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Gewöhnliche DGL » DGLen 1. Ordnung » Ungewöhnliche DGL-Notation
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Universität/Hochschule Ungewöhnliche DGL-Notation
Wirkungsquantum
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-05-27


Hallo,
in Systemtheorie und Regelungstechnik müssen wir eine gewöhnliche DGL auf Linearität überprüfen, allerdings wird hier eine mir etwas ungewöhnlich erscheinende Notation verwendet. Gegeben ist bspw. die folgende DGL:
$$\dot{y}(t) = \sin{(t)} y(t) - ku(t)$$ Normalerweise würde man ja um die Linearität nachzuweisen, zwei Lösungen $y_1(t)$ und $y_2(t)$  heranziehen und Homogenität und Additivität nachweisen. Allerdings wird in der Aufgabe explizit verlangt, Linearität bezüglich $y(t)$ und $u(t)$ nachzuweisen. Also wird ja die DGL als Funktion $f(t, y(t), u(t))$ aufgefasst, oder? Statt wie sonst als Funktion $f(t, y(t))$. Ich finde diese Betrachtung etwas ungewöhnlich.

Danke im Voraus und Grüße
h


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$\text{h}=6,626⋅10^{-34} \text{Js}$



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rlk
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-05-27


Hallo Wirkungsquantum,
die Differentialgleichung beschreibt ein System mit dem Eingangssignal $u(t)$ und dem Ausgangssignal $y(t)$.
Mit der Linearität bezüglich $u$ ist die der Abbildung $u\mapsto y$ gemeint.

Man kann aber auch $y$ vorgeben und das $u$ finden, das die Gleichung erfüllt. Auch diese Abbildung kannst Du auf Linearität überprüfen. Beides hängt mit der Linearität von $f$ bezüglich der Argumente $u$ und $y$ zusammen.

Servus,
Roland



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Wirkungsquantum
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-28


Hi,
danke für die Antwort, das hat schon sehr geholfen 🙂
Aber wenn sich die Linearität bezüglich $u(t)$ auf $y(t)$ bezieht, hat das doch nichts mit der Linearität bezüglich der DGL zutun, oder?


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rlk
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-05-28


Hallo Wirkungsquantum,
es freut mich, dass ich Dir helfen konnte. Der Zusammenhang zwischen $u$ und $y$ wird durch die Differentialgleichung definiert, daher hängen die verschiedenen Linearitätsbegriffe sehr eng zusammen.
Vielleicht ist es einfacher, zuerst die homogene Differentialgleichung ($u=0$) zu untersuchen?

Servus,
Roland



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Wirkungsquantum
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-15


Hey,
sorry das ich mich so spät melde. Hatten zu viele Abgaben und Protokolle auf einmal... :/

Okay, also für $u = 0$ hat man ja eine ganz normale homogene DGL. Kann man sich den Eingang also als so etwas wie die Inhomgenität vorstellen?


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rlk
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-06-15


Hallo Wirkungsquantum,
kein Problem.
Ja $u$ ist die Inhomogenität dieser linearen Differentialgleichung.

Servus,
Roland



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Wirkungsquantum
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-15


Danke, damit wird das langsam klarer.
Im Skript stand noch eine allgemeine Darstellung für DGL/Systeme dieser Art:
$$\dot{x}(t) = Ax(t) + Bu(t)$$ $$y(t) = Cx(t) + Du(t)$$ Wobei $A \in \mathbb{R}^{n \times n}, B \in \mathbb{R}^{n \times m}, C \in \mathbb{R}^{p \times n}, D \in \mathbb{R}^{p \times m}$ Matrizen sind und $x(t) \in \mathbb{R}^n, y(t) \in \mathbb{R}^p, u(t) \in \mathbb{R}^m$. $y(t)$ beschreibt eine Menge von Zuständen, die den Ausgang des Systems bilden. Die Darstellung für die DGL verstehe ich, das ist ja ganz normales DGL-System. Mir ist nur nicht klar, wie die Darstellung für $y(t)$ zustande kommt.
Die Schreibweisen sind in der Vorlesung und Skript leider nie so richtig erklärt oder eingeführt. Was C ist kann mir ja vorstellen, da der Summand $Cx(t)$ nur sowas wie die homogene Lösung zu sein scheint. Aber wie die Inhomogenität hier auftaucht verstehe ich nicht 🤔


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rlk
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-06-15


Hallo Wirkungsquantum,
bitte, gerne geschehen. 😄

Wie Du richtig schreibst, ist die erste Gleichung eine gewöhnliche lineare Differentialgleichung der Ordnung $n$ mit der Inhomogenität $Bu$.

Die zweite Gleichung bestimmt das Ausgangssignal $y$ als Linearkombination aus dem Zustandsvektor $x$ und dem Eingangssignal $u$.

Für ein System mit einem Eingang und einem Ausgang gilt $m=p=1$. Versuche, einfache Systeme wie P-, I- und D-Glieder durch ein solches Gleichungssystem zu beschreiben.

Ein anderes Beispiel ist ein Serienschwingkreis, an den die Spannung $u$ angelegt wird. Wie sehen die Gleichungen aus, wenn $y$ die Spannung an $R$, $C$, $L$ oder die Summe aus einer oder mehrerer dieser Spannungen und $u$ ist?

Servus,
Roland



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