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Logik, Mengen & Beweistechnik » Aussagenlogik » Folgt B aus der leeren Prämissenmenge, dann ist B eine Tautologie
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Universität/Hochschule Folgt B aus der leeren Prämissenmenge, dann ist B eine Tautologie
Pippen
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  Themenstart: 2021-08-02

Um die Sache einfach zu halten, sei der Beweis nur in AL zu führen. A, B seien feste Variablen für beliebige AL-Formeln, also q, p & q, r v s, …. Wir definieren: \Sigma \models B <=> (\forall A \el \Sigma -> A = 1) -> B = 1 . Jetzt sei \Sigma = \0. Also \0 \models B <=> (\forall A \el \0 -> A = 1) -> B = 1 . Also \0 \models B <=> ~(\forall A \el \0 -> A = 1) v B = 1 . Also B = 1 (weil \forall A \el \0 -> A = 1 wegen des falschen Antecedens wahr ist). Leider stimmt da was nicht. Nehmen wir mal als \Sigma die Prämissenmenge ~A, A -> B. Dann kann ich mit o.g. Methode beweisen, dass B = 1, was ja nicht stimmt, B kann auch falsch sein. Wie also sähe ein ordentlicher Beweis aus, dass wenn B aus der leeren Prämissenmenge folgt, dann B eine Tautologie ist? Mich interessiert vor allem ein Beweis, der von der o.g. Definition der semantischen Folgerung ausgeht.


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tactac
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-08-02

\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\) \quoteon(2021-08-02 00:38 - Pippen im Themenstart) Leider stimmt da was nicht. Nehmen wir mal als \Sigma die Prämissenmenge ~A, A -> B. Dann kann ich mit o.g. Methode beweisen, dass B = 1, was ja nicht stimmt, B kann auch falsch sein. \quoteoff $\{\lnot A, A \to B\} \neq \emptyset$. Außerdem müsstest du, um mithilfe des Satzes zu zeigen, dass $B$ eine Tautologie ist, trotzdem noch $\emptyset \vDash B$ beweisen.\(\endgroup\)


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Pippen
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-03

Ok, noch ein Versuch! Um die Sache einfach zu halten, sei der Beweis nur in AL zu führen. A, B seien feste Variablen für beliebige AL-Formeln, also q, p & q, r v s, …. 1. Wir definieren: \Sigma \models B <=> (\forall A \el \Sigma -> A = 1) -> B = 1 . 2. Jetzt sei \Sigma = \0. 3. Also \0 \models B <=> (\forall A \el \0 -> A = 1) -> B = 1 . 4. Wir können kürzen: \0 \models B <=> T -> B = 1 . 5. Sei \0 \models B . Dann folgt T -> B = 1 , aber diese Implikation ist nur wahr, wenn B nicht in einem einzigen Falle falsch ist (= Tautologie). q.e.d. Besser?


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tactac
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-08-03

Ich habe nichts am Beweis ausgesetzt, sondern nur gegen das "Leider stimmt da was nicht" argumentiert.


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Pippen
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-05

Ich bin nicht zufrieden. Weiter! Jetzt gleich als Rundum-Beweis ganz allgemein für formale (klassische) Sprachen/Logiken. A, B seien Variablen für beliebige wohlgeformte Formeln einer formalen Sprache. I steht für Interpretation/Modell bzw. Wahrheitswertfunktion (bei aussagenlogischen Formeln). 1. Wir definieren: \Sigma \models B <=> \forall I:(\forall A \el \Sigma -> A(I) = 1) -> B(I) = 1 . 2. Jetzt sei \Sigma = \0, also \0 \models B <=> \forall I:(\forall A \el \0 -> A(I) = 1) -> B(I) = 1 , was wir kürzen können zu \0 \models B <=> \forall I: T -> B(I) = 1 . 3. Sei \0 \models B . Dann folgt \forall I: T -> B(I) = 1 , aber diese Implikation ist nur wahr, wenn B nicht in einem einzigen Falle falsch ist (= Tautologie). Würde ein Mathematiker diesen Beweis kapieren und als in Ordnung befinden? (Ich bringe mir Logik gerade selber bei und bin daher immer sehr unsicher, ob das, was ich so denke/schreibe auch Sinn macht und von anderen Logikern verstanden würde.) Was kann man alles kritieren?


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tactac
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-08-05

\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\) Wenn du noch sagst, was $A(I)$ und $B(I)$ sind, ist ok. (Auch wenn man das erraten kann.)\(\endgroup\)


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