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Kein bestimmter Bereich Würfeln bis zur vierten Primzahlsumme
cramilu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-08-15


Auch an diesem Wochenende habe ich wieder eine kleine Knobelei für Euch...



Doris und Ingo freuen sich über ihre gemeinsamen Neuerwerbungen:
Jeweils ein schicker großer Dodekaëder-Würfel in hellem
und ein Ikosaëder-Würfel in dunklem Kaffeebraun!

Ingo sinniert, man sollte sich jetzt unbedingt noch ein angemessenes, anspruchsvolles neues Würfelspielchen ausdenken. Daraufhin schlägt Doris vor, nacheinander so oft jeweils beide Würfel zusammen zu werfen, bis bei insgesamt vier verschiedenen Würfen jeweils die Augensumme beider Würfel eine Primzahl ergeben habe.
"Wie wahrscheinlich mag es da sein, dass wir das frühestens mit dem zehnten Wurf hinkriegen?", fragt sie. "Jetzt übertreib's nicht!", mahnt Ingo.
Beide grinsen und fangen an zu rechnen...

Und Ihr? Wie hoch ist denn nun die von Doris erfragte Wahrscheinlichkeit?


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cramilu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-15


Die erste richtige Lösung kam vor wenigen Minuten von [gonz] -
herzlichen Glückwunsch!

Für eine korrekte polynomische[!] Formel würde ich noch einen "Sondergummipunkt" vergeben... 😉


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cramilu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-26


[Nachtrag]
Die zweite richtige Lösung kam - nachträglich verbessert - am gleichen Abend des 15. August 2020 von [StrgAltEntf] - ebenfalls Glückwunsch!

Der "Sondergummipunkt" für eine korrekte polynomische[!] Formel bleibt weiterhin ausgelobt... 😉



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-08-26


2020-08-26 22:43 - cramilu in Beitrag No. 2 schreibt:
Der "Sondergummipunkt" für eine korrekte polynomische[!] Formel bleibt weiterhin ausgelobt... 😉

Hi cramilu,

Was soll diese Formel denn leisten?



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cramilu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-26


[StrgAltEntf]
Die gesuchte Formel nennt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Würfelei [genau] mit dem X-ten Wurf ein Ende hat und kommt dabei ohne "X über Y" oder sonstige fakultäten-behaftete Teilterme aus.


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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-08-26


Es sollen also nacheinander so oft beide Würfel geworfen, bis bei insgesamt Y verschiedenen Würfen die Augensumme beider Würfel eine Primzahl ergibt.

Gesucht ist dann die W'keit P(Y, Y), dass das frühestens mit dem X-ten Wurf geschieht.

Richtig?



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cramilu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-26


@StrgAltEntf:
Nicht so kompliziert! Y=4 darf doch als gesetzt angesehen werden. Und "frühestens mit dem X-ten Wurf" ist doch gleich bedeutend mit "1 - Summe aller Einzelwahrscheinlichkeiten für weniger als X Würfe".
Es reicht also eine Formel für P(X;4), die OHNE Fakultäten angibt, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass genau mit dem X-ten Wurf zum vierten Mal eine Primzahlaugensumme zusammengewürfelt wird.


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cramilu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-08-30


Die ausgelobten Extrapunkte für eine polynomische Formel ohne Fakultäten gehen hiermit ohne Wenn und Aber an [StrgAltEntf]!
Seine ist sogar um Längen "geiler" als meine, weshalb ich mich dann bezüglich einer "Musterlösung" mit ihm absprechen mag.
Ihr anderen: Zieht Euch schon mal warm an beim Weiterknobeln 😉


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cramilu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-09-27 15:05


Nach sechs Wochen nun endlich die Auflösung:

Die Wahrscheinlichkeit, frühestens mit dem zehnten Wurf zum vierten Mal
eine Primzahlaugensumme zu erwürfeln, beträgt   70,05865589 Prozent .

Insgesamt sind Augensummen zwischen "2" und "32" möglich.
Mit "2", "3", "5", "7", "11", "13", "17", "19", "23", "29" und "31"
sind darunter elf verschiedene Primzahlaugensummen.
Auf insgesamt 1×"2" + 2×"3" + 4×"5" + 6×"7" + 10×"11" + 12×"13" + ...
... + 12×"17" + 12×"19" + 10×"23" + 4×"29" + 2×"31" = 75×"prim"
verschiedene Arten können selbige erwürfelt werden.
Die Gesamtzahl möglicher unterschiedlicher "Wurfbilder" beträgt 12×20  = 240 .
Demnach lautet die Einzelwahrscheinlichkeit für einen Wurf mit Primzahlaugensumme 75/240 = 5/16 = 0,3125 oder 31,25 Prozent.

Eine Möglichkeit, die Gesamtlösung zu bestimmen, besteht darin, im folgenden mit "negativer Binomialverteilung" anzusetzen...

Unter Berücksichtigung der dort verwendeten Parameterbezeichnungen sei  \(r\,=\,4\)  (vierte Primzahlaugensumme) die Anzahl der Erfolge bis zum Abbruch,  \(p\,=\,0,3125\)  die Einzel-Erfolgs-Wahrscheinlichkeit,  \(k\)  die Anzahl der "Misserfolge", und  \(X\,=\,r+k\,=\,k+4\)  die entsprechende konkrete Wahrscheinlichkeit, genau beim X-ten Wurf die insgesamt vierte Primzahlaugensumme zustandezubringen.

\(P(p;r;k)\:=\:\binom{k+r-1}{k}\:\cdot\:p^r\:\cdot\:(1-p)^k\)

\(p\,=\,0,3125\:\land\:r\,=\,4\:\land\:X=r+k\:\Leftrightarrow\:k=X-r\) :

\(P(X)\:=\:\binom{X-1}{X-4}\:\cdot\:\left(\frac{5}{16}\right)^4\:\cdot\:\left(\frac{11}{16}\right)^{(X-4)}\:=\:\frac{(X-1)!}{3!\,\cdot\,(X-4)!}\:\cdot\:\left(\frac{5}{16}\right)^4\:\cdot\:\left(\frac{11}{16}\right)^{-4}\:\cdot\:\left(\frac{11}{16}\right)^X\:=\: ...\)
\(...\:=\:\frac{(X-1)\,\cdot\,(X-2)\,\cdot\,(X-3)}{6}\:\cdot\:\left(\frac{5}{11}\right)^4\:\cdot\:\left(\frac{11}{16}\right)^X\:=\: ...\)
\(...\:=\:(X^3\,-\,6\cdot X^2\,+\,11\cdot X\,-\,6)\:\cdot\:\frac{625}{87.846}\:\cdot\:\left(\frac{11}{16}\right)^X\)

Man errechne nun  \(P(4)\)  bis  \(P(9)\) , zähle die sechs Teilergebnisse zusammen und ziehe die Summe von 1 ab!

StrgAltEntf  hatte eine nach meinem Empfinden bessere Formel gefunden,
mit der man ohne Aufsummieren und Von-Eins-Abziehen auskommt;
sei herzlich eingeladen, dies hier vorzustellen ;)


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