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Thema: Isomorphie von zyklischen Gruppen
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Phoensie
Aktiv
Dabei seit: 11.04.2020
Mitteilungen: 265
Herkunft: Muri AG, Schweiz
Themenstart: 2020-10-29 15:52
\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol)\)
Hallo miteinander.

Folgenden Satz haben wir heute in der Algebra-Vorlesung behandelt:
Sei allgemein $C_r$ eine zyklische Gruppe mit Ordnung $\mathrm{ord}(C_r)=r$. Seien $p,q \in \mathbb{N}$ teilerfremd. Dann gilt:
\[
C_{pq} \cong C_p \times C_q.
\]

Gibt es Beispiele, die illustrieren, warum man Teilerfremdheit von $p$ und $q$ benötigt? (bzw. welche die die Behauptung nicht erfüllen, wenn dies nicht gegeben ist)

Ich versteh nicht ganz, wie die Teilerfremdheit fundamental wichtig sein kann hier...
\(\endgroup\)

ochen
Senior
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 3039
Herkunft: der Nähe von Schwerin
Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-29 15:57

Hallo

Betrachte doch mal $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ und $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$.

Die erste Gruppe wird von 1 erzeugt.

Die zweite Gruppe ist gar nicht zyklisch, da die Summe eines Element mit sich selbst schon $(0,0)$ ist. Somit enthält das Erzeugnis eines Elementes nur das Element selbst und $(0,0)$.


Triceratops
Aktiv
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 5242
Herkunft: Berlin
Beitrag No.2, eingetragen 2020-10-30 09:33

Tatsächlich gilt auch die Umkehrung. Wenn $C_p \times C_q$ zyklisch ist, dann sind $p,q$ teilerfremd.

Der Grund ist: Wenn $d$ ein gemeinsamer Teiler von $p,q$ ist, dann ist auch die Untergruppe $C_d \times C_d$ der Ordnung $d^2$ zyklisch. Hier hat jedes Element als Ordnung höchstens $d$. Also ist $d^2=d$ und damit $d=1$.

Oder alterativ: Es gilt $\mathrm{exp}(C_p \times C_q) = \mathrm{kgV}(\mathrm{exp}(C_p),\mathrm{exp}(C_q)) = \mathrm{kgV}(p,q)$, sodass $C_p \times C_q$ genau dann zyklisch ist, wenn $\mathrm{kgV}(p,q) = \mathrm{ord}(C_p \times C_q) = pq$, also wenn $\mathrm{ggT}(p,q)=1$.




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Druckdatum: 2021-01-16 20:02