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Universität/Hochschule GS mit 2 Variablen aus R^2
Sekorita
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  Themenstart: 2022-06-25

Hallo, ich soll folgendes LGS mit 2 Variablen lösen. Die Verfahren dazu, also Additions, Gleichsetzungs und Einsetzungsverfahren sind mir bekannt, jedoch handelt es sich jetzt ja hier um Vektoren. Die Vorlesung fiel diese Woche aus und wird erst Sonntag hochgeladen, jedoch möchte ich mich aus Zeitgründen jetzt schon damit befassen. Ich habe Probleme, bzw. weiß ich nicht ob ich die Notation überhaupt richtig verstanden habe : https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55059_qay.JPG Erstmal zu a) Es soll ja gezeigt werden, dass für alle (s,t) \el\ \IR\and\ 2 eine eindeutige Lösung x = x(s, t), y = y(s, t) existiert Ist x = x(s, t), y = y(s, t) das gleiche wie x= (x*s, x*t) ; y= (y*s,y*t) ? Und muss ich jetzt diese x und y in die Gleichung der Aufgabenstellung einsetzen? Wenn das völlig daran vorbei geht, wäre ich auch dankbar für sein Skript bzw. einen Auszug wo die Thematik erläutert wird, weil ich habe bis jetzt nichts dazu gefunden


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go361
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-06-25

Erst einmal ein kleiner Hinweis/Tipp: Es ist hier kein lineares Gleichungssystem. Davon abgesehen... Bei \quoteon(2022-06-25 13:48 - Sekorita im Themenstart) Ist x = x(s, t), y = y(s, t) das gleiche wie x= (x*s, x*t) ; y= (y*s,y*t) ? \quoteoff ist mir gerade nicht ganz klar, was du meinst. Mit $x=x(s,t),\enspace y=y(s,t)$ soll zum Ausdruck gebracht werden, dass die Lösungen von den festen, aber beliebigen Zahlen $s,t$ abhängen wird. Ich würd' erst einmal einfach versuchen, eine der Gleichungen nach $x$ aufzulösen und in die andere einzusetzen.


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Diophant
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  Beitrag No.2, eingetragen 2022-06-25

Hallo, noch als Zusatz: kann es sein, dass diese Aufgabe irgendwie im Zusammenhnag mit dem Satz von der impliziten Funktion gestellt wurde? Gruß, Diophant


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Sekorita
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-25

Hallo zusammen, @Diophant: Wie gesagt, das Thema unserer neuen Vorlesung kennen wir nicht, bzw. wurde bis jetzt noch kein Wort über implizite Funktionen verloren. @go361 Ich versuche es mal: x+y^5 = s x^3-y^3=t <=> x=s-y^5 (1) x^3-y^3=t (2) Einsetzen von (1) in (2) ergibt: (s-y^5)^3-y^3=t <=> s^3-3*s^2 *y^5 +3*s*y^10-y^15 -y^3=t Ich denke, dass ich mit meinem aktuellen Wissen damit aber nicht sehr viel anfangen kann...... Ich versuche mich mal ins Thema implizite Funktionen einzulesen bin aber trotzdem für jeden Kniff, Tipp oder Erklärung dankbar


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Diophant
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  Beitrag No.4, eingetragen 2022-06-25

Hallo, ich vermute, dass es um diesen Satz geht. Gruß, Diophant


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nzimme10
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-06-25

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \renewcommand{\dd}{\ \mathrm d} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo, mit "händischem" Lösen von diesem GS wirst du sicherlich wenig Erfolg haben. Nicht einmal ein CAS wie Maple findet da eine vernünftige Lösung. Diese Aufgabe zielt sicher (vor allem an Teil b) ersichtlich) auf den Umkehrsatz bzw. eben den Satz über implizite Funktionen ab. Details, eine Motivation, beide genannten Sätze und Beispiele dazu findest du z.B. hier in Kapitel 17. Definiere $F\colon \mathbb R^2\to \mathbb R^2$ durch $$ F(x,y)=(x+y^5,x^3-y^3). $$ Zu zeigen ist nun, dass $F$ bijektiv ist. Das ist genau die Aufgabenstellung der a) nur in anderen Worten. Edit: Dazu fällt mir persönlich aber momentan auch kein Argument ein. Weder die Injektivität noch die Surjektivität lassen sich wirklich "von Hand" zeigen. Vielleicht ist auch die Aufgabenstellung fehlerhaft und es ist z.B. $x+y^3=s$ gemeint oder so. Aber ich will nicht ausschließen, dass es einen Weg gibt, den ich einfach noch nicht gefunden habe :D Für b) Zeige dann, dass $DF(x,y)$ genau dann invertierbar ist, wenn $y\neq 0$ gilt. Sei dann $U:=\mathbb R^2\setminus\lbrace (x,0)\mid x\in \mathbb R\rbrace$ und $f:=F|_{U}$. Zeige, dass $f$ injektiv und stetig differenzierbar ist. Für alle $(x,y)\in U$ ist $Df(x,y)$ invertierbar und somit $f\colon U\to f(U)$ ein $C^1$-Diffeomorphismus (Hier ging nun natürlich der Umkehrsatz ein). Die Ableitungen kannst du dann auch mit Hilfe des Umkehrsatzes ausrechnen. Überlege abschließend noch, warum $$ f(U)=\mathbb R^2\setminus\lbrace (s,t)\mid t=s^3\rbrace $$ gilt. LG Nico\(\endgroup\)


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Sekorita
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-25

Puhhh, das sind zwei ordentliche Brummer wenn man es nur so ließt, da werde ich mir wohl noch ein paar Videos angucken müssen und die Vorlesung hören. Verzieht vorweg die handschriftliche Notiz. https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55059_yxc.JPG Zur Injektivität: Die ist doch "offensichtlich", da durch die ungerade Exponenten in meinen Gleichungen F_1 und F_2 es niemals sein kann, dass aus (x,y) != (x_1 , y_2) -> f(x,y) = f(x_1,y_1) folgt und somit ist f injektiv. Bei a) weiß ich aber jetzt nicht weiter zu argumentieren, weil ich muss ja eigentlich für eine eindeutige Lösung die Biijektivität zeigen. Verwirren tut mich, dass wir s und t einfach "weggelassen" haben oder war der Lösungsanatz komplett für die b) ?. Folgt die Biijektivität vielleicht daraus, dass die Abbildung von \IR^2 auf \IR^2 ist ? zu b) Aufgrund obiger Überlegungen und a) ist f eingeschränkt auf U:= \IR^2 \ {(x,0) : x\el\ \IR} ein C^1-Diffeomorphismus also ist die Umkehrabbildung von f auch stetig differenzierbar. Ich muss sagen, dass ich ab hier jetzt nicht mehr weiter weiß. Ich verstehe nicht, wie x(s, t) und y(s, t) aussehen und was nun wie zu tun ist. Vielleicht verstehe ich es nach einer Mütze Schlaf und ein paar Erklärungen bzw. Nacharbeitungen von dem hier verlinkten Skript. Danke für die Hilfe im Voraus


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nzimme10
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-06-25

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \renewcommand{\dd}{\ \mathrm d} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo, ich habe meinen vorherigen Beitrag nochmal erweitert, da ich selbst bei der Aufgabe a) meine Zweifel habe bzw. auf keine Lösung komme. Ungeachtet dessen: Du musst nicht wissen, wie die beiden Funktionen "konkret" aussehen - dadurch, dass sich die beiden Gleichungen von Hand nicht mal eben lösen lassen kann man vermuten, dass es auch gar keine einfache geschlossene Formel für diese Funktionen gibt. Der Umkehrsatz macht dennoch eine Aussage über das Differential der Umkehrabbildung. Genauer ist $$ D(f^{-1})(s,t)=[Df(f^{-1}(s,t))]^{-1}. $$ Entsprechend kann man analog die Jacobi-Matrix der Umkehrabbildung erhalten. Die erste Zeile dieser Matrix entspricht dann $x'(s,t)$ und die zweite Zeile entspricht $y'(s,t)$. Letzteres ist im Übrigen das Analogon zu $$ (g^{-1})'(y)=\frac{1}{g'(g^{-1}(y))} $$ aus der eindimensionalen Theorie. LG Nico\(\endgroup\)


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Sekorita
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-25

Mich hat es doch noch nicht losgelassen. In Worte gefasst ist also die Jacobi Matrix der Umkehrabbildung doch dann die Inverse Matrix meiner bereits berechneten Jacobi Matrix, oder ? https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55059_Screenshot_20220625-230046_Samsung_Internet.jpg Mich verwirrt halt nachwievor dieses s und t.... weil angenommen es ist richtig was ich gesagt habe, dann kann ich ja in der 1. Zeile meiner neuen Matrix nirgends Werte für s und t einsetzen sondern nur für x und y


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nzimme10
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  Beitrag No.9, eingetragen 2022-06-25

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \renewcommand{\dd}{\ \mathrm d} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Dann mal in Worten: Die Jacobi-Matrix der Umkehrabbildung $f^{-1}$ am Punkt $(s,t)$ ist die selbe Matrix, wie die Inverse der Jacobi-Matrix der Abbildung $f$ am Punkt $f^{-1}(s,t)$. Du müsstest also für $(x,y)$ den Punkt $f^{-1}(s,t)$ einsetzen. Also konkret bei dieser Aufgabe den Punkt $f^{-1}(1,9)=(2,-1)$. Anmerkung: Das bekräftigt mich im Übrigen darin, dass die erste Gleichung eventuell doch eine andere sein soll, da das Gleiche auch z.B. mit $x+y^3$ anstatt $x+y^5$ funktioniert. Aber vielleicht findet ja jemand noch ein Argument für die a) und es liegt gar kein Fehler vor. LG Nico\(\endgroup\)


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Sekorita
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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-26

Ich habe betreffend der a) mal unseren Dozenten angeschrieben und warte auf eine Antwort. Zu b) Du hast ja gesagt für mein x^´(s,t) muss ich die erste Zeile meiner Jacobi Matrix der Umkehrabbildung betrachten- Wie komme ich denn auf f^´(1,9) = (2,1) Wenn ich die erste Zeile, also die oberen beiden Einträge meiner inversen Matrix nehme und dort (1,9) einsetze wie soll ich dann auf (2,1) kommen ? Muss dann für y^´(1,9) dann die zweite Zeile betrachtet werden ?


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zippy
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  Beitrag No.11, eingetragen 2022-06-26

\quoteon(2022-06-25 20:37 - Sekorita in Beitrag No. 3) (s-y^5)^3-y^3=t \quoteoff Diese Gleichung sagt, dass $y$ für gegebene Werte von $s$ und $t$ eine Nullstelle des Polynoms $p_{s,t}(y)=t+y^3-(s-y^5)^3$ ist. Dieses Polynom hat folgende Eigenschaften: 1. $p_{s,t}(y)\to\pm\infty$ für $y\to\pm\infty$. 2. $p_{s,t}$ ist wegen $p'_{s,t}(y)=3y^2+15y^4(s-y^5)^2\ge0$ monoton. Also existiert eine eindeutige Nullstelle $y=\eta(s,t)$. Die Gleichung $x+y^5=s$ zeigt uns dann, dass auch $x$ eindeutig durch $s$ und $t$ festgelegt ist, $x=\xi(s,t):=s-\eta(s,t)^5$. Also ist die Abbildung $(x,y)\mapsto(s,t)$ injektiv. Umgekehrt sieht man, dass $(x,y)=(\xi(s,t),\eta(s,t))$ für jedes $(s,t)\in\mathbb R^2$ auf $(s,t)$ abgebildet wird. Also ist die Abbildung auch surjektiv. --zippy [Die Antwort wurde nach Beitrag No.9 begonnen.]


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nzimme10
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  Beitrag No.12, eingetragen 2022-06-26

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \renewcommand{\dd}{\ \mathrm d} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) zippy comes and saves the day😎 \quoteon(2022-06-26 09:19 - Sekorita in Beitrag No. 10) Du hast ja gesagt für mein x^´(s,t) muss ich die erste Zeile meiner Jacobi Matrix der Umkehrabbildung betrachten- Wie komme ich denn auf f^´(1,9) = (2,1) Wenn ich die erste Zeile, also die oberen beiden Einträge meiner inversen Matrix nehme und dort (1,9) einsetze wie soll ich dann auf (2,1) kommen ? Muss dann für y^´(1,9) dann die zweite Zeile betrachtet werden ? \quoteoff Du hast meine beiden Beiträge in dieser Hinsicht einfach nicht richtig gelesen. Mit der von mir definierten Funktion $f$ gilt nun mal (rechne es nach!) $f(2,-1)=(1,9)$. Aus dem Umkehrsatz (bzw. wenn man den Satz hat dann mit der Kettenregel) ergibt sich nun, dass die Jacobi-Matrix von $f^{-1}$ an der Stelle $(1,9)$ die Inverse der Jacobi-Matrix von $f$ an der Stelle $f^{-1}(1,9)=(2,-1)$ ist. In Formeln $$ J_{f^{-1}}(1,9)=\left(J_f(2,-1)\right)^{-1} $$ LG Nico\(\endgroup\)


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Sekorita
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  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-27

Hallo Ihr Beiden, erstmal danke für die Hilfe. Ich versuche jetzt mal Eure Beiträge in meinen eigenen Worten wiederzugeben um zu schauen, ob ich es verstanden habe. Es geht bei dieser Thematik nicht darum irgendwelche Jacobi Matrizen genau zu bestimmen sondern sich über Sätze wie den Satz über implizite Funktionen oder den Umkehrsatz Ein Bild zu machen, welche Werte diese z.B. annehmen muss an bestimmten Punkten. Bei a) ich habe die erste Funktion in die zweite eingesetzt und da s und t beliebig aber fest sind, konnte ich rauslesen, dass y eine eindeutige Nullstelle des von s und t abhängen Polynoms sind. Das y eindeutig ist, lese ich aus der Monotonie und des Grenzverhaltens für y->+-\inf raus. Die Nullstelle y ist also dann \eta(s,t), also Nullstelle \eta die von (s,t) abhängt. Ähnliche Argumentation dann auch für x und injektiv und surjektiv waren verständlich. bei b) Sehe ich es richtig, dass man also erst "ausprobieren" muss, für welches f(x,y) = (1,9) rauskommt? Das mit dem Umkehrsatz habe ich dann verstanden, also ist bezogen auf diese Aufgabenstellung: x´(1,9) und y´(1,9) <=> J_(f^(-1)) (1,9) = (J_f (2,-1))^(-1) weil f(2, -1) = (1,9) und somit f^(-1) (1,9) = (2,-1)


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nzimme10
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  Beitrag No.14, eingetragen 2022-06-28

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \renewcommand{\dd}{\ \mathrm d} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) \quoteon(2022-06-27 11:01 - Sekorita in Beitrag No. 13) bei b) Sehe ich es richtig, dass man also erst "ausprobieren" muss, für welches f(x,y) = (1,9) rauskommt? Das mit dem Umkehrsatz habe ich dann verstanden, also ist bezogen auf diese Aufgabenstellung: x´(1,9) und y´(1,9) <=> J_(f^(-1)) (1,9) = (J_f (2,-1))^(-1) weil f(2, -1) = (1,9) und somit f^(-1) (1,9) = (2,-1) \quoteoff Sicherlich ist es hier am einfachsten, wenn man die entsprechenden Gleichungen durch etwas Probieren löst. Durch den Umkehrsatz haben wir dann $$ \begin{pmatrix} \frac{\partial (f_1)^{-1}}{\partial x}(1,9) & \frac{\partial (f_1)^{-1}}{\partial y}(1,9) \\ \frac{\partial (f_2)^{-1}}{\partial x}(1,9) & \frac{\partial (f_2)^{-1}}{\partial y}(1,9) \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x}(2,-1) & \frac{\partial f_1}{\partial y}(2,-1) \\ \frac{\partial f_2}{\partial x}(2,-1) & \frac{\partial f_2}{\partial y}(2,-1) \end{pmatrix}^{-1} $$ und können daher an den Zeilen der resultierenden Matrix (muss man eben noch zu Ende rechnen) die jeweiligen Jacobi-Matrizen ablesen, wie die Aufgabe es verlangt. LG Nico\(\endgroup\)


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