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  Verteilung normalverteilter Zufallsvariablen |
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hanuta2000
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Hallo,
Ich bräuchte mal Hilfe bei folgender Aufgabe:
Seien \((X_1,..,X_n) \) unabhängige Zufallsvariablen, \( X_k \sim N(k \nu,1) \). Der Parameter \( \nu \) sei unbekannt.
Bestimmen die Verteilung von \( \hat{\nu_n} = \frac{\sum_{k=1}^n k X_k}{\sum_{k=1}^n k^2}. \)
\( P( \hat{\nu_n} \leq z) = P(\sum_{k=1}^n kX_k \leq z \sum_{k=1}^n k^2) = \int_{- \infty}^{z*\sum_{k=1}^n k^2} f_{\hat{\nu_n}}(x) dx\)
Die ZV \(\sum_{k=1}^n k X_k \) ist soweit ich verstanden habe \( \sim N(v \sum_{k=1}^n k^2,\sum_{k=1}^n k^2) \), also Dichte \( f_{\hat{\nu_n}}(x) = \frac{1}{2 \pi \sum_{k=1}^n k^2} e^{-\frac{(x-v \sum_{k=1}^n k^2)^2}{2\sum_{k=1}^n k^2}} \)
Ist das soweit richtig oder habe ich vorher schon einen Fehler gemacht?
LG
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luis52
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 |      Beitrag No.1, eingetragen 2021-01-24
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Setze $\alpha=\sum k^2=n(n+1)(2n+1)/6$. Nach alten Bauernregeln ist $\operatorname{E}[\hat\nu]=\operatorname{E}[\sum k X_k/\alpha]=\operatorname{E}[\sum k X_k]/\alpha$ und $\operatorname{Var}[\hat\nu]=\operatorname{Var}[\sum k X_k/\alpha]=\operatorname{Var}[\sum k X_k]/\alpha^2$ ...
vg Luis
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hanuta2000
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-24
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Wofür brauche ich denn Erwartungswert und Varianz, wenn ich nur die Verteilung bestimmen will?
Ist das gar nicht der richtige Ansatz, bzw gibt es einen anderen?
LG
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luis52
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| Beitrag No.3, eingetragen 2021-01-24
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$\hat\nu$ ist eine Linearkombination unabhaengiger normalverteilter Zufallsvariablen, also normalverteilt. Nun berechne den Erwartungswert und die Varianz.
Dein Ergebnis zuvor ist falsch.
vg Luis
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hanuta2000
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-24
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Na gut, dann ist:
\( E[\hat{\nu}]=\nu \) und
\(Var(\hat{\nu})=\frac{1}{\alpha} \)
wenn ich mich nicht verrechnet habe.
Was mache ich jetzt damit?
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luis52
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| Beitrag No.5, eingetragen 2021-01-24
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2021-01-24 21:24 - hanuta2000 in Beitrag No. 4 schreibt:
Was mache ich jetzt damit?
Sich freuen, denn du hast die Aufgabe geloest.
Zur Erinnerung, sie lautete: Bestimmen die Verteilung von $\hat\nu$.
vg Luis
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hanuta2000
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-24
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Aber die Verteilung ist doch \(F(x)=P(\hat{\nu} \leq x) \)
Stehe ich gerade total auf dem Schlauch? :D
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luis52
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| Beitrag No.7, eingetragen 2021-01-24
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2021-01-24 21:37 - hanuta2000 in Beitrag No. 6 schreibt:
Aber die Verteilung ist doch \(F(x)=P(\hat{\nu} \leq x) \)
Stehe ich gerade total auf dem Schlauch? :D Ja.
\[F(x)=P(\hat\nu\leq x)=\Phi(\sqrt{a}(x-\nu)\,.\]
vg Luis
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hanuta2000
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-24
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Wie kommst du denn darauf? Sorry ich blicke gerade nicht durch
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luis52
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| Beitrag No.9, eingetragen 2021-01-24
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Ist $X$ normalverteilt mit $\operatorname{E}[X]=\mu$ und $\operatorname{Var}[X]=\sigma^2$, so gilt
\[P(X\le x)=\Phi\left(\dfrac{x-\mu}{\sigma}\right)\,.\]
vg Luis
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hanuta2000
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| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-01-24
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Ah super, das war mir nicht bekannt (oder schon vergessen). Vielen Dank!
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