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Universität/Hochschule J Bedeutung Integral
Student10023
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  Themenstart: 2022-01-26

Folgende Aufgabe (wir beschäftigen uns gerade mit mehrdimensionaler Integration: Sei $f: \Omega \to \mathbb{R} $ messbar und positiv ($\Omega \subset \mathbb{R}^n $ messbar). Sei G die Fläche unter dem Graphen von $f$ also $G = \{(x,y) \in \Omega \times \mathbb{R} \mid 0 \leq y \leq f(x)\} $. Zeigen Sie, dass das Integral das tut was wir erwarten also, dass a) G messbar ist und b) $\int_{\Omega} f(x) d^n x = \lambda^{n+1}(G)$ Meine Überlegungen: zu a) Dachte ich, dass man G geschickt umschreibt (z.B als Urbilder einer Menge von f, bin hier aber nicht weit gekommen). Danach dachte ich mir vllt, dass ja gilt. $G = \Omega \times im(f) $ und das erste ist messbar und wenn im(f) auch messbar wäre so wäre das Produkt auch messbar ( aber warum ist das so ?) bei b) habe ich keine Ahnung. Kann mir jemand helfen? Liebe Grüße und danke im Vorraus


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nzimme10
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-01-26

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo, Zu a) Vielleicht ist ja die Abbildung $g\colon \Omega \times \mathbb R\to \mathbb R, \ (x,y)\mapsto f(x)-y$ dafür hilfreich. Wie du auf $G=\Omega\times f(\Omega)$ kommst ist mir nicht klar, denn ist $\Omega=[0,1]\subset\mathbb R$ und $f\equiv 1$ auf $[0,1]$, dann ist $G=[0,1]^2$, aber $\Omega\times f(\Omega)=[0,1]\times\lbrace 1\rbrace$. Zu b) Kennst du den Begriff "Produktmaß"? Damit lässt sich die b) zum Beispiel erledigen (Satz von Tonelli könnte auch ein Stichwort sein). Konkreter: Seien $(X_1,\mathcal A_1,\mu_1)$ und $(X_2,\mathcal A_2,\mu_2)$ $\sigma$-endliche Maßräume und $\mathcal A:=\mathcal A_1\otimes \mathcal A_2$ die Produkt-$\sigma$-Algebra, i.e. $$ \mathcal A=\sigma\left(\lbrace A_1\times A_2\mid A_1\in\mathcal A_1, \, A_2\in \mathcal A_2\rbrace\right). $$ Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes Maß $\mu:=\mu_1\otimes \mu_2$ auf $\mathcal A$ derart, dass $$ \mu(A_1\times A_2)=\mu_1(A_1)\cdot\mu_2(A_2) $$ für alle $A_1\in \mathcal A_1$ und alle $A_2\in \mathcal A_2$ gilt. Dabei gilt $$ \mu(A)=\int_{X_1} \mu_2(A_{x_1}) \d \mu_1=\int_{X_2} \mu_1(A_{x_2}) \d \mu_2 $$ für alle $A\in\mathcal A$, wobei für $x_1\in X_1$ $$ A_{x_1}:=\lbrace x_2\in X_2\mid (x_1,x_2)\in A\rbrace $$ und analog für $A_{x_2}$. Falls es dir noch nicht bekannt ist, so kann man sich überlegen, dass $\mathcal B^{n+1}(\mathbb R)=\mathcal B^{n}(\mathbb R)\otimes \mathcal B^{1}(\mathbb R)$ und $\lambda^{n+1}=\lambda^n \otimes \lambda^1$ gilt. Siehe auch hier. LG Nico\(\endgroup\)


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Student10023
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-26

Hey danke für deinen Tipp, a) habe ich geschafft. Produktmaße habe ich in diesem abstrakten Setting nicht kennengelernt aber spezifisch für $\mathbb{R}$ kenne ich das. Ich bin mit einem ähnlichen Satz aus der Vorlesung auf folgendes gekommen: $\lambda^{n+1}(G) = \int_{\mathbb{R}^{n}} \lambda(G_x) d^nx $ Wobei $G_x = \{ y \in \mathbb{R} \mid (x,y) \in G \} = \{ y \in \mathbb{R} \mid f(x)-y \geq 0 \} $ Ich müsste jetzt also nur zeigen, dass das Maß von $G_x$ gleich $f(x)$ ist, aber hier weiß ich nicht wie ich das machen soll (falls das überhaupt stimmt) Danke für die Hilfe


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nzimme10
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-01-26

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo, es ist doch für $x\in \Omega$ $$ G_x=\lbrace y\in \mathbb R \mid (x,y)\in G\rbrace=\lbrace y\in \mathbb R \mid 0\leq y\leq f(x)\rbrace=[0,f(x)]. $$ Es ist sicher hilfreich für das Verständnis, wenn du dir die Situation für $n=1$ oder $n=2$ mal aufmalst und dir an einer Skizze klarmachst, was wir hier tun. LG Nico\(\endgroup\)


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Student10023
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-01-26

achso alles klar, das stimmt, das ist eigentlich "offensichtlich" aber ich habe das vorhin aus irgend einem Grund leider nicht gesehen. Vielen Dank für die Hilfe jedenfalls !


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