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Mathematik » Stochastik und Statistik » Unabhängigkeit von Zufallsvariablen
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Universität/Hochschule Unabhängigkeit von Zufallsvariablen
eisenstein01
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  Themenstart: 2022-05-16

Hi Leute, wie geht man vor, wenn man die Unabhängigkeit von Zufallsvariablen zeigen möchte? Konkret: Seien $X_1, X_2$ unabhängige, gleichverteilte Zufallsvariablen auf ${0,...,k}$. $X_3$ sei gegeben durch $X_3 := X_1 + X_2$ falls $0 \leq X_1 + X_2 \leq k$ und $X_1 + X_2 - (k+1)$, sonst. Jetzt ist zu zeigen, dass: 1) die $X_i$ paarweise unabhängig sind und 2) dass die $X_i$ nicht unbhängig sind. Ich verstehe die Definition, aber zunächst mal: Wie ist $X_3$ verteilt? und Wie gehe ich dann vor? Also ich habe mir überlegt, dass $X_3$ entweder im Fall 1: $0 \leq X_3 \leq k$ und in Fall 2 $0 \leq X_3 \leq k-2$. Bringt das etwas?


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luis52
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-05-17

\(\begingroup\)\(%**************************************************************** %************************** Abkuerzungen ************************ %**************************************************************** \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\veps}{\varepsilon} \) Moin, um die Verteilung von $X_3$ zu bestimmen, musst du dir zunaechst ueberlegen, welche Werte sie annehmen kann. Ich behaupte, es sind die Werte $0,1,\ldots,k$. Als naechstes ueberlege dir, mit welcher Wsk jeder der Werte angenommen wird. Nutze das Ergebnis um 1) anzugehen. Zeige also, dass $P(X_1=x_1,X_3=x_3)=P(X_1=x_1)P(X_3=x_3)$ fuer alle $x_1,x_3$ gilt. Bei 2) genuegt es ein Gegenbeispiel zu finden, d.h einen Fall, fuer den $P(X_1=x_1,X_2=x_2,X_3=x_3)=P(X_1=x_1)P(X_2=x_2)P(X_3=x_3)$ fuer alle $x_1,x_2,x_3$ nicht erfuellt ist. Mach dir das Leben leicht. vg Luis \(\endgroup\)


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