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Universität/Hochschule Kürzen mit Binomen
FloJoHo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-08-09


Hallo zusammen

Hier eine Aufgabe die durch Binome gelöst werden kann. Damit ich dieses aber anwenden kann muss der Nenner zum Zähler umgedreht werden. Doch wie macht man das mathematisch korrekt?

Aufgabe: Kürzen Sie soweit wie möglich:

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Lösung:

fed-Code einblenden

Der Rechenweg zur Aufgabe ist mir klar aber nicht wie man von der Aufgabe selbst zur Lösung kommt.

Bin gespannt :)

Grüsse
FloJoHo




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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-08-10


Hallo,


Damit ich dieses aber anwenden kann muss der Nenner zum Zähler umgedreht werden. Doch wie macht man das mathematisch korrekt?

grundsätzlich kürzt man so natürlich nicht.
Wenn es dir hilft, kannst du das aber so machen, auch wenn das doch eher umständlich ist und ein kleines Missverständnis im Umgang mit Bruchtermen aufzeigt.

Du könntest das etwa so notieren:

$\frac{1-x}{1-x^3}=\left(\frac{1-x^3}{1-x}\right)^{-1}$

An der Rechnung ändert das aber nichts.
Was hier zu tun ist, ist dass du den $1-x^3$ faktorisierst.

Wenn man es wie oben umgeschrieben hat, dann kann man auch eine Polynomdivision machen und so auf das Ergebnis kommen.

$(1-x^3)\div (1-x)$

Aber das würde man auch ohne dieses Umschreiben tun.

Denn faktorisieren heißt ja, dass man erstmal auf Nullstellen suche geht, damit man potentielle Linearfaktoren abspalten kann.




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JoeM
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-08-10


Hallo FloJoHo,

das Ergebnis für den Bruch .....  (1-x^3) / (1-x) .....

kann man ganz einfach nach Regel 4. Klasse Grundschule so ermitteln :


viele Grüße

JoeM



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Diophant
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Mitteilungen: 2165
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-08-10

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo FloJoHo und herzlich Willkommen hier auf dem Matheplanet!

Deine eigentliche Frage war ja die, wie man vom fertigen Resultat wieder zum Ausgangsterm kommt.

Nichts leichter als das. Du hattest mit \(1-x\) gekürzt. Also musst für die Probe bzw. die umgekehrte Richtung genau mit diesem Term auch wieder erweitern.

EDIT:
Nein, sorry. War wohl bei mir noch etwas früh am Morgen. Aber so herum kannst du vielleicht die Sache mit der geometrischen Reihe anschaulich einsehen: beim Multiplizieren der geometrischen Reihe \(\sum_{k=0}^n x^k\) mit dem Faktor \((1-x)\) eliminieren sich fast alle entstehenden Summanden durch ihr jeweils unterschiedliches Vorzeichen.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-08-10


@FloJoHo

Mathematik betreiben heißt zu einem Gutteil die "richtigen" Assoziationen zu haben bzw. eine vorgegebene Aufgabe passend einzuordnen. Diese hier gehört z.B. in ein Kapitel mit der Überschrift "Geometrische Summen". Wenn du die Summenformel
\[1+q+q^2+...+q^{n-1}=\frac{1-q^n}{1-q}\] für eine geometrische Summe schon einmal in deinem Leben gesehen hast, dann brauchst da ja nur mehr $q=x$ und $n=3$ zu setzen und auf beiden Seiten der entstehenden Gleichung einfach den Kehrwert zu nehmen, um sofort auf deine Gleichung hier zu kommen.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]



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FloJoHo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-10


Guten Morgen

Vielen herzlichen Dank für die Klasse antworten. Die Themeneinordnung war dann wohl falsch wofür ich mich entschuldigen möchte.

Eure Antworten sind mir nicht gänzlich unbekannt, jedoch kannten wir bis zum gestrigen Kurs die PD noch nicht. Die Aufgabe sollte, so auch die Antwort meines Dozenten, durch Herleitung über die von weird geschilderte Formel erfolgen. Die Formel kann ich doch aber nur anwenden wenn der Bruch in der Aufgabe verkehrtherum da steht - und darauf bekam ich noch keine befriedigende Antwort. PrinzessinEinhorn hat es zumindest mal geschafft den Term in die für mich konforme Form für die Herleitung zu bringen aber nun steht da ne Klammer mit hoch minus 1. Kann ich deren Inhalt also durch  1 - x - x^2 ersetzen und dann durch auflösen der Klammer den Inhalt als Nenner des Bruchs einordnen?

Ich bin etwas verwirrt warum in einigen eurer Lösungen der Nenner plötzlich durch den Zähler geteilt wird obwohl dies doch anders in der Aufgabe steht..

Es bleibt also, zumindest für mich, weiterhin spannend :)

Beste Grüsse
FloJoHo



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-08-10


Wie ich oben schon sagte, geht es darum, die richtige Assoziation mit der Aufgabe zu verbinden. Wichtig ist, bei einem Ausdruck der Form
\[\frac{1-x}{1-x^3}\] sofort an die Summenformel für eine endliche geometrische Reihe zu denken, da gebe ich deinem Dozenten zu 100% Recht. Dass man dafür noch jeweils die Kehrwerte auf beiden Seiten nehmen muss, sollte jetzt wahrlich keine "intellektuelle Hürde" darstellen. Die Lösung der Aufgabe mit Polynomdivision, wie etwa in #2 vorgeschlagen, geht natürlich auch, aber sie ist für mein Gefühl nicht "punktgenau".  cool



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Diophant
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Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-08-10


Hallo nochmals,

2019-08-10 08:40 - FloJoHo in Beitrag No. 5 schreibt:
Vielen herzlichen Dank für die Klasse antworten. Die Themeneinordnung war dann wohl falsch wofür ich mich entschuldigen möchte.

Mach dir da keinen Kopf, das ist doch kein Problem.


Gruß, Diophant



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lula
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-08-10


Hallo
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-----------------
Mein Leben ist zwar recht teuer,  aber dafür bekomm ich jedes Jahr umsonst eine Reise einmal um die Sonne



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Tetris
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-08-10


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[Die Antwort wurde nach Beitrag No.7 begonnen.]



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FloJoHo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-10


Vielen Dank für eure zahlreichen Unterstützungen - ganz nett von euch!

Ich denke die Sache mit der negativen Potenz ist der Schlüssel zur Lösung:

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Tip Top - vielen Dank an euch und die Tipps!

Grüsse
FloJoHo

P.S: Es wird nicht die letzte Frage gewesen sein  wink



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Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2019-08-10


2019-08-10 13:23 - FloJoHo in Beitrag No. 10 schreibt:
Ich denke die Sache mit der negativen Potenz ist der Schlüssel zur Lösung:

fed-Code einblenden

Ich würde da nicht so viele Spielchen machen.

Du weißt bereits, dass der Zähler ein Faktor des Nenners ist ($\dfrac{1-x}{1-x^3} = \dfrac{x-1}{x^3-1}$), da eine gemeinsame Nullstelle; also muss die Polynomdivision $(x^3-1):(x-1)$ ohne Rest ausfallen:

<math>
\polyset{style=C, div=:,vars=x}
\polyadd{\Zaehler}{x^3-1}{0}%
\polyadd{\Nenner}{x-1}{0}%
\polylongdiv\Zaehler\Nenner
</math>

Es gäbe noch verallgemeinerte binom. Formeln wie
$a^3 - b^3=(a-b) \cdot \left(a^2 + ab + b^2\right)$
$a^4 - b^4=(a-b) \cdot \left(a^3 + a^2 b + a b^2 + b^3\right)$
aber da die niemand auswendig weiß, bleibt nur die Polynomdivision.



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Tetris
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2019-08-10


2019-08-10 13:23 - FloJoHo in Beitrag No. 10 schreibt:
Ich denke die Sache mit der negativen Potenz ist der Schlüssel zur Lösung: (...)

fed-Code einblenden



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FloJoHo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-10

\(\begingroup\)\( \usepackage{tikz-3dplot}\)
2019-08-10 13:41 - HyperPlot in Beitrag No. 11 schreibt:
2019-08-10 13:23 - FloJoHo in Beitrag No. 10 schreibt:
Ich denke die Sache mit der negativen Potenz ist der Schlüssel zur Lösung:

fed-Code einblenden

Ich würde da nicht so viele Spielchen machen.

Du weißt bereits, dass der Zähler ein Faktor des Nenners ist ($\dfrac{1-x}{1-x^3} = \dfrac{x-1}{x^3-1}$), da eine gemeinsame Nullstelle; also muss die Polynomdivision $(x^3-1):(x-1)$ ohne Rest ausfallen:

<math>
\polyset{style=C, div=:,vars=x}
\polyadd{\Zaehler}{x^3-1}{0}%
\polyadd{\Nenner}{x-1}{0}%
\polylongdiv\Zaehler\Nenner
</math>

Es gäbe noch verallgemeinerte binom. Formeln wie
$a^3 - b^3=(a-b) \cdot \left(a^2 + ab + b^2\right)$
$a^4 - b^4=(a-b) \cdot \left(a^3 + a^2 b + a b^2 + b^3\right)$
aber da die niemand auswendig weiß, bleibt nur die Polynomdivision.

Stimmt alles voll und ganz nur hatten wir wie gesagt bis dahin keine Polynomdivision sondern nur das Lösen von Brüchen und die Binome behandelt. Aufgabe war mit den bekannten Rechengesetzen soweit wie möglich zu kürzen.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.11 begonnen.]
\(\endgroup\)


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Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2019-08-10

\(\begingroup\)\( \usepackage{tikz-3dplot}\)
2019-08-10 14:31 - FloJoHo in Beitrag No. 13 schreibt:
Stimmt alles voll und ganz nur hatten wir wie gesagt bis dahin keine Polynomdivision sondern nur das Lösen von Brüchen und die Binome behandelt. Aufgabe war mit den bekannten Rechengesetzen soweit wie möglich zu kürzen.

Ach so. In dem Fall würde ich, mit gleicher Begründung, argumentieren, dass die Divisionsaufgabe zu einem quadratischen Polynom vom Typ $x^2+px+q$ führen muss, $\dfrac{x^3-1}{x-1}=x^2+px+q$.

$\Leftrightarrow~ x^3-1 = (x-1)(x^2+px+q) = x^3+(p-1)x^2+(q-p)x-q$
$\Rightarrow~ p=1,~ q=1$ durch Koeffizientenvergleich.

Evtl. hast Du dann doch dieses Kehrwertspiel betrieben. Ich würde eher mit der Faktorisierung argumentieren.
\(\endgroup\)


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xiao_shi_tou_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2019-08-10

\(\begingroup\)\( \DeclareMathOperator{\Et}{\acute{E}t} \DeclareMathOperator{\et}{\acute{e}t} \DeclareMathOperator{\etale}{\acute{e}tale} \DeclareMathOperator{\Gl}{GL} \DeclareMathOperator{\PGL}{PGL} \DeclareMathOperator{\PSL}{PSL} \DeclareMathOperator{\SL}{SL} \DeclareMathOperator{\Res}{Res} \DeclareMathOperator{\equi}{equi} \DeclareMathOperator{\Hecke}{Hecke} \DeclareMathOperator{\Aut}{Aut} \DeclareMathOperator{\Jac}{Jac} \DeclareMathOperator{\GL}{GL} \DeclareMathOperator{\HF}{HF} \DeclareMathOperator{\HS}{HS} \DeclareMathOperator{\Ker}{Ker} \DeclareMathOperator{\trdeg}{trdeg} \DeclareMathOperator{\mod}{mod} \DeclareMathOperator{\codim}{codim} \DeclareMathOperator{\log}{log} \DeclareMathOperator{\Log}{Log} \DeclareMathOperator{\Nm}{Nm} \DeclareMathOperator{\Con}{Con} \DeclareMathOperator{\coker}{coker} \DeclareMathOperator{\Ob}{Ob} \DeclareMathOperator{\Emb}{Emb} \DeclareMathOperator{\Tr}{Tr} \DeclareMathOperator{\Sym}{Sym} \DeclareMathOperator{\scale}{scale} 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2019-08-10 13:23 - FloJoHo in Beitrag No. 10 schreibt:
Vielen Dank für eure zahlreichen Unterstützungen - ganz nett von euch!

Ich denke die Sache mit der negativen Potenz ist der Schlüssel zur Lösung:
Hi. (eigentlich hat es Tetris schon auf den Punkt gebracht, aber ich geb auch mal meins dazu =))
Du brauchst keinen Kehrwert und auch keine Polynomdivision oder Geometrische Reihe.
Die Aufgabe ist ganz einfach.
Du musst nur $1-x^3=(1-x)(1+x+x^2)$ wissen.
Um das zu beweisen musst du nur die rechte Seite ausmultiplizieren und nachprüfen, dass die linke Seite dabei herauskommt, wie Tetris bereits gezeigt hat.
Es gilt also $\frac{1-x}{1-x^3}=\frac{1-x}{(1-x)(1+x+x^2)}=\frac{(1-x)\cdot 1}{(1-x)(1+x+x^2)}=\frac{1}{1+x+x^2}$.
Ob der Grad im Nenner oder im Zähler gleich groß oder ob einer größer und der andere kleiner ist spielt überhaupt keine Rolle.

Um die Faktorisierung von etwas wie $1-x^3$ zu finden kannst du oft wie Hyperplot gezeigt hat vorgehen. Das ist vor allem bei so einfachen Sachen oft einfacher als Polynomdivision, obwohl die auch möglich ist.

Ansonsten gilt allgemeiner $a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+b^{n-1})$, eine Formel die man sich unbedingt merken sollte und dessen Beweis sofort durch ausmultiplizieren bewiesen werden kann.

Eine enorm wichtige Tatsache die man sich auch unbedingt merken sollte ist, dass $a-b$ ein Teiler von $a^n-b^n$ ist, aber darum gings ja nicht.
 







-----------------
”己所不欲,勿施于人“(Konfuzius)
PS: Falls ich plötzlich aufhöre in einem Thread zu antworten, dann kann es sein, dass ich es vergessen habe. Ihr könnt mir in diesem Fall eine Private Nachricht schicken.
\(\endgroup\)


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2019-08-10 21:53 - xiao_shi_tou_ in Beitrag No. 15 schreibt:
Du brauchst keinen Kehrwert und auch keine Polynomdivision oder Geometrische Reihe. ...
Du musst nur $1-x^3=(1-x)(1+x+x^2)$ wissen.

Das ist richtig; es setzt aber schon viel Erfahrung und Routine voraus, solche Lösungen direkt ablesen oder sehen zu können.

Daher mein Vorschlag #14 mit dem allgemeinen Ansatz, der ein sehr einfaches Gleichungssystem liefert, dessen Lösungen (durch Koeffizientenvergleich) direkt ablesbar sind.
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weird
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2019-08-10 21:53 - xiao_shi_tou_ in Beitrag No. 15 schreibt:
Du brauchst keinen Kehrwert und auch keine Polynomdivision oder Geometrische Reihe. ...
Du musst nur $1-x^3=(1-x)(1+x+x^2)$ wissen.

Genau darum geht es hier aber: Woher kommt dieses "Wissen"?  cool

Durch Auswendiglernen dieser Formel? Ist natürlich eine Möglichkeit, da sie ja oft genug in der Mathematik vorkommt. Mir erscheint der von mir oben aufgezeigte Weg über die Summenformel einer endlichen geometrischen Reihe am befriedigendsten, da man dabei einfach nur bekanntes Wissen richtig anwenden muss, also genau das, was man in der Mathematik immer und immer wieder macht. Und offenbar war die Aufgabe von dem Aufgabensteller auch so gedacht (s. #5).
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Kezer
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2019-08-10 09:38 - weird in Beitrag No. 6 schreibt:
Die Lösung der Aufgabe mit Polynomdivision, wie etwa in #2 vorgeschlagen, geht natürlich auch, aber sie ist für mein Gefühl nicht "punktgenau".  cool

Nur eine Frage, was genau meinst du mit "punktgenau"?  razz

Tatsächlich bevorzuge ich etwas wie Polynomdivision hier, auch wenn geometrische Reihe genauso funktioniert. Ich persönlich sehe mit "Polynomdivision" im allgemeinen Fall $$a^n - b^n = (a-b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + \dots + ab^{n-2}
+ b^{n-1})$$ leichter, dass $a-b$ ein Faktor sein muss (weil $a^n - a^n = 0$).

Es gibt ja noch die analoge Faktorisierung zu $a^n + b^n = (a+b)(\dots)$, deshalb muss ich diesbezüglich immer kurz nachdenken.

Natürlich funktioniert die endliche geometrische Reihe auch hier jeweils, aber ich persönlich sehe es einfach schneller, wenn ich es als Polynom auffasse.


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Das funktioniert natürlich, aber konzeptionell ist das doch das Selbe wie Polynomdivision?

Man rät zunächst einen Faktor und dann kann man halt entsprechend umformen. (In einem einfachen Fall wie hier "sieht" man gleich, dass $1-x$ sich gut verhält, aber das würde ich immer noch als "raten" auffassen.)

(Im Übrigen denke ich, dass der OP die 3. binomische Formel kennt, also hätte man Gleichheit 3 und 4 schon weglassen können, aber so geht es natürlich auch  razz )


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2019-08-11 07:24 - weird in Beitrag No. 17 schreibt:
2019-08-10 21:53 - xiao_shi_tou_ in Beitrag No. 15 schreibt:
Du brauchst keinen Kehrwert und auch keine Polynomdivision oder Geometrische Reihe. ...
Du musst nur $1-x^3=(1-x)(1+x+x^2)$ wissen.

Genau darum geht es hier aber: Woher kommt dieses "Wissen"?  cool
Durch Auswendiglernen dieser Formel?

Die Geometrische Reihe (bzw dessen Partialsumme) muss man doch genauso auswendig lernen. Die Formel ist doch ein Spezialfall davon. Wenn man die Geometrische Reihe auswendig lernt, dann lernt man die Formel doch gleich mit?
Und gar nichts auswendig zu wissen bringt einen nicht weit.


Ist natürlich eine Möglichkeit, da sie ja oft genug in der Mathematik vorkommt. Mir erscheint der von mir oben aufgezeigte Weg über die Summenformel einer endlichen geometrischen Reihe am befriedigendsten, da man dabei einfach nur bekanntes Wissen richtig anwenden muss, also genau das, was man in der Mathematik immer und immer wieder macht. Und offenbar war die Aufgabe von dem Aufgabensteller auch so gedacht (s. #5).
Ich ging davon aus der TS kennt diese Formel und versteht nicht warum er kürzen darf. Seiner Formulierung der Aufgabe ist zu entnehmen*, dass er daran glaubt man dürfe nur kürzen, wenn der Grad des im Zähler stehenden Polynoms größer gleich dem Grad des im Nenner stehenden Polynoms sei.

Beitrag 5:*

Die Formel kann ich doch aber nur anwenden wenn der Bruch in der Aufgabe verkehrtherum da steht - und darauf bekam ich noch keine befriedigende Antwort



[Die Antwort wurde nach Beitrag No.19 begonnen.]
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2019-08-11 11:52 - Kezer in Beitrag No. 20 schreibt:
Das funktioniert natürlich, aber konzeptionell ist das doch das Selbe wie Polynomdivision?

Man rät zunächst einen Faktor und dann kann man halt entsprechend umformen. (In einem einfachen Fall wie hier "sieht" man gleich, dass $1-x$ sich gut verhält, aber das würde ich immer noch als "raten" auffassen.)

(Im Übrigen denke ich, dass der OP die 3. binomische Formel kennt, also hätte man Gleichheit 3 und 4 schon weglassen können, aber so geht es natürlich auch  razz )

Ich denke Tetris liefert hier nur den Beweis für die Gültigkeit dieser Formel, und das reicht ja auch. Warum man das mittels Polynomdivision beweisen sollte, wenn einfaches aus multiplizieren ausreicht sehe ich nicht.  

Diese Formel sollte man kennen, genauso wie die Geometrische Reihe (Was doch das gleiche ist).
Wenn man diese Aufgabe bekommt und nicht weiß was die Geometrische Reihe ist bzw. diesen Spezialfall davon nicht kennt ist es natürlich nicht so einfach sie zu lösen. In diesem Fall würde ich eine PD oder den Ansatz von Hyperplot versuchen.
Ich glaube kaum, dass jemand die Geometrische Reihe kennt und nicht sieht, dass hier ein Spezialfall davon vorliegt.

Ich finde die Lösung wie von Tetris in Beitrag no 9 erstmals beschrieben und von mir später nochmal vorgerechnet am einfachsten. Diese setzt natürlich die Kenntnis dieser Formel voraus.
Wenn diese Kenntnis nicht gegeben ist, dann muss man halt heuristisch argumentieren oder PD machen oder dergleichen.
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2019-08-11 08:59 - Kezer in Beitrag No. 18 schreibt:
2019-08-10 09:38 - weird in Beitrag No. 6 schreibt:
Die Lösung der Aufgabe mit Polynomdivision, wie etwa in #2 vorgeschlagen, geht natürlich auch, aber sie ist für mein Gefühl nicht "punktgenau".  cool

Nur eine Frage, was genau meinst du mit "punktgenau"?  razz

Tatsächlich bevorzuge ich etwas wie Polynomdivision hier, auch wenn geometrische Reihe genauso funktioniert. Ich persönlich sehe mit "Polynomdivision" im allgemeinen Fall $$a^n - b^n = (a-b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + \dots + ab^{n-2}
+ b^{n-1})$$ leichter, dass $a-b$ ein Faktor sein muss (weil $a^n - a^n = 0$).

Es gibt ja noch die analoge Faktorisierung zu $a^n + b^n = (a+b)(\dots)$, deshalb muss ich diesbezüglich immer kurz nachdenken.

Natürlich funktioniert die endliche geometrische Reihe auch hier jeweils, aber ich persönlich sehe es einfach schneller, wenn ich es als Polynom auffasse.

Stimmt. Eigentlich braucht man diese Formel gar nicht, wenn man einfach nachrechnet, dass $x=1$ eine Wurzel des Polynoms ist. Aber PD braucht man dann auch nicht.
\(\endgroup\)


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FloJoHo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.24, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-11


Eigentlich doch schön wir diese „einfache Aufgabe“ zu einer solch regen Diskussion führt :)

Das beschrieben Beispiel hatte ich ja jetzt durch eure Hilfe verstanden und gelöst. Nun ist es aber so dass ich weitere Aufgaben dieser Art habe bei denen ich nicht weiter komme und am Besten einen nach den, zum Zeitpunkt der Hausaufgabe, zur Verfügung stehenden Mitteln/Regeln (Binome und Kürzen) Lösungsweg haben sollte um die Aufgaben nachvollziehen zu können.
Was meint ihr wäre das Beste um mit eurer Hilfe zurecht zu kommen (Fotos der Aufgaben/Lösungen und meinen bisherigen Lösungsweg hochladen oder alles im Formeleditor übertragen und hier stellen? Sind leider um die 20-30 Aufgaben).

Schöne Grüße und mehr als dankbar
FloJoHo



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Caban
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.25, eingetragen 2019-08-11


Hallo

Ich denke der Formeleditor wäre besser.

Gruß Caban



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Tetris
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.26, eingetragen 2019-08-11


@XST: Die einzige Formel, die ich bei meiner Rechnung auf einem Stück Papier benutzt habe, ist die dritte binomische Formel. Diese Rechnung habe ich in Beitrag 9 skizziert.

In Beitrag 19 habe ich die Rechnung noch einmal ohne Verwendung der binomischen Formel notiert.

Außerdem habe ich nichts "geraten". Wenn man, wie es laut Aufgabenstellung gefordert wird, den Bruchterm kürzen kann, dann doch wohl mit dem Zählerterm.

Weiter habe ich außer im letzten Schritt auch nichts ausmultipliziert, sondern hauptsächlich ausgeklammert.

Damit verlässt die Rechnung an keiner Stelle den Rahmen der Mittelstufenmathematik und das war meine Absicht.

Lg, T.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.23 begonnen.]



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.27, eingetragen 2019-08-11

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo nochmals,

2019-08-11 12:37 - FloJoHo in Beitrag No. 24 schreibt:
...oder alles im Formeleditor übertragen und hier stellen? Sind leider um die 20-30 Aufgaben).

Wie schon gesagt wurde: am besten per Formel-Editor (oder \(\LaTeX\), wie es einige hier verwenden). Vor allem aber: starte am besten für jede Aufgabe einen eigenen Thread.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.28, eingetragen 2019-08-11


2019-08-11 08:59 - Kezer in Beitrag No. 18 schreibt:
2019-08-10 09:38 - weird in Beitrag No. 6 schreibt:
Die Lösung der Aufgabe mit Polynomdivision, wie etwa in #2 vorgeschlagen, geht natürlich auch, aber sie ist für mein Gefühl nicht "punktgenau".  cool

Nur eine Frage, was genau meinst du mit "punktgenau"?  razz

Mit "punktgenau" meine ich, dass die Formel für eine endliche geometrische Reihe mit dem Spezialfall
\[1+x+x^2=\frac{x^3-1}{x-1} \left(=\frac{1-x^3}{1-x}\right)\] hier kein so extrem allgemeines "Tool" ist, mit dem z.B. eine Polynomdivision (sogar mit Rest, wenn gewünscht) oder ganz allgemein eine Faktorisierung von Polynomen durchführen kann, sondern doch schon sehr auf die Aufgabe hier zugeschnitten ist. Es entspricht dies meiner allgemeinen Philosophie, dass man beim Einsatz von Hilfsmitteln zur Lösung einer Aufgabe so "sparsam" wie nur irgendwie möglich vorgeht.

2019-08-11 11:57 - xiao_shi_tou_ in Beitrag No. 21 schreibt:
2019-08-11 07:24 - weird in Beitrag No. 17 schreibt:
2019-08-10 21:53 - xiao_shi_tou_ in Beitrag No. 15 schreibt:
Du brauchst keinen Kehrwert und auch keine Polynomdivision oder Geometrische Reihe. ...
Du musst nur $1-x^3=(1-x)(1+x+x^2)$ wissen.

Genau darum geht es hier aber: Woher kommt dieses "Wissen"?  cool
Durch Auswendiglernen dieser Formel?

Die Geometrische Reihe (bzw dessen Partialsumme) muss man doch genauso auswendig lernen. Die Formel ist doch ein Spezialfall davon. Wenn man die Geometrische Reihe auswendig lernt, dann lernt man die Formel doch gleich mit?
Und gar nichts auswendig zu wissen bringt einen nicht weit.

Ich ging hier davon aus, dass die Summenformel für eine endliche geometrische Reihe bereits bekannt war, also dafür nichts mehr zusätzlich "auswendig gelernt" werden musste. Und ja, ich bin jetzt kein so ein Gegner des sturen "Auswendiglernens" auch in der Mathematik, wenngleich sehr begrenzt und nur dort wo es wirklich Sinn macht (im gegebenen Fall könnte ich mir das durchaus vorstellen!), aber das würde uns zu weit von dem Thema hier wegführen.



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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.29, eingetragen 2019-08-11

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2019-08-11 12:04 - xiao_shi_tou_ in Beitrag No. 22 schreibt:
2019-08-11 11:52 - Kezer in Beitrag No. 20 schreibt:
Das funktioniert natürlich, aber konzeptionell ist das doch das Selbe wie Polynomdivision?

Man rät zunächst einen Faktor und dann kann man halt entsprechend umformen. (In einem einfachen Fall wie hier "sieht" man gleich, dass $1-x$ sich gut verhält, aber das würde ich immer noch als "raten" auffassen.)

(Im Übrigen denke ich, dass der OP die 3. binomische Formel kennt, also hätte man Gleichheit 3 und 4 schon weglassen können, aber so geht es natürlich auch  razz )

Ich denke Tetris liefert hier nur den Beweis für die Gültigkeit dieser Formel, und das reicht ja auch. Warum man das mittels Polynomdivision beweisen sollte, wenn einfaches aus multiplizieren ausreicht sehe ich nicht.  


Ich meinte damit eigentlich, dass die Faktorisierungen, die Tetris durchführt, prinzipiell nichts anderes als die Polynomdivision ist. (Zumindest denke ich, dass man genau auf dieser Art auch Polynomdivision beweisen könnte, vielleicht vertue ich mich hier aber...)

2019-08-11 12:09 - xiao_shi_tou_ in Beitrag No. 23 schreibt:
Stimmt. Eigentlich braucht man diese Formel gar nicht, wenn man einfach nachrechnet, dass $x=1$ eine Wurzel des Polynoms ist. Aber PD braucht man dann auch nicht.

Naja, man muss ja noch irgendwie den anderen Faktor erhalten. Klar sieht man es in diesem Fall, aber i.A. kann man hier eben z.B. Polynomdivision benutzen. Oder meintest Du etwas anderes?

2019-08-11 12:47 - Tetris in Beitrag No. 26 schreibt:
Außerdem habe ich nichts "geraten". Wenn man, wie es laut Aufgabenstellung gefordert wird, den Bruchterm kürzen kann, dann doch wohl mit dem Zählerterm.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.23 begonnen.]

Ja, klar hat es sich hier angeboten - aber für mich ist das immer noch eine Art des geschickten "Ratens". Genauso würde ich auch sagen, dass man bei der Polynomdivision $1-x$ rät, da es sich eben hier anbietet.
Vielleicht ist aber "raten" nicht das richtige Wort. Ich sehe allerdings gerade kein besseres Wort hierfür.

2019-08-11 13:39 - weird in Beitrag No. 28 schreibt:
2019-08-11 08:59 - Kezer in Beitrag No. 18 schreibt:
2019-08-10 09:38 - weird in Beitrag No. 6 schreibt:
Die Lösung der Aufgabe mit Polynomdivision, wie etwa in #2 vorgeschlagen, geht natürlich auch, aber sie ist für mein Gefühl nicht "punktgenau".  cool

Nur eine Frage, was genau meinst du mit "punktgenau"?  razz

Mit "punktgenau" meine ich, dass die Formel für eine endliche geometrische Reihe mit dem Spezialfall
\[1+x+x^2=\frac{x^3-1}{x-1} \left(=\frac{1-x^3}{1-x}\right)\] hier kein so extrem allgemeines "Tool" ist, mit dem z.B. eine Polynomdivision (sogar mit Rest, wenn gewünscht) oder ganz allgemein eine Faktorisierung von Polynomen durchführen kann, sondern doch schon sehr auf die Aufgabe hier zugeschnitten ist. Es entspricht dies meiner allgemeinen Philosophie, dass man beim Einsatz von Hilfsmitteln zur Lösung einer Aufgabe so "sparsam" wie nur irgendwie möglich vorgeht.

Interessante Sichtweise.
Ich persönlich finde, dass man alle möglichen Werkzeuge kennen sollte - und insbesondere verstehen sollte, was "wirklich" passiert. (So sind manche Beweise mit low-level Tools sehr technisch, aber mit high-level Tools sehr intuitiv.) Hier z.B. mag ich die Polynomdivision, da es das ist, was für mich hier "wirklich" passiert. Die endliche geometrische Reihe erhält man ja z.B. auch durch Polynomdivision. (Natürlich kann man die Formel raten und danach beweisen, aber das ist auch hier beim Spezialfall möglich.)
Aber das ist bloß meine Denkweise, Deine schätze ich auch.  smile


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The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei
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