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Phoensie
Aktiv
Dabei seit: 11.04.2020
Mitteilungen: 265
Herkunft: Muri AG, Schweiz
 |  Themenstart: 2020-10-29 15:52
\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} % Natürliche Zahlen
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} % Ganze Zahlen
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} % Rationale Zahlen
\newcommand{\R}{\mathbb{R}} % Reelle Zahlen
\newcommand{\C}{\mathbb{C}} % Komplexe Zahlen
\newcommand{\ord}{\mathrm{ord}} % Gruppenordnung
\newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol)\)
Hallo miteinander.
Folgenden Satz haben wir heute in der Algebra-Vorlesung behandelt:
Sei allgemein $C_r$ eine zyklische Gruppe mit Ordnung $\mathrm{ord}(C_r)=r$. Seien $p,q \in \mathbb{N}$ teilerfremd. Dann gilt:
\[
C_{pq} \cong C_p \times C_q.
\]
Gibt es Beispiele, die illustrieren, warum man Teilerfremdheit von $p$ und $q$ benötigt? (bzw. welche die die Behauptung nicht erfüllen, wenn dies nicht gegeben ist)
Ich versteh nicht ganz, wie die Teilerfremdheit fundamental wichtig sein kann hier...\(\endgroup\)
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ochen
Senior
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 3039
Herkunft: der Nähe von Schwerin
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-29 15:57
Hallo
Betrachte doch mal $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ und $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$.
Die erste Gruppe wird von 1 erzeugt.
Die zweite Gruppe ist gar nicht zyklisch, da die Summe eines Element mit sich selbst schon $(0,0)$ ist. Somit enthält das Erzeugnis eines Elementes nur das Element selbst und $(0,0)$.
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Triceratops
Aktiv
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 5242
Herkunft: Berlin
 |  Beitrag No.2, eingetragen 2020-10-30 09:33
Tatsächlich gilt auch die Umkehrung. Wenn $C_p \times C_q$ zyklisch ist, dann sind $p,q$ teilerfremd.
Der Grund ist: Wenn $d$ ein gemeinsamer Teiler von $p,q$ ist, dann ist auch die Untergruppe $C_d \times C_d$ der Ordnung $d^2$ zyklisch. Hier hat jedes Element als Ordnung höchstens $d$. Also ist $d^2=d$ und damit $d=1$.
Oder alterativ: Es gilt $\mathrm{exp}(C_p \times C_q) = \mathrm{kgV}(\mathrm{exp}(C_p),\mathrm{exp}(C_q)) = \mathrm{kgV}(p,q)$, sodass $C_p \times C_q$ genau dann zyklisch ist, wenn $\mathrm{kgV}(p,q) = \mathrm{ord}(C_p \times C_q) = pq$, also wenn $\mathrm{ggT}(p,q)=1$.
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