Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Wauzi
Elementare Zahlentheorie » Zahlentheoretische Funktionen » ggT(5a² - b², 5a² + b²)
Autor
Universität/Hochschule J ggT(5a² - b², 5a² + b²)
th57
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 14.12.2020
Mitteilungen: 54
  Themenstart: 2021-10-26

Hi, Ich soll zeigen, dass für \(a,b \in \mathbb{Z}\) der \[ggT(5a^2-b^2, 5a^2+b^2) \in \{1,2,5,10\}\] Damit habe ich schon mal 2 Schwierigkeiten. Erstens zu zeigen, dass alle diese möglich sind und zweitens, dass keine anderen möglich sind. Wie könnte ich da ran gehen? Für Hinweise jeglicher Art bin ich dankbar, also auch falls Ihr irgendwelche "Rechenregeln" kennt, die für den ggT gelten. MfG


   Profil
Kezer
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 1551
  Beitrag No.1, eingetragen 2021-10-26

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\CC}{\mathbb{C}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\A}{\mathbb A} \newcommand{\PP}{\mathbb{P}} \newcommand{\LL}{\mathcal{L}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\FF}{\mathcal{F}} \newcommand{\variety}{\mathcal{V}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\sep}{\mathrm{sep}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}} \newcommand{\Set}{\mathbf{Set}} \newcommand{\Coh}{\mathbf{Coh}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\Bl}{\operatorname{Bl}} \newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}}\) Die Aussage ist so falsch, es ist $\operatorname{ggT}(a,b)^2 \mid \operatorname{ggT}(5a^2-b^2, 5a^2+b^2)$. Für eine korrigierte Aussage wäre z.B. euklidischer Algorithmus das Stichwort.\(\endgroup\)


   Profil
th57
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 14.12.2020
Mitteilungen: 54
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-26

Das ist allerdings komisch, da laut unserem AB die Aussage stimmen sollte. Aber trotzdem Danke.


   Profil
th57
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 14.12.2020
Mitteilungen: 54
  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-26

Ah Entschuldigung, ich habe eine Voraussetzung vergessen. Hier noch mal das gesamte Problem: zeige für \(a,b \in\mathbb{Z}\) mit \(ggT(a,b) = 1\) gilt: \[ggT(5a^2-b^2, 5a^2+b^2) \in\{1,2,5,10\}\]


   Profil
Kezer
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 1551
  Beitrag No.4, eingetragen 2021-10-26

Der Hinweis bleibt „euklidischer Algorithmus“. 😉 (Im Übrigen musst du nicht beweisen, dass alle Elemente der rechten Menge angenommen werden können, wenn das der genaue Wortlaut der Aufgabenstellung ist. In der Tat werden aber alle Elemente angenommen.)


   Profil
th57
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 14.12.2020
Mitteilungen: 54
  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-27

Danke schon mal für deine Hilfestellungen, Algebra liegt mir eindeutig nicht. Ich schreibe meine Gedanken mal dazu auf. Zuerst noch eine Feststellung, wenn der \(ggT(a,b) = 1\) bekomme ich doch, z.B. über die Primzahldarstellung, dass auch \(ggT(a^2,b^2) = 1\) oder? Aber noch ein anderer Gedanke, ich habe gefunden, dass gilt \[ ggT(a,b) \mid ggT(a, Aa+Bb)\text{ mit }A,B\in\mathbb{Z}\] wenn ich das auf mein Bsp. anwenden bekomme ich \[ ggT(5a^2-b^2,5a^2+b^2) \mid ggT(5a^2-b^2, 10a^2) \mid ggT(-2b^2,10a^2) \mid ggT(10b^2, 10a^2) \mid 10ggT(a^2, b^2) = 10 \] damit hätte ich meine Aussage ja. Aber den Ansatz über den Euklidischen Algo finde ich auch interessant, wenn du mir also dafür noch einen Ansatz liefern könntest wäre ich auch dankbar. Bis jetzt habe ich dazu nur: Für den ersten Schritt des Eukl Algo erhalten wir: \(5a^2+b^2 = 1(5a^2-b^2) + 2b^2\) also Rest \(2b^2\) damit im nächsten Schritt \((5a^2-b^2) / 2b^2\) und hier bin ich schon aufgeschmissen, kann ich benutzen, dass \(ggT(a,b) = 1\)? LG


   Profil
ochen
Senior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 3409
Wohnort: der Nähe von Schwerin
  Beitrag No.6, eingetragen 2021-10-27

Hi, du bist fast fertig. Sei $t:=\operatorname{ggT}(5a^2+b^2,5a^2-b^2)$, dann folgt $t\mid 10a^2$ aus $10a^2=(5a^2-b^2)+(5a^2+b^2)$. Weiter folgt $t\mid 2b^2$ aus $2b^2=(5a^2+b^2)-(5a^2-b^2)$. Wir wissen also, dass $t\mid \operatorname{ggT}(10a^2,2b^2)$. Jetzt kannst du Vermutungen anstellen, was $\operatorname{ggT}(10a^2,2b^2)$ ist, wenn $\operatorname{ggT}(a,b)=1$ ist.


   Profil
Kezer
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 1551
  Beitrag No.7, eingetragen 2021-10-27

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\CC}{\mathbb{C}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\A}{\mathbb A} \newcommand{\PP}{\mathbb{P}} \newcommand{\LL}{\mathcal{L}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\FF}{\mathcal{F}} \newcommand{\variety}{\mathcal{V}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\sep}{\mathrm{sep}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}} \newcommand{\Set}{\mathbf{Set}} \newcommand{\Coh}{\mathbf{Coh}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\Bl}{\operatorname{Bl}} \newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}} \newcommand{\ggT}{\operatorname{ggT}}\) Mit euklidischen Algorithmus meinte ich genau $\operatorname{ggT}(x,y) = \operatorname{ggT}(x, \alpha x + \beta y)$. 😉 (Weißt du, wieso das gilt? Falls nein: Beweise es.) Dein Beweis ist richtig. Wenn du schrittweise den euklidischen Algorithmus so anwenden möchtest wie im späteren Teil deines Beitrages, dann wird es letztendlich auch den gleichen Beweis hinauslaufen. P.S.: Wenn du ggT in LaTeX schreiben möchtest, solltest du \operatorname{ggT} benutzen (man kann auf dem MP eine Abkürzung für LaTeX Kommandos auf dem eigenen Profil einfügen, wenn dir das zu lang ist). P.S. 2: Kannst du zeigen, dass tatsächlich alle Werte $1,2,5,10$ angenommen werden? Edit: Eventuell war der Hinweis mit dem euklidischen Algorithmus verwirrend, sorry dafür. Als ich angefangen habe den (nicht erweiterten) euklidischen Algorithmus zu benutzen, bin ich immer so vorgegangen: $$\ggT(6, 27) = \ggT(6, 27- 4 \cdot 6) = \ggT(6, 3) = \ggT(6-2 \cdot 3, 3) = \ggT(0,3) = 3.$$ Aber da ich damals nie wirklich den euklidischen Algorithmus in der Literatur nachgelesen habe, kann es sein, dass es nicht unbedingt üblich ist $\operatorname{ggT}(x,y) = \operatorname{ggT}(x, \alpha x + \beta y)$ als euklidischen Algorithmus zu bezeichnen.\(\endgroup\)


   Profil
th57
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 14.12.2020
Mitteilungen: 54
  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-10-27

Alles klar, danke euch beiden für die Antworten und auch für den Edit, der hat mir noch mal einiges klar gemacht. Liebe Grüße


   Profil
th57 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
th57 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
th57 wird per Mail über neue Antworten informiert.

Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]