Antworte auf:  Restglied Taylor-Formel, Buch/Internet stimmen nicht überein von Sambucus
Forum:  Taylorentwicklungen, moderiert von: Curufin epsilonkugel

[Zur Forum-Gliederung] [Wie man Fragen beantwortet] [Themenstart einblenden]

  Alle registrierten Mitglieder können Mitteilungen schreiben.
Benutzername:
Passwort:
Nachricht-Icon:                   
                  
              
Nachricht:


 

Erledigt J


Input assistance tools (JavaScript): [Link extern intern] [MathML?] [$$?]
[fed-area] [LaTeX-inline] [LaTeX-display] [Tikz] [hide-area][show-area] [Source code [num.]][?]
 Show Preview      Write using fedgeo formula editor or Latex.

Smilies for your message:
😃 😄 😁 🙂 🙃 😉 🤗 🤫 🤔 🙄 😴 🤒 😎 😮 😲 😂
🙁 😖 😒 😐 😡 👌 👍 👎 🤢 🤧 🥵 🥶 😵 🤯 😛 😷
Optionen: Deaktiviere HTML in dieser Nachricht
Deaktiviere MATHML in dieser Nachricht. Wenn Dein Text $-Zeichen enthält, die nicht LaTeX-Formeln begrenzen.
Deaktiviere Smilies in dieser Nachricht
Zeige die Signatur (Kann in 'Mein Profil' editiert werden.)
    [Abbrechen]
 
Beachte bitte die [Forumregeln]


Themenübersicht
Sambucus
Aktiv
Dabei seit: 08.03.2019
Mitteilungen: 63
Herkunft:
 Beitrag No.5, eingetragen 2019-09-17 20:59    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert}\)
2019-09-17 19:23 - Vercassivelaunos in Beitrag No. 4 schreibt:
Deine Vermutung ist richtig. Da die Taylor-Polynome $2n+1$-ten und $2n+2$-ten Grades identisch sind, müssen auch die zugehörigen Restglieder identisch sein. Man wählt für die Abschätzung das Restglied $R_{2n+3}$ statt $R_{2n+2}$, weil bei diesem die Abschätzung stärker ist, zumindest für kleine $x$. Sie geht nämlich mit $x^{2n+3}$ statt $x^{2n+2}$. Beide Abschätzungen sind natürlich richtig.

Sehr gut, danke :)
\(\endgroup\)

Vercassivelaunos
Senior
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 935
Herkunft:
 Beitrag No.4, eingetragen 2019-09-17 19:23    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert}\)
Deine Vermutung ist richtig. Da die Taylor-Polynome $2n+1$-ten und $2n+2$-ten Grades identisch sind, müssen auch die zugehörigen Restglieder identisch sein. Man wählt für die Abschätzung das Restglied $R_{2n+3}$ statt $R_{2n+2}$, weil bei diesem die Abschätzung stärker ist, zumindest für kleine $x$. Sie geht nämlich mit $x^{2n+3}$ statt $x^{2n+2}$. Beide Abschätzungen sind natürlich richtig.
\(\endgroup\)

Sambucus
Aktiv
Dabei seit: 08.03.2019
Mitteilungen: 63
Herkunft:
 Beitrag No.3, eingetragen 2019-09-17 16:34    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert}\)
2019-09-17 14:55 - Vercassivelaunos in Beitrag No. 1 schreibt:

beides ist richtig, nur die Nummerierung des Restglieds ist unterschiedlich. Im Forster wird es $R_{n+1}$ genannt, und in den anderen $R_n$, aber $R_{n+1,\textrm{Forster}}=R_{n,\textrm{andere}}$.



Beispiel: Berechnung von Lagrange-Restglied für den Sinus mit Null als Entwicklungspunkt.

Wenn ich mich an der Formel mit Nummerierung von Forster orientiere:

$f(x)=\sum \limits_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k +R_{n+1}(x) $

Also gilt:
$\sin x =\sum \limits_{k=0}^{n} (-1)^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} + R_{2n+2}(x)$

$R_{2n+2}(x)=\frac{sin^{(2n+2)}(\xi)}{(2n+2)!}x^{(2n+2)}=(-1)^{n+1}\frac{sin(\xi)}{(2n+2)!}x^{2n+2}$

Da $\xi \in [0,x]$ gilt:
$\vert R_{2n+2}(x) \vert \leq \frac{\vert x\vert^{(2n+2)} }{(2n+2)!}$

Im Buch wird allerdings $\sin x =\sum \limits_{k=0}^{n} (-1)^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} + R_{2n+3}(x)$ betrachtet, so dass man mit äquivalenten Schritten zur Abschätzung $\vert R_{2n+3}(x) \vert \leq \frac{\vert x\vert^{(2n+3)} }{(2n+3)!}$*

Warum wird hier $R_{2n+3}(x)$ und nicht $R_{2n+2}(x)$ betrachtet, liegt das daran, dass das $(2n+2)$-te Glied der Taylorentwicklung vom Sinus gleich Null ist (da a=0) und kann man deswegen $R_{2n+3}(x)=R_{2n+2}(x)$ setzen?
Aber warum schätzt man dann nicht einfach $R_{2n+2}(x)$ ab?


*
Letzteres würde ich mit der Nummerierung von bspw. Wikipedia herausbekommen wenn ich $R_{2n+2}$ berechnen möchte und ist auch die mir geläufige Abschätzung.

Das hatte mich verwirrt.




\(\endgroup\)

Sambucus
Aktiv
Dabei seit: 08.03.2019
Mitteilungen: 63
Herkunft:
 Beitrag No.2, eingetragen 2019-09-17 16:33    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert}\)
2019-09-17 14:55 - Vercassivelaunos in Beitrag No. 1 schreibt:

beides ist richtig, nur die Nummerierung des Restglieds ist unterschiedlich. Im Forster wird es $R_{n+1}$ genannt, und in den anderen $R_n$, aber $R_{n+1,\textrm{Forster}}=R_{n,\textrm{andere}}$.


Beispiel: Berechnung von Lagrangen Restglied für den Sinus mit Null als Entwicklungspunkt.

Wenn ich mich an Formel mit Nummerierung von Forster orientiere:

$f(x)=\sum \limits_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k +R_{n+1}(x) $
gilt:
$\sin x =\sum \limits_{k=0}^{n} (-1)^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} + R_{2n+2}(x)$

$R_{2n+2}(x)=\frac{sin^{(2n+2)}(\xi)}{(2n+2)!}x^{(2n+2)}=(-1)^{n+1}\frac{sin(\xi)}{(2n+2)!}x^{2n+2}$
Da $\xi \in [0,x]$ gilt:
$\vert R_{2n+2}(x) \vert \leq \frac{\vert x\vert^{(2n+2)} }{(2n+2)!}$

Im Buch wird allerdings $\sin x =\sum \limits_{k=0}^{n} (-1)^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} + R_{2n+3}(x)$ betrachtet, so dass man mit äquivalenten Schritten zur Abschätzung $\vert R_{2n+3}(x) \vert \leq \frac{\vert x\vert^{(2n+3)} }{(2n+3)!}$

\(\endgroup\)

Vercassivelaunos
Senior
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 935
Herkunft:
 Beitrag No.1, eingetragen 2019-09-17 14:55    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert}\)
Hallo Sambucus,

beides ist richtig, nur die Nummerierung des Restglieds ist unterschiedlich. Im Forster wird es $R_{n+1}$ genannt, und in den anderen $R_n$, aber $R_{n+1,\textrm{Forster}}=R_{n,\textrm{andere}}$. Wenn du $R_n$ bzw. $R_{n+1}$ in die jeweilige Formel einsetzt, dann wirst du sehen, dass jeweils das selbe da steht, nämlich $f(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k~+~\frac{1}{n!}\int_a^x(x-t)^n f^{(n+1)}(t)\d t$.

Viele Grüße,
Vercassivelaunos
\(\endgroup\)

Sambucus
Aktiv
Dabei seit: 08.03.2019
Mitteilungen: 63
Herkunft:
 Themenstart: 2019-09-17 14:44    [Diesen Beitrag zitieren]

In meinem Buch( Analysis 1, Forster, Auflage 11) wird die Taylor-Formel wie folgt angegeben $f(x)=\sum \limits_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k +R_{n+1}(x) $ und $R_{n+1}(x)=\frac{1}{n!}\int_{a}^{x}(x-t)^nf^{(n+1)}(t)dt$
Kurz danach wird die Lagrangesche Form des Restglieds eingeführt, und zwar gilt laut dem Buch $R_{n+1}=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$ für ein $\xi \in [a,x]$.

Aber irgendwie ist in allen anderen Quellen, welche ich gecheckt habe, folgendes angegeben:

$f(x)=\sum \limits_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k +R_{n}(x) $

$R_{n}(x)=\frac{1}{n!}\int_{a}^{x}(x-t)^nf^{(n+1)}(t)dt$

und $R_{n}(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$

Was ist richtig?

de.wikipedia.org/wiki/Taylor-Formel#Satz_(Taylorformel_mit_Integralrestglied)


 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2020 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]