst, ist völlig richtig, sie beweist die vorgelegte Aussage.
Gruß Buri



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deda
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 14.03.2005
Mitteilungen: 285
Aus: Frankfurt
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2005-04-02


Hallo sueskind,

wie ist den < , > laut Aufgabenstellung definiert?

deda



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sueskind
Ehemals Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 10.12.2004
Mitteilungen: 142
Aus: Hamburg
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2005-04-02


Das oben ist die Originalaufgabenstellung. Da nichts weiter steht, gehe ich davon aus, dass das "handelsübliche" Skalarprodukt gemeint ist.



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Hyp
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 08.03.2003
Mitteilungen: 1858
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2005-04-02


Hi,
das kann man noch vereinfachen, wenn ich's richtig sehe:
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Gruß
Hyp

[Verschoben in Forum 'Differentialrechnung im IR^n' von Hyp]


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deda
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Dabei seit: 14.03.2005
Mitteilungen: 285
Aus: Frankfurt
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2005-04-02


Hi,

normalerweise kann man nicht davon ausgehen, dass das Standardskalarprodukt gemeint ist, wenn es nicht ausdrücklich dabei steht. Einen Beweis deiner Aufgabe für irgendein Skalarprodukt habe ich gerade leider nicht parat.

Gruß
deda



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
hannsx
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 12.10.2018
Mitteilungen: 5
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-04-19


Hallo, das ist mein erster Beitrag in diesem Forum. Ich kann zu der ursprünglichen Frage nichts beitragen, sondern wollte eine Frage stellen, die meiner Meinung nach zum Thema passt.
Zum Problem: Es geht um die Lösung zu einer Übungsaufgabe aus dem Buch: "Lineare Algebra" von Klaus Jänich. Die Lösung dazu wurde von A. Bieri im Internet veröffentlich und ich zitiere sie hier.

Aufgabe:
Sei Sei \(V\) ein euklidischer Vektorraum. Man beweise:

a) Sind \(\phi:\mathbb{R}\rightarrow V\) und \(\psi:\mathbb{R}\rightarrow V\) differenzierbare Abbildungen, so ist auch \(\langle\phi,\psi\rangle:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},
t\mapsto\langle\phi(t),\psi(t)\rangle\) differenzierbar und es gilt:
\[
\begin{equation}
\frac{d}{dt}\{\langle\phi,\psi\rangle\} = \langle\dot{\phi},\psi\rangle + \langle\phi,\dot{\psi}\rangle
\end{equation}
\] b) Ist \(\phi:\mathbb{R}\rightarrow V\) differenzierbar und \(\|\phi(t)\| = const.\) für alle \(t\in\mathbb{R}\), so ist \(\phi(t)\perp\dot{\phi}(t)\) für alle \( t\in\mathbb{R}\).

Beweis a)
Voraussetzung: Die Stetigkeit des Skalarproduktes sei vorausgesetzt. Berechne:
\[
\begin{align}
& \lim\limits_{h \to 0}\frac{\langle\phi,\psi\rangle{}(h+t)-\langle\phi,\psi\rangle{}(t)}{h} = \lim\limits_{h \to 0}\frac{\langle\phi(h+t),\psi(h+t)\rangle-\langle\phi(t),\psi(t)\rangle}{h}\\
= & \lim\limits_{h \to 0}\bigg[\frac{1}{h}\langle\phi(h+t)-\phi(t),\psi(h+t)-\psi(t)\rangle + \langle\phi(h+t),\psi(t)\rangle + \langle\phi(h),\psi(h+t)\rangle - 2\langle\phi(t),\psi(t)\rangle\bigg]
\end{align}
\] Da das Skalarprodukt und $\phi$ (und auch $\psi$) stetig sind, strebt der erste Summand gegen 0. Außerdem gilt (Linearität des Skalarprodukts):
\[
\begin{align}
\lim\limits_{h \to 0}\frac{1}{h}\langle\phi(h+t),\psi(t)\rangle & = \langle\lim\limits_{h \to 0}\frac{1}{h}\phi(h+t),\psi(t)\rangle \notag\\
& = \langle\dot{\phi}(t),\psi(t)\rangle
\end{align}
\] und ebenso die Analoge Beziehung für den zweitletzten Summanden. \(\textbf{Schließlich strebt der letzte Summand gegen 0}\). Also gilt:
\[
\begin{equation}
\frac{d}{dt}\{\langle\phi,\psi\rangle\} = \langle\dot{\phi},\psi\rangle + \langle\phi,\dot{\psi}\rangle
\end{equation}
\] Die Aussage über Gleichung (3), dass \(\langle\phi(h+t)-\phi(t),\psi(h+t)-\psi(t)\rangle\) gegen Null strebt beruht meinem Verständnis nach darauf, dass \(\phi(h+t)-\phi(t)\) gegen Null strebt. Soweit so gut. Die Aussage über den letzten Summanden kann ich allerdings nicht nachvollziehen, dass der letzte Summand gegen 0 strebt.Könnte mir jemand erklären warum der Summand gegen 0 strebt?
Beste Grüße,
Filip



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StefanVogel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 26.11.2005
Mitteilungen: 3268
Aus: Raun
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-04-20


Hallo filip,
Gleichung (4) stimmt auch nicht, dorthinein muss der letzte Summand (ohne Faktor 2) mit gepackt werden:

\(\lim\limits_{h \to 0}\frac{1}{h}\langle\phi(h+t)-\phi(t),\psi(t)\rangle = \langle\lim\limits_{h \to 0}\frac{1}{h}(\phi(h+t)-\phi(t)),\psi(t)\rangle = \langle\dot{\phi}(t),\psi(t)\rangle\)

Viele Grüße,
  Stefan



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hannsx
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Mitteilungen: 5
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-04-20


Hallo Stefan, danke für den Hinweis. Ich werde das nochmal nachrechnen. Ich verstehe aber immernoch nicht warum das Skalarprodukt \(\langle\phi(t),\psi(t)\rangle\) gegen \(0\) strebt.



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StefanVogel
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Dabei seit: 26.11.2005
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Aus: Raun
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-04-20


\(\langle\phi(t),\psi(t)\rangle\) konvergiert nicht gegen 0, erst rech nicht wenn noch durch h geteilt wird, ist aber auch nicht mehr in der Aufteilung der Summanden enthalten:
\(\langle\phi(h+t),\psi(h+t)\rangle - \langle\phi(t),\psi(t)\rangle = \langle\phi(h+t)-\phi(t),\psi(h+t)-\psi(t)\rangle + \langle\phi(h+t)-\phi(t),\psi(t)\rangle + \langle\phi(t),\psi(h+t)-\psi(t)\rangle\)



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hannsx
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 12.10.2018
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2019-04-20


Hallo Stefan, ich sehe jetzt wie die Terme am Ende zusammengefasst werden. Die Erklärung im Text führte da leider in die Irre. Ich habe nochmal die Sache mit dem Faktor \(2\) nachgerechnet. Der gehört dort wirklich hin. Beweis dass:
\[
\begin{align}
\frac{d}{dt}\{\langle\phi,\psi\rangle\} %
= & \lim\limits_{h \to 0}\bigg[\frac{1}{h}\langle\phi(h+t)-\phi(t),\psi(h+t)-\psi(t)\rangle \notag\\
& \quad \quad \quad + \langle\phi(h+t),\psi(t)\rangle + \langle\phi(h),\psi(h+t)\rangle - 2\langle\phi(t),\psi(t)\rangle\bigg]
\end{align}
\] ist. Zuerst forme ich die die Differentiation um:
\[
\begin{align}
\frac{d}{dt}\{\langle\phi,\psi\rangle\} %
= & \lim\limits_{h \to 0}\frac{\langle\phi,\psi\rangle{}(h+t)-\langle\phi,\psi\rangle{}(t)}{h} \\
= &\lim\limits_{h \to 0}\frac{\langle\phi(h+t),\psi(h+t)\rangle-\langle\phi(t),\psi(t)\rangle}{h}
\end{align}
\] Nun forme ich den Ausdruck \( \langle\phi(h+t)-\phi(t),\psi(h+t)-\psi(t)\rangle \) den ich am Ende erhalten will um.
\[
\begin{align}
\langle\phi(h+t)-\phi(t),\psi(h+t)-\psi(t)\rangle &= \langle\phi(h+t),\psi(h+t)-\psi(t)\rangle \notag \\
&- \langle\phi(t),\psi(h+t)-\psi(t)\rangle\ \\
&= \langle\phi(h+t),\psi(h+t)\rangle - \langle\phi(h+t),\psi(t)\rangle \notag \\
&- \left[ \langle\phi(t),\psi(h+t)\rangle - \langle\phi(t),\psi(t)\rangle \right]
\end{align}
\] Er lässt also in folgender Form umschreiben:
\[
\begin{align}
\langle\phi(h+t),\psi(h+t)\rangle - \langle\phi(h+t),\psi(t)\rangle
- \langle\phi(t),\psi(h+t)\rangle + \langle\phi(t),\psi(t)\rangle
\end{align}
\] Nun forme ich den Ausdruck nach \(   \langle\phi(h+t),\psi(h+t)\rangle  \) um, dem ersten Summand in Gleichung \( (3) \).
\[
\begin{align}
\langle\phi(h+t),\psi(h+t)\rangle %
&= \langle\phi(h+t)-\phi(t),\psi(h+t)-\psi(t)\rangle + \langle\phi(h+t),\psi(t)\rangle \notag \\
&+ \langle\phi(t),\psi(h+t)\rangle - \langle\phi(t),\psi(t)\rangle
\end{align}
\] Subtraktion von \(  \langle\phi(t),\psi(t)\rangle  \) auf beiden Seiten ergibt:
\[
\begin{align}
\langle\phi(h+t),\psi(h+t)\rangle -\langle\phi(t),\psi(t)\rangle %
&= \langle\phi(h+t)-\phi(t),\psi(h+t)-\psi(t)\rangle \notag \\
&+ \cdot \langle\phi(h+t),\psi(t)\rangle \notag \\
&+ \langle\phi(t),\psi(h+t)\rangle \notag \\
&- 2 \cdot \langle\phi(t),\psi(t)\rangle
\end{align}\]



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StefanVogel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 26.11.2005
Mitteilungen: 3268
Aus: Raun
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2019-04-20


Das ist soweit richtig umgeformt, auch im zitierten Beweis, doch damit geht die anschließende Grenzwertbildung nicht zu machen. Deshalb vorher noch

\(\langle\phi(h+t),\psi(t)\rangle + \langle\phi(t),\psi(h+t)\rangle - 2 \cdot \langle\phi(t),\psi(t)\rangle = \langle\phi(h+t)-\phi(t),\psi(t)\rangle + \langle\phi(t),\psi(h+t)-\psi(t)\rangle\)

einsetzen.



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hannsx
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 12.10.2018
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2019-04-21


richtig, vielen Dank für die Hilfe!



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