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Mathematik » Strukturen und Algebra » Natürlicher Isomorphismus von Moduln, Tensorprodukt
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Universität/Hochschule J Natürlicher Isomorphismus von Moduln, Tensorprodukt
lu1998
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
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  Themenstart: 2022-09-29

Guten Abend 🤗 Ich habe einen Ring A, ein Ideal \(I\subseteq A\) und einen A-Modul M und möchte zeigen, dass es einen in M natürlichen Isomorphismus von A-Moduln \[A/I\otimes_A M\xrightarrow{\sim} M/IM\] gibt. Im Hinweis zu der Aufgabe heißt es, man solle die kurze exakte Folge \[ E:=(0\to I \hookrightarrow^\iota A\twoheadrightarrow^\pi A/I \to 0)\] tensorieren. Durch Anwendung von \((-\otimes_A M)\) erhält man also \[E\otimes_A M = (0 \to I\otimes_A M \xrightarrow{\iota \otimes id} A\otimes_A M \xrightarrow{\pi \otimes id} A/I \otimes_A M \to 0 \] Weiterhin gilt \(A\otimes_A M \cong M\), ich erhalte das Diagramm \[\require{xypic}\xymatrix{A\otimes_A M \ar[r]^{\pi\otimes id}\ar[d]^g_\sim & A/I \otimes_A M\ar[d]^f\\M\ar[r]^{\tilde{\pi}} & M/IM }\] mit \(g(a\otimes m):=am,\quad f((a+I)\otimes m):=am+IM \). Die Kommutativität vom Diagramm lässt sich leicht zeigen. Dann ist \(\tilde{\pi}\circ g=f\circ (\pi\otimes id)\) surjektiv und damit auch f surjektiv. Meine Fragen: 1. Wie gehe ich nun für die Injektivität vor? 2. Brauche ich hier, dass \((-\otimes_A M)\) rechtsexakt, also \(\pi\otimes id\) surjektiv ist? 3. Was bedeutet "ein in M natürlicher Isomorphismus"?


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Mandelbluete
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-09-30

Huhu! 🙂 Da $- \otimes_A M$, wie Du selbst sagst, im allgemeinen nur rechtexakt ist, muß bei der tensorierten kurzen exakten Sequenz "$0 \to$" weggenommen werden. Man bekommt das folgende kommutative Diagramm mit exakten Zeilen: $$\require{AMScd} \begin{CD} @. I \otimes_A M @>{\iota \otimes 1}>> A \otimes_A M @>{\pi \otimes 1}>> A/I \otimes_A M @>>> 0 \\ @. @V{h}VV @V{g}V{\sim}V @V{f}VV \\ 0 @>>> IM @>{\tilde{\iota}}>> M @>{\tilde{\pi}}>> M/IM @>>> 0. \end{CD}$$ Hierbei sind $\iota$ und $\tilde{\iota}$ die Inklusionen, und $h$ ist die Multiplikationsabbildung und surjektiv. Der Rest ist nun "abstrakter Unsinn": Da wir ja wissen, daß $f$ surjektiv ist, folgt mit einer sogenannten "Diagrammjagd", daß $f$ auch injektiv ist. Das ist genau die Aussage des "zweiten Viererlemmas". Sei $u : M_1 \to M_2$ ein Morphismus von $A$-Moduln. Dieser induziert einen Morphismus $\tilde{u} : M_1/IM_1 \to M_2/IM_2$, und man bekommt das Diagramm $$\require{AMScd} \begin{CD} A/I \otimes_A M_1 @>{f_1}>{\sim}> M_1/IM_1 \\ @VV{1 \otimes u}V @VV{\tilde{u}}V \\ A/I \otimes_A M_2 @>{f_2}>{\sim}> M_2/IM_2. \end{CD}$$ Daß $f$ "natürlich" (= funktoriell) ist, heißt, daß dieses Diagramm kommutiert (zu zeigen).


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lu1998
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-30

Okay, jetzt ist alles klar, vielen Dank! 😄


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