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Strukturen und Algebra » Körper und Galois-Theorie » Algebraische und transzendente Zahlen in Teilmengen der komplexen Zahlen?
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Universität/Hochschule Algebraische und transzendente Zahlen in Teilmengen der komplexen Zahlen?
IVmath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-05-23


Hallo,

enthält jede nicht diskrete nicht einelementige Teilmenge von $\mathbb{C}$ sowohl algebraische als auch transzendente Zahlen?

Ist das offensichtlich?

Gibt es einen mathematischen Satz, der das besagt?

Wenn der Satz nicht besonders benannt ist, mit welchen Schlagwörtern muss ich danach suchen?

Vielen vielen Dank.



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-05-24


2020-05-23 23:54 - IVmath im Themenstart schreibt:
Ist das offensichtlich?
Ja

Hallo Herr Nicht-Student und Nicht-Mathematiker,

wenn du allen ernstes solche Fragen stellst und du dich außerdem explizit weigerst, mal ein Lehrbuch zur Einführung in die Algebra zur Hand zu nehmen, darfst du dich nicht wundern, dass niemand auf deine Beiträge eingeht, auf die deiner Meinung nach die Mathematikwelt schon lange gewartet hat.



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-05-24


Hallo,

wenn du ein bisschen rational nachdenkst, findest du sicher ein Gegenbeispiel. Dazu muss man nicht mal Mathematiker oder Student sein.

Oder vielleicht solltest du auch nur algebraisch denken.
Oder wenn dir das nicht gefällt, könntest du alles gegenständliche vergessen und dich nur der Transzendenz hingeben.

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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IVmath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-24


2020-05-24 00:06 - Nuramon in Beitrag No. 2 schreibt:
wenn du ein bisschen rational nachdenkst, findest du sicher ein Gegenbeispiel. Dazu muss man nicht mal Mathematiker oder Student sein.

Oder vielleicht solltest du auch nur algebraisch denken.
Oder wenn dir das nicht gefällt, könntest du alles gegenständliche vergessen und dich nur der Transzendenz hingeben.

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
Durch Lesen dieses Beitrags bin ich verwirrt.



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IVmath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-24


2020-05-24 00:05 - StrgAltEntf in Beitrag No. 1 schreibt:
2020-05-23 23:54 - IVmath im Themenstart schreibt:
Ist das offensichtlich?
Ja
Aha, danke.
Kannst Du mir vielleicht noch sagen, mit welchen Schlagworten ich recherchieren könnte? Eine Einzelantwort ist nicht sehr belastbar.

2020-05-24 00:05 - StrgAltEntf in Beitrag No. 1 schreibt:
2020-05-23 23:54 - IVmath im Themenstart schreibt:
Ist das offensichtlich?
Hallo Herr Nicht-Student und Nicht-Mathematiker,

wenn du allen ernstes solche Fragen stellst und du dich außerdem explizit weigerst, mal ein Lehrbuch zur Einführung in die Algebra zur Hand zu nehmen, darfst du dich nicht wundern, dass niemand auf deine Beiträge eingeht, auf die deiner Meinung nach die Mathematikwelt schon lange gewartet hat.
Welche Lehrbücher zur Einführung in die Algebra, in denen solche speziellen Fakten stehen, kannst Du mir empfehlen?
Ständig neben mir liegend:
Van der Waerden: Algebra I. Artin: Algebra. Bosch: Algebra. Remmert: Funktionentheorie I + II. und verschiedene Algebra- und Mathematik-Lexika
An welchen Stellen darin muss ich suchen?



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ollie3
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-05-24


Hallo,
dann will ich dich mal erlösen.
Nimm als Gegenbeispiel die Menge Q,
sie ist nicht einelementig, nicht
diskret und besteht nur aus algebraischen,
nicht aus transzendenten zahlen ...

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.4 begonnen.]



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IVmath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-24


2020-05-24 00:05 - StrgAltEntf in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo Herr Nicht-Student und Nicht-Mathematiker,

wenn du allen ernstes solche Fragen stellst und du dich außerdem explizit weigerst, mal ein Lehrbuch zur Einführung in die Algebra zur Hand zu nehmen, darfst du dich nicht wundern, dass niemand auf deine Beiträge eingeht, auf die deiner Meinung nach die Mathematikwelt schon lange gewartet hat.
Mein Problem ist, dass meine Fragen sehr spezielle Zusammenhänge betreffen, die ich in der Literatur nicht finden kann, bzw. die in der Literatur nicht so formuliert sind dass ich sie erkenne.



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IVmath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-24


2020-05-24 12:20 - ollie3 in Beitrag No. 5 schreibt:
Nimm als Gegenbeispiel die Menge Q,
sie ist nicht einelementig, nicht
diskret und besteht nur aus algebraischen,
nicht aus transzendenten zahlen ...
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.4 begonnen.]
Aha. Danke.
Ich habe mich wohl nicht richtig ausgedrückt. Eigentlich meine ich offene Mengen mit oder ohne Rand. Es konnte mir noch niemand sagen, mit welchem Namen man solche Mengen bezeichnen kann. Aber jetzt endlich habe ich einen Begriff gefunden: es ist der Abschluss.
Ich stelle meine korrigierte Frage in einer neuen Diskussion.
Vielen Dank allen.



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Theodore_97
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-05-24


2020-05-24 00:05 - StrgAltEntf in Beitrag No. 1 schreibt:
2020-05-23 23:54 - IVmath im Themenstart schreibt:
Ist das offensichtlich?
Ja

Hallo Herr Nicht-Student und Nicht-Mathematiker,

wenn du allen ernstes solche Fragen stellst und du dich außerdem explizit weigerst, mal ein Lehrbuch zur Einführung in die Algebra zur Hand zu nehmen, darfst du dich nicht wundern, dass niemand auf deine Beiträge eingeht, auf die deiner Meinung nach die Mathematikwelt schon lange gewartet hat.

Die Aussage ist falsch, also ist es auch nicht offensichtlich und deine Antwort darauf folglich fehlerhaft.
Ich weiß zwar nicht, wen du mit "Herr Nicht-Student [...]" meinst, aber die Frage von IVmath hat seine Berechtigung und eine explizite Antwort findet sich auch nicht in einem Lehrbuch zur Algebra. Dein letzter Satz ist provokant und unnötig. Wahrscheinlich hat der Thread-Ersteller bei "nicht-diskret" intuitiv daran gedacht, dass die Teilmenge folglich eine (genügend kleine) Scheibe im $\mathbb{C}\simeq \mathbb{R}^2$ enthält, und dann ist die Frage, ob jede genügend kleine Scheibe in der komplexen Zahlenebene zwingend transzendente (und algebraische) Zahlen enthält. Hier ist die Antwort dann nicht mehr so offensichtlich und hat seine volle Berechtigung.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-05-24


Jedes reelle Intervall enthält eine Zahl der Form $a+b\cdot \pi$ mit $a,b\in \mathbb{Z}$ und auch eine rationale Zahl. Kannst du das zeigen? Versuche es mal.

Also ja, jede noch so kleine Kreisscheibe enthält eine algebraische und eine tranzendente Zahl.

Aber versuche das mal bitte zu beweisen.



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Theodore_97
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2020-05-24


2020-05-24 12:40 - IVmath in Beitrag No. 7 schreibt:
2020-05-24 12:20 - ollie3 in Beitrag No. 5 schreibt:
Nimm als Gegenbeispiel die Menge Q,
sie ist nicht einelementig, nicht
diskret und besteht nur aus algebraischen,
nicht aus transzendenten zahlen ...
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.4 begonnen.]
Aha. Danke.
Ich habe mich wohl nicht richtig ausgedrückt. Eigentlich meine ich offene Mengen mit oder ohne Rand. Es konnte mir noch niemand sagen, mit welchem Namen man solche Mengen bezeichnen kann.
Ich stelle meine korrigierte Frage in einer neuen Diskussion.
Vielen Dank allen.

Die Frage ist also, ob jede offene Menge in $\mathbb{C}\simeq \mathbb{R}^2$ (mindestens) eine transzendente und algebraische Zahl enthält. Nun, die Menge $\mathbb{Q}$ ist dicht in $\mathbb{R}$, folglich ist also $\mathbb{Q}^2$ dicht in $\mathbb{R}^2 \simeq \mathbb{C}$. In jeder offenen Menge findest du also eine Zahl der Form $q_1+iq_2$ mit rationalen $q_1, q_2$. Diese Zahl ist also algebraisch. Nun gibt es noch die Klasse $\mathfrak{L}$ der transzendenten Liouville-Zahlen, die auch dicht in $\mathbb{R}$ sind. Folglich ist $\mathfrak{L}\oplus \mathbb{Q}i$ dicht in $\mathbb{R}^2$ und damit in $\mathbb{C}$. Nun sind Zahlen der Form $l+qi$ mit $l\in \mathfrak{L}$ und $q\in \mathbb{Q}$ nicht algebraisch, also transzendent. Dies bestätigt deine Vermutung.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.8 begonnen.]



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2020-05-24


@Theodore_97:
Wenn man hier auf dem Matheplaneten auf IVmaths Fragen mit Tipps antwortet, dann erhält man von IVmath oft die nervige Antwort "Ich bin kein Mathematiker und kein Student."

@IVmath:
Du wirst nicht für jede Kleinigkeit eine Antwort in der Literatur finden. Ich empfehle dir einfach mal ein Buch zu Analysis I (und zu Lineare Algebra I) durchzuarbeiten. Das ist absolute Grundlage für jeden, der sich ernsthaft für Mathematik interessiert.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.8 begonnen.]



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2020-05-24

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\E}{\mathbb{E}} \newcommand{\H}{\mathbb{H}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\zyk}[1]{\Z/#1\Z} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert}\)
Vielleicht noch ein Mächtigkeitsargument: die algebraischen Zahlen liegen dicht in $\C$ (da ja schon $\Q(\i)$ dicht liegt), weshalb jede offene Teilmenge von $\C$ auch algebraische Zahlen enthält.
Hinzu kommt, dass die algebraischen Zahlen abzählbar sind. Jede offene Teilmenge von $\C$ ist hingegen überabzählbar, enthält also mehr Elemente, als es überhaupt algebraische Zahlen gibt. Ergo muss sie auch transzendente Zahlen enthalten.

Viele Grüße
Vercassivelaunos

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.9 begonnen.]
\(\endgroup\)


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IVmath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-24


Die Bemerkungen in Beitrag No. 1 sind ja nicht ganz ohne Anlass.

Ich schreibe häufig bereits in meinen Fragen, nicht in meinen Antworten, dass ich kein Mathematiker und kein Student bin. Dies mache ich, weil uns am besten geholfen ist wenn Ihr nur meine Fragen beantwortet, und um Euch mitzuteilen, dass ich weitergehende/tiefergehende Zusammenhänge wohl nicht verstehen kann.

Ihr braucht nicht versuchen, aus mir einen Mathematiker machen zu wollen. Am schnellsten kommen wir voran, wenn Ihr einfach nur ehrlich meine Fragen beantwortet.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.11 begonnen.]



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IVmath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-24


2020-05-24 12:51 - ochen in Beitrag No. 9 schreibt:
Jedes reelle Intervall enthält eine Zahl der Form $a+b\cdot \pi$ mit $a,b\in \mathbb{Z}$ und auch eine rationale Zahl. Kannst du das zeigen? Versuche es mal.

Also ja, jede noch so kleine Kreisscheibe enthält eine algebraische und eine tranzendente Zahl.

Aber versuche das mal bitte zu beweisen.
Ich selber kann das nicht.
(Das ist aber auch nicht nötig. Ich brauche ja nur die Antwort.)



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2020-05-24


2020-05-24 13:19 - IVmath in Beitrag No. 14 schreibt:
2020-05-24 12:51 - ochen in Beitrag No. 9 schreibt:
Jedes reelle Intervall enthält eine Zahl der Form $a+b\cdot \pi$ mit $a,b\in \mathbb{Z}$ und auch eine rationale Zahl. Kannst du das zeigen? Versuche es mal.

Also ja, jede noch so kleine Kreisscheibe enthält eine algebraische und eine tranzendente Zahl.

Aber versuche das mal bitte zu beweisen.
Ich selber kann das nicht.
(Das ist aber auch nicht nötig. Ich brauche nur die Antwort.)

Das ist eine schlechte Einstellung. Wieso glaubst du, dass du komplizierte Fragestellungen der Mathematik beantworten kannst, während du dich mit leichteren nicht einmal beschäftigen magst? Damit ist es doch schon zum Scheitern verurteilt. Das wird auch ein Grund sein, warum relativ selten auf deine Threads positiv reagiert wird.
Es spielt für deine Fragen gar keine so große Rolle, was du beruflich machst. 🙈



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IVmath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-24


2020-05-24 13:37 - ochen in Beitrag No. 15 schreibt:
2020-05-24 13:19 - IVmath in Beitrag No. 14 schreibt:
2020-05-24 12:51 - ochen in Beitrag No. 9 schreibt:
Kannst du das zeigen? Versuche es mal.
...
Aber versuche das mal bitte zu beweisen.
Ich selber kann das nicht.
(Das ist aber auch nicht nötig. Ich brauche nur die Antwort.)
Das ist eine schlechte Einstellung. Wieso glaubst du, dass du komplizierte Fragestellungen der Mathematik beantworten kannst, während du dich mit leichteren nicht einmal beschäftigen magst?
(Effektivität heißt auch, bereits Bekanntes nutzen. Bekanntes muss man nicht immer nochmal selber beweisen. Ich verwende meine knappe Zeit lieber für das  was für mein Thema wirklich erforderlich ist.)
Vielen Dank für die Antworten.



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2020-05-24


Es ist außerdem unfair zu erwarten, dass andere dir fertige Lösungen zu deinen Problemen liefern:
Wenn für mich die Antwort auf einer deiner Fragen offensichtlich ist, bringt es mir rein gar keinen Lerneffekt, wenn ich dir eine Komplettlösung gebe.
Dir mit Tipps zu helfen vertieft im Gegenteil aber auch mein eigenes Verständnis noch weiter, selbst wenn es um "triviale" Zusammenhänge geht.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.15 begonnen.]



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IVmath
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2020-05-24 14:10 - Nuramon in Beitrag No. 17 schreibt:
Es ist außerdem unfair zu erwarten, dass andere dir fertige Lösungen zu deinen Problemen liefern:
Wenn für mich die Antwort auf einer deiner Fragen offensichtlich ist, bringt es mir rein gar keinen Lerneffekt, wenn ich dir eine Komplettlösung gebe.
Dir mit Tipps zu helfen vertieft im Gegenteil aber auch mein eigenes Verständnis noch weiter, selbst wenn es um "triviale" Zusammenhänge geht.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.15 begonnen.]
Ich weiß. U. a. deswegen schreibe ich ja meistens auch, dass ich kein Student bin. Es hilft mir nicht, wenn ich Eure Antworten auf meine Fragen anschließend selber beweisen soll. Mir fehlen mehrere der dazu benötigten mathematischen Zusammenhänge/Grundlagen. Ich bin eben kein Mathematiker/Student.
Vielen hier genügt es, wenn sie einfach nur helfen können.
(Und Hilfe für mich ist ja nicht für mich, sondern für die Lösung "meines" bisher noch ungelösten mathematischen Problems - im Interesse der Allgemeinheit.)



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IVmath
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2020-05-24 13:37 - ochen in Beitrag No. 15 schreibt:
Das ist eine schlechte Einstellung. Wieso glaubst du, dass du komplizierte Fragestellungen der Mathematik beantworten kannst, während du dich mit leichteren nicht einmal beschäftigen magst? Damit ist es doch schon zum Scheitern verurteilt.
Ich glaube es u. a. aus folgendem Grund:
LinkUnlösbarkeit einer Klasse von Gleichungen der Form R(f(z),e^r(f(z))) = 0 durch elementare Funktionen

Helft mir doch bitte, die Fehler dort zu finden. Für Euch ist es ein Leichtes. Die Zusammenhänge dort sind doch wirklich äußerst einfach.
Wenn es fehlerfrei und korrekt formuliert ist, ist es ein neuer Satz. Und den habe ich dann gefunden, ganz ohne sämtliche Begriffe/Fakten/Zusammenhänge der gesamten Mathematik zu beherrschen.

Es ist doch nicht für mich, sondern für die Allgemeinheit. Wir Naturwissenschaftler wären froh, wenn wir endlich einen mathematischen Satz hätten, der uns sagt wann eine Funktion partielle Umkehrfunktionen in geschlossener Form hat und wann nicht oder wann eine Gleichung Lösungen in geschlossener Form hat und wann nicht.



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Theodore_97
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.20, eingetragen 2020-05-27


$f(X,Y)=Y^2(Y-X^2) \in \mathbb{Q}[X,Y]$ ist reduzibel, aber offensichtlich nicht von der Form, wie du $\tilde{P}$ zerlegt hast.



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IVmath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.21, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-28


2020-05-27 21:12 - Theodore_97 in Beitrag No. 20 schreibt:
$f(X,Y)=Y^2(Y-X^2) \in \mathbb{Q}[X,Y]$ ist reduzibel, aber offensichtlich nicht von der Form, wie du $\tilde{P}$ zerlegt hast.
Danke für die Antwort. Aber ich weiß im Moment gar nicht, worauf sie sich bezieht.

Meinst Du folgende Diskussion:
LinkUnlösbarkeit einer Klasse von Gleichungen der Form R(f(z),e^r(f(z))) = 0 durch elementare Funktionen ?

Meinst Du da das $f$? Oder das $\tilde{P}$? Oder das $P$? Ich kann es im Moment noch nicht nachvollziehen.



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Theodore_97
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.22, eingetragen 2020-05-28


Genau. In deinem Beweis auf der ersten Seite ganz unten sagst du, wenn $\tilde{P}$ reduzibel ist, dann hat es die Form [...]. Das stimmt nicht. Oben ist ein Gegenbeispiel.



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IVmath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.23, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-28


Hm, Dein $f$ ist mein $\tilde{P}$?

Ich habe doch definiert: $a_0,...,a_{n_1}\in\mathbb{C}[y]$ und $b_0,...,b_{n_2}\in\mathbb{C}[y]$.
In Deinem Beispiel $\tilde{P}(x,y)=y^2\cdot(y-x^2)$ haben wir dann $a_0=y^2$, $b_0=y$, $b_1=0$, $b_2=-1$.
Meinst Du das? Ist da etwas nicht korrekt angegeben? Oder meinst Du etwas Anderes?



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Theodore_97
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.24, eingetragen 2020-05-28


In deinem Beweis muss $n_1 \geq 1$. Dies ist hier nicht der Fall. Hier ist $n_1=0$.



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IVmath
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Ah ja, jetzt seh' ich's auch. Vielen vielen Dank. Ich muss schauen, ob das Auswirkungen auf den weiteren Beweis hat.

Und ist sonst alles in Ordnung mit dem Satz und seinem Beweis?



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IVmath
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Zur genaueren Beschreibung der reduziblen $\tilde{P}(x,y)$ habe ich jetzt "$n_1,n_2\in\mathbb{N}_{n\ge 1}$" ersetzt durch "$n_1\in\mathbb{N}_{n\ge 1}$ und $n_2\in\mathbb{N}_0$" und ergänzt "$b_0,...,b_{n_2}$ nicht alle konstant".

Und weiter unten habe ich an zwei Stellen "$b_0q(x)+$" ersetzt durch "$b_0q(x)^{n_2}+$".

Danke, danke.

Stimmt sonst alles? Kann man etwas verbessern?



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IVmath hatte hier bereits selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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