Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads

Chen, Evan

BuchcoverViel weiter muss man nicht suchen, wenn man Geometrieaufgaben der internationalen Mathematik-Olympiade (IMO) lösen möchte. Das Buch Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads wurde von IMO-Goldmedaillenträger Evan Chen geschrieben und setzt sich wie folgt zusammen: I Fundamentals - 1 Angle Chasing - 2 Circles - 3 Lengths and Ratios - 4 Assorted Configurations II Analytic Techniques - 5 Computational Geometry - 6 Complex Numbers - 7 Barycentric Coordinates III Farther from Kansas - 8 Inversion - 9 Projective Geometry - 10 Complete Quadrilaterals - 11 Personal Favorites IV Appendices - A An Ounce of Linear Algebra - B Hints - C Selected Solutions Selbst wenn man nur Teil I liest, hat man schon eine Menge mitgenommen. Vermutlich sollte man dann nie wieder Probleme mit deutschen Geometrieaufgaben haben. Kapiteln wie 1 Angle Chasing oder 2 Circles klingen zunächst banal, besprechen aber wertvolle Techniken wie das Inkreis-Ankreis Lemma, gerichtete Winkel oder auch Potenzgeraden. In Kapitel 3 werden die Sätze rund um Ceva und Menelaus behandelt und das Feuerbachkreis veranschaulicht. Schließlich beeindruckt Kapitel 4 mit einer Ansammlung an geometrischen Konfigurationen, die man vor allem in der Wettbewerbsmathematik häufig antrifft. So geht es beispielsweise um Simson-Geraden, Isogonale, Symmedianen und Mixtilineare Inkreise. Part II sollte zuerst "Dark Arts" heißen bevor Evan es umbenannt hatte. So fühlt es sich auch an. Es wird gelehrt, wie man mit Methoden aus der analytischen Geometrie Problemstellungen aus der euklidischen Geometrie in die Algebra übersetzen kann. Wenn das geschickt gelingt, dann kann man den Beweis durch sturres (aber langes) Durchrechnen führen. Scheinbar ersetzt das dann die gesamte Kreativität, aber man muss zunächst die richtige Übersetzung finden - denn sonst werden die entsprechenden Terme schnell mehrere Zeilen lang. Besonders anzuerkennen ist, dass es in Kapitel 7 um baryzentrische Koordinaten geht. In einem Artikel auf AoPS hatte Evan Chen selbst damals diese Methode in der Wettbewerbs-Community popularisiert. In Part III geht es vor allem um projektive Methoden (auch die Inversion am Kreis ist bloß Geometrie im $\mathbb{C}P^1$!). Nennenswert ist der Satz zur projektiven Transformation, welcher mich als Schüler sehr überrascht hatte: Bei Aufgabenstellungen der projektiven Geometrie kann man die Lage von einigen Punkten beliebig auswählen (z.B. kann man oBdA annehmen, dass ein gegebenes beliebiges Viereck ein Quadrat ist) - denn es gibt existiert eine eindeutige projektive Transformation, welche die projektive Geometrie erhält. Zum Abschluss gibt es noch Tipps, ausgewählte Lösungen und Rechnungen aus der linearen Algebra, welche bei Part II essentiell sind (Determinanten greifen oft bei solchen Rechnungen). Die Aufgaben sind alle mit Bedacht ausgewählt und alle (von denen ich selbstverständlich nicht alle gelöst habe) sehr schön. Teilweise sind sie aber schon sehr schwierig (zumindest für mich), immerhin haben die meisten Aufgaben IMO Niveau. Neben der großartigen Themenauswahl gefällt mir besonders Evans Philosophie in dem Buch. In jedem Kapitel beginnt er mit der Theorie und behandelt schließlich Beispielaufgaben. Bei dieser Besprechung beschreibt Evan sehr ausführlich, die Gedanken bei der Lösungssuche und die gesamte Motivation seines Lösungsvorschlags. Wenn man eine bestimmte geometrische Lage sieht, wonach sollte man dann hoffen? Ein Sehnenviereck an der richtigen Stelle? Sieht es zielführend aus? Wie könnte man daran gehen? Erst am Ende schreibt er diesen Beweis neu auf - in dem "vom Himmel gefallenen Beweis" Stil. Das ist meiner Meinung nach der beste Teil des Buches. Man lernt wirklich wie man Mathematik betreibt. Das ist das Stück des Buches, was an mir am meisten hängen geblieben ist, und meine Philosophie der Mathematik noch bis heute ins Studentenleben prägt.

Hinzugefügt am: 2021-11-11
Kritiker: Kezer
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