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Matroids Matheplanet Forum Index » Rätsel und Knobeleien (Knobelecke) » * n Winkel und 3 Fische
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Kein bestimmter Bereich * n Winkel und 3 Fische
viertel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-12-04


Über eine Knobelei in einer Zeitschrift bin ich auf diese Idee gekommen:

Wie viele der abgebildeten Winkel (bestehend aus 3 Quadraten) benötigt man mindestens, um ein lückenloses Quadrat zu legen?
Kann damit überhaupt ein Quadrat gelegt werden?
Und ist es obendrein damit auch machbar, daß in diesem Quadrat mindestens 3× das abgebildete Fisch-Muster aus je 2 Winkeln enthalten ist?



Antworten bitte per PM oder zumindest verdeckt.

Gruß vom ¼

Nachtrag: „mindestens“ ergänzt


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MartinN
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-12-04


Versuch
Mit 12 solchen Winkeln bekomm ich ein Quadrat hin. 2 Winkel lassen sich zu einem 2x3 Rechteck legen. Davon 3x2 legen zu einem 6x6 Quadrat.

Genau 3 oder mindestens 3 dieser Muster sollten enthalten sein, oder was ist 3x?




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viertel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-04


Hi MartinN

Ich habe mir erlaubt, deinen Einstieg du verdecken, damit Andere nicht über deine Ideen stolpern.

In dem Quadrat soll 3× das abgebildete Muster aus 2 dieser L-Steine enthalten sein.

Nachtrag: genau 3× ist übrigens nicht möglich😖



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Goswin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-12-13


Geforderte Lösung:

Man benötigt mindestens 12 Winkel.

Der Bau eines beliebigen Rechtecks erlaubt sogleich auch den Bau eines in Rechteckblöcke aufgeteilten Quadrats. Es sei nun \(n\) die Anzahl der Winkel und \(m\) die Seitenlänge des Quadrats. Wegen \(3n=m^2\) muss \(m=3k\), also \(n=3k^2\) gelten. Für \(k=1,~n=3\) zeigt einfaches Durchprobieren, dass es so nicht geht; für \(k=2,~n=12\) findet sich leicht eine Lösung, indem wir das entsprechende Quadrat in sechs \(2\!\times\!3\)-Blöcke aufteilen.

Für ein Quadrat mit 12 "Fischen" habe ich eine Lösung mit \(k=4,~n=48\), aufgeteilt in sechs \(4\!\times\!6\)-Blöcke. Ob es auch eine 3-Fische-Lösung mit \(k=3,~n=27\) gibt, weiß ich nicht.

Mindestens 3 Fische sind machbar; ich weiß aber nicht, ob ich dafür das kleinstmögliche Quadrat kenne.


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/Kyristo meu kimgei kom nhi cumgen ta Gendmogen.



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Goswin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-12-13


Dank viertels Hinweis habe ich nun auch die kleinstmögliche Lösung mit mindestens 3 Fischen gefunden:


\[\begin{matrix}
 x  &  x  &  A  &  A  &  x  &  x \\
 x  &  A  &  A  &  A  &  B  &  x \\
 C  &  C  &  A  &  B  &  B  &  B \\
 C  &  C  &  C  &  D  &  B  &  B \\
 x  &  C  &  D  &  D  &  D  &  x \\
 x  &  x  &  D  &  D  &  x  &  x \\
\end{matrix}\]



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Hans-Juergen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-12-13



Die Anzahl der kleinen Quadrate, aus denen man sich die Winkel zusammengesetzt denken kann, muss eine durch drei teilbare Quadratzahl sein. Die kleinste ist 36:



und für ein lückenloses Quadrat braucht man mindestens 12 Winkel.

Nachtrag: durch eine PM von Viertel verstehe ich erst jetzt, dass mit der Figur oben links ein "Fisch" gemeint ist und sich die Aufgabe auf ihn bezieht. Dafür habe ich, auch aus Zeitgründen, keine Lösung.





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cramilu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-12-14


Bereits am Samstag voriger Woche hatte ich folgende Lösung gefunden:

Für das 9×9 habe ich auch eine "vielfischige" - mit quasi 7,5:





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viertel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-14


@cramilu
Beim 9×9 sind tatsächlich 8 „echte Fische“ möglich, also ohne 3-er Gruppe mit 2 überlappenden Fischen😎



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Goswin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-12-17


2020-12-14 05:21 - viertel in Beitrag No. 7 schreibt:
Beim 9×9 sind tatsächlich 8 „echte Fische“ möglich, also ohne 3-er Gruppe mit 2 überlappenden Fischen😎

😖 Bitte sei dir da gaaanz sicher, wir haben schon stundenlang vergeblich herumprobiert! 😖



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viertel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-18


2020-12-17 23:45 - Goswin in Beitrag No. 8 schreibt:
2020-12-14 05:21 - viertel in Beitrag No. 7 schreibt:
Beim 9×9 sind tatsächlich 8 „echte Fische“ möglich, also ohne 3-er Gruppe mit 2 überlappenden Fischen😎

😖 Bitte sei dir da gaaanz sicher, wir haben schon stundenlang vergeblich herumprobiert! 😖
Absolut!
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Goswin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2020-12-21 14:05


2020-12-14 01:36 - cramilu in Beitrag No. 6 schreibt:
Für das 9×9 [-Quadrat] habe ich auch eine "vielfischige" [Lösung mit 7 Fischen]:


Cramilu's Lösung beatwortet schon einmal das grundsätzliche Problem, ob man überhaupt ein 9x9-"Aquarium" (mit egal wie vielen Fischen) bilden kann. Und da man einen Fisch immer in zwei "Wellen" (romantischer als "Winkel") aufteilen kann, ist auch sofort klar, dass es 9x9-Aquarien mit beliebigen \(0\le t\le7\) Fischen gibt.



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viertel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-21 14:14


Fehlt also nur noch das Aquarium mit 8 echten Fischen (und nicht 7½ [siamesische Zwillinge] wie im Bild) 😎



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Goswin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2020-12-21 14:28

\(\begingroup\)\(\newcommand\d{\mathop{}\!\mathrm{d}}\)
2020-12-21 14:14 - viertel in Beitrag No. 11 schreibt:
Fehlt also nur noch das [9x9-] Aquarium mit 8 echten Fischen. 😎

Hast du denn einen ausführlichen Beweis, dass es mit 9 echten Fischen nicht geht? Immerhin ist \(9\cdot6\ll81\) !
\(\endgroup\)


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Goswin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2020-12-21 16:46


Das hier
\[
\begin{array}
\\K & K &
\\K & Q & Q
\\  &   & Q  
\end{array}
\qquad\qquad
\begin{array}
\\  &   & Q
\\K & Q & Q
\\K & K &    
\end{array}
\] sind gaaanz offenbar zwei Kaulquappen. Es gibt linksgerichtete und rechtsgerichtete Kaulquappen, aber ich möchte mich vorerst einmal nur auf die linksgerichteten (wie die Kaulquappe links) einschränken.

Und schon erhebt sich die peinliche Frage empor: 😵 Wieviele echte linksgerichtete Kaulquappen passen in ein 9x9-Aquarium? Ob uns auch da viertel weiterhelfen kann?



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viertel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-21 16:50


Ja, den Nachweis habe ich. 8 ist das Maximum bei einem 9×9 Feld.

Bei der nächsten Größe,

dem 12×12 Feld, sind 17 Fische das (tatsächlich erreichbare!) Maximum.

Wer mag, probiert es aus 😎


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.12 begonnen.]



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viertel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-21 16:57

\(\begingroup\)\(\newcommand\d{\mathop{}\!\mathrm{d}}\)
2020-12-21 16:46 - Goswin in Beitrag No. 13 schreibt:
Das hier
\[
\begin{array}
\\K & K &
\\K & Q & Q
\\  &   & Q  
\end{array}
\qquad\qquad
\begin{array}
\\  &   & Q
\\K & Q & Q
\\K & K &    
\end{array}
\] sind gaaanz offenbar zwei Kaulquappen. Es gibt linksgerichtete und rechtsgerichtete Kaulquappen, aber ich möchte mich vorerst einmal nur auf die linksgerichteten (wie die Kaulquappe links) einschränken.

Und schon erhebt sich die peinliche Frage empor: 😵 Wieviele echte linksgerichtete Kaulquappen passen in ein 9x9-Aquarium? Ob uns auch da viertel weiterhelfen kann?
In ein 9×9 Feld passen 9 Kaulquappen von einer Sorte (wegen Symmetrie sind es genauso viele von der anderen Sorte).
Bei einem Mix beider Typen wird es lästig🙁
\(\endgroup\)


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haribo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2020-12-21 18:31


2020-12-04 21:32 - viertel in Beitrag No. 2 schreibt:
Nachtrag: genau 3× ist übrigens nicht möglich😖


im neuner feld schon
haribo



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cramilu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2020-12-22 10:01


Ach so... 🙄 Den [9×9]-Teich muss man an den Ecken
vorab mit vier "F" für "Fisch" kennzeichnen,
damit auch tatsächlich acht davon hineinschwimmen...

Zunächst noch einmal das [6×6] in fischigem Blau:


Und dann - farblich abgestimmt - das [9×9] mit acht:


Als dann... zum [12×12] mit... SIEBZEHN ??? 😲


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haribo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, eingetragen 2020-12-22 16:19


ad hoc passen hier 19 aufs 12er parkett (20 geht auch!)

schon möglich das man da für 17 ne lösung findet



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Goswin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, eingetragen 2020-12-22 18:55


2020-12-22 10:01 - cramilu in Beitrag No. 17 schreibt:
Ach so... den [9×9]-Teich muss man an den Ecken
vorab mit vier "F" für "Fisch" kennzeichnen,
damit auch tatsächlich acht davon hineinschwimmen...

Auch wir mussten in alle 4 Richtungen die Fische rufen, damit sie endlich in Achterformation ankamen 😁 (nicht wirklich: wir haben das erst im Nachhinein bemerkt).

Unsere Lösung scheint trotzdem wesentlich von der Lösung cramilus verschieden zu sein, wobei "wesentlich" mathematisch zu verstehen ist (keine der 8 trivialen Spiegelungen und Drehungen). Aber sie ist cramilus Lösung sehr ähnlich, und wir brauchten lange, um einen Unterschied zu sehen.


\[\begin{array}
\\  ww & ww & 00 & ww & ww & 11 & 11 & ww & ww
\\  ww & 00 & 00 & 00 & ww & 11 & 11 & 11 & ww
\\  ww & ww & 00 & 00 & 22 & 22 & 11 & ww & ww
\\  ww & 33 & ww & ww & 22 & 22 & 22 & 44 & ww
\\  33 & 33 & 33 & ww & 55 & 22 & 44 & 44 & 44
\\  ww & 33 & 33 & 55 & 55 & 55 & 44 & 44 & ww
\\  ww & ww & 66 & 55 & 55 & 77 & 77 & ww & ww
\\  ww & 66 & 66 & 66 & ww & 77 & 77 & 77 & ww
\\  ww & ww & 66 & 66 & ww & ww & 77 & ww & ww
\end{array}\]



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cramilu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.20, eingetragen 2020-12-22 19:21


Goswin, klasse!
So wie ich das sehe, ist der tatsächlich substanzielle Unterschied
an der relativen Lage des "inneren Lückenwinkels" festzumachen.


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viertel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.21, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-22 20:15


2020-12-22 18:55 - Goswin in Beitrag No. 19 schreibt:
[…] und wir brauchten lange, um einen Unterschied zu sehen.
Bei deiner Darstellung einer Lösung würde ich auch sehr lange brauchen😛

Es gibt tatsächlich nur 2 echt verschiedene Lösungen beim 9×9 Feld.

Beim 12×12 Feld schafft ihr es bestimmt, eine der 308 Lösungen zu finden. Und mit Drehungen und Spiegelungen sind es ja noch viel mehr, was die Chance auf einen Treffer erhöht😉



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Goswin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.22, eingetragen 2020-12-22 23:45


2020-12-22 20:15 - viertel in Beitrag No. 21 schreibt:
2020-12-22 18:55 - Goswin in Beitrag No. 19 schreibt:
[…] und wir brauchten lange, um einen Unterschied zu sehen.
Bei deiner Darstellung einer Lösung würde ich auch sehr lange brauchen😛

*Das* ist ein (farbverfälschtes und schattenbeeinträchtigtes) Bild meiner Darstellung:


Man kann sie sogar anfassen und die Figuren verschieben. Nur Uploaden von Legoteilen ist auf meinem Betriebssystem noch nicht implementiert. 😁



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Goswin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.23, eingetragen 2020-12-23 01:05


2020-12-22 10:01 - cramilu in Beitrag No. 17 schreibt:
Und dann - farblich abgestimmt - das [9×9] mit acht:

Wenn du die drei untersten Fische und den dazwischenliegenden Einzelwinkel isolierst, entsteht eine symmetrische "Tannenbaum"-Struktur, welche über die "Baumstammachse" gespiegelt werden kann. So entsteht die (laut viertel einzige) wesentlich alternative Lösung.



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Hans-Juergen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.24, eingetragen 2020-12-23 01:55





Frohe Weihnachten!






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viertel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.25, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-23 02:48


@Hans-Juergen
Da sind zwar viele bunte Fische drin, aber die schwarzen Flächen sollten allesamt 3-er Winkel sein.

Aber immerhin:
Auf dem 12×12 Feld sind 20 Fische tatsächlich das Maximum, ungeachtet der Restfelder.



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cramilu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.26, eingetragen 2020-12-23 09:00


Moin moin 😎
12×12 mit 17...



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.27, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-23 10:57


@cramilu

👍


Das ist schon eine Geduldsprobe 😁



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cramilu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.28, eingetragen 2020-12-23 18:46


viertel, hast Du schon Erkenntnisse zum [15×15]?

Ich habe den äußeren Rand des [15×15] bislang "ums Verrecken"
nicht ergonomischer gestalten können, als dass dort nicht
ringsherum gerechnet mindestens 16(!) "Lückenbüßerwinkel"
anfallen. 225-(16×3)=177. Da ich zudem davon ausgehen muss,
dass dann im "Inneren" wiederum mehr davon anfallen werden
als beim [12×12], sollten das mindestens weitere fünf sein.
177-(5×3)=162. 162/6=27 wären also für mich momentan das
äußerst vorstellbare "Optimum" - wohl eher bloß 26!?
Eine "Formel" für die Anzahl möglicher "Fische" in Abhängigkeit
von k=n/3, f(k), mit bislang (1;0 - 2;4 - 3;8 - 4;17 - ...)
wäre natürlich am Ende auch "nett". Da es sich jedoch schon
für k=5 bzw. n=15 gegenüber zuvor nicht mehr verdoppeln kann,
bräuchte es zumindest erst noch die konkreten Ergebnisse für
[15×15] und [18×18], ehe sich da was herbeiphantasieren ließe...



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haribo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.29, eingetragen 2020-12-23 20:20


Cramilu das sind ja sogar 17.5!



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viertel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.30, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-23 20:30

\(\begingroup\)\(\newcommand\d{\mathop{}\!\mathrm{d}}\)
Ich habe mal rumgespielt, und mit Müh und Not gerade mal $19$ Fische im 15×15 Feld untergebracht, also $(225-19 \cdot 6)/3=37$ Winkel.
Das Lästige: man wird immer wieder gezwungen, Winkel einzusetzen😖

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.28 begonnen.]
\(\endgroup\)


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cramilu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.31, eingetragen 2020-12-23 20:49


Für alle Mitknobler:
Mit meinem bislang vielversprechendsten Ansatz zum [15×15]
komme ich auf drehsymmetrische 20 - mit "Luft nach innen" ;)



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2020-12-23 20:49 - cramilu in Beitrag No. 31 schreibt:
Für alle Mitknobler:
Mit meinem bislang vielversprechendsten Ansatz zum [15×15]
komme ich auf drehsymmetrische 20 - mit "Luft nach innen" ;)
Das kann man immerhin mit insgesamt 23 Fischen lösen 👍



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.33, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-24 00:01


2020-12-23 21:41 - viertel in Beitrag No. 32 schreibt:
2020-12-23 20:49 - cramilu in Beitrag No. 31 schreibt:
Für alle Mitknobler:
Mit meinem bislang vielversprechendsten Ansatz zum [15×15]
komme ich auf drehsymmetrische 20 - mit "Luft nach innen" ;)
Das kann man immerhin mit insgesamt 23 Fischen lösen 👍
Erhöhe deinen Ansatz auf 25 Fische (mehr kann man daraus nicht machen) 😲

Ich habe aber keine Ahnung, ob mit einem anderen Ansatz 26 Fische möglich wären🤔
Das Prüfprogramm steigt bei 15×15 mit Rechenzeiten von Monaten aus😖



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.34, eingetragen 2020-12-24 08:25


Ha! Ins [15×15] passen tatsächlich (mindestens) 27 "Fische" 😎:

Zehn blaue, neun gelbgrüne und acht silbergraue...


Im rechten oberen Viertel konnte ich es durch weiteres
Drehen und Schieben auf "27,5" bringen, aber mehr leider nicht.


Bevor ich mich an das [18×18] mache, hier zunächst noch
meine "Untersuchungen" zu [4×6] und [5×6]:


Für [4×9] habe ich bislang vier Varianten mit jeweils
zwei "Fischen" finden können, und für [5×9] eine mit
drei "Fischen"; [6×9], [7×9] und [8×9] "untersuche"
ich derzeit noch ... 🙄


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.35, eingetragen 2020-12-24 17:29


Unten links hast du schon einen halben, das wirft die Frage auf ob zwo halbe gleich nen ganzen geben? Frohes fescht



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.36, vom Themenstarter, eingetragen 2020-12-24 17:50


Und das Ganze hat mal mit einer harmlos erscheinenden Knobelaufgabe begonnen😲



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.37, eingetragen 2020-12-24 17:58


🤗 Ohne h[!]ochfahrende Parallelen h[!]erbeireden zu wollen,
aber anno 1899 h[!]atte ein h[!]ochmotivierter deutscher
Physiker eine h[!]armlose H[!]ilfskonstante eingeführt
und h[!]ernach mit dem H[!]ilfsmittel der Linearisierung
zwei widersprüchlich erscheinende Strahlungstheoreme
miteinander "in Einklang" gebracht...

Parkettierungsprobleme h[!]aben es - scheint's - in sich!

😉 Fröhliche Weihnachten Euch allen! 😉


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haribo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.38, eingetragen 2020-12-25 05:26


Mir gefallen Deine Teppich farb. Entwürfe sehr gut aber Ansicht könnte jeder Fisch auch einfarbig sein auch wenn er dann eher ein Tintenfisch wird
Im Sinne vom Vierfarbproblem braucht’s dann wohl eine weitere Farbe? Die Fische schwimmen in vier Richtungen jede Farbe in eine? Bei den restwinkeln reichen ja offenbar zwei Farben aus. Und je größer der Teppich desto seltener liegen diese Restewinkel  im Feld damit kannst du bald eine Obergrenze der fischpopulation angeben



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cramilu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.39, eingetragen 2020-12-25 19:11


Auch hier Frohe Weihnachten Euch allen!

Im folgenden habe ich meine "Studien" zu ein paar kleineren,
nicht quadratischen Gesamtparketts (der Plural zum Dativ mit
Präposition muss tatsächlich so lauten!) etwas weiter getrieben
und die Darstellungen "aufgehübscht".

Wie etwa von bierfränkischen und sonstigen "Karpfenbauern"
bekannt, lässt sich bei Forderung nach Parkettierung allein
mit "Winkeln" oder "Haken" allgemein für jede Parkettform
eine höchstens erreichbare "Fischbesatzdichte" als Maß nennen!

Beim [6×6] mit vier "Fischen" wären das entsprechend
\(\rho_F(6×6)\: =\:\frac{4\,\cdot\,6}{6\,\cdot\,6}\: =\: \frac{24}{36}\: =\:\frac{2}{3}\: =\:66,667\,\%\)

[4×6] und [5×6]:


\(\rho_F(4×6)\: =\:\frac{2\,\cdot\,6}{4\,\cdot\,6}\: =\: \frac{12}{24}\: =\:\frac{1}{2}\: =\:50\,\%\)
\(\rho_F(5×6)\: =\:\frac{2\,\cdot\,6}{5\,\cdot\,6}\: =\: \frac{12}{30}\: =\:\frac{2}{5}\: =\:40\,\%\)


[4×9]:


\(\rho_F(4×9)\: =\:\frac{2\,\cdot\,6}{4\,\cdot\,9}\: =\: \frac{12}{36}\: =\:\frac{1}{3}\: =\:33,333\,\%\)


[5×9]:


\(\rho_F(5×9)\: =\:\frac{3\,\cdot\,6}{5\,\cdot\,9}\: =\: \frac{18}{45}\: =\:\frac{2}{5}\: =\:40\,\%\)


[6×7]:


\(\rho_F(6×7)\: =\:\frac{3\,\cdot\,6}{6\,\cdot\,7}\: =\: \frac{18}{42}\: =\:\frac{3}{7}\: =\:42,857\,\%\)


Falls unsere bisherigen Erkenntnisse zu den mutmaßlichen
"Besatz-Optima" für [9×9], [12×12] und [15×15] stimmen:
\(\rho_F(9×9)\: =\:\frac{8\,\cdot\,6}{9\,\cdot\,9}\: =\: \frac{48}{81}\: =\:\frac{16}{27}\: =\:59,259\,\%\)
\(\rho_F(12×12)\: =\:\frac{17\,\cdot\,6}{12\,\cdot\,12}\: =\: \frac{102}{144}\: =\:\frac{17}{24}\: =\:70,833\,\%\)
\(\rho_F(15×15)\: =\:\frac{27\,\cdot\,6}{15\,\cdot\,15}\: =\: \frac{162}{225}\: =\:\frac{18}{25}\: =\:72\,\%\)

Hier fällt bereits auf, dass "Fischbesatzdichten" über 50 %
lediglich für quadratische Gesamtparkette möglich scheinen!

Zudem ist mir aufgefallen, dass bislang bei keiner einzigen
meiner "Bestparkettierungen" auch nur ein einziger "Fisch"
mit seinem "Maul" in einer Parkettecke "herumgründelt"... !?

Das für mich bereits zweifelsfreie "Besatz-Optimum" für [18×18]
habe ich inzwischen auch ergründe[l]t; nach mir genehmer
"Aufhübschung" werde ich es morgen vorstellen! 😎


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