Forum:  Taylorentwicklungen
Thema: Restglied Taylor-Formel, Buch/Internet stimmen nicht überein
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Sambucus
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Themenstart: 2019-09-17 14:44

In meinem Buch( Analysis 1, Forster, Auflage 11) wird die Taylor-Formel wie folgt angegeben $f(x)=\sum \limits_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k +R_{n+1}(x) $ und $R_{n+1}(x)=\frac{1}{n!}\int_{a}^{x}(x-t)^nf^{(n+1)}(t)dt$
Kurz danach wird die Lagrangesche Form des Restglieds eingeführt, und zwar gilt laut dem Buch $R_{n+1}=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$ für ein $\xi \in [a,x]$.

Aber irgendwie ist in allen anderen Quellen, welche ich gecheckt habe, folgendes angegeben:

$f(x)=\sum \limits_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k +R_{n}(x) $

$R_{n}(x)=\frac{1}{n!}\int_{a}^{x}(x-t)^nf^{(n+1)}(t)dt$

und $R_{n}(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$

Was ist richtig?

de.wikipedia.org/wiki/Taylor-Formel#Satz_(Taylorformel_mit_Integralrestglied)


Vercassivelaunos
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Beitrag No.1, eingetragen 2019-09-17 14:55
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Hallo Sambucus,

beides ist richtig, nur die Nummerierung des Restglieds ist unterschiedlich. Im Forster wird es $R_{n+1}$ genannt, und in den anderen $R_n$, aber $R_{n+1,\textrm{Forster}}=R_{n,\textrm{andere}}$. Wenn du $R_n$ bzw. $R_{n+1}$ in die jeweilige Formel einsetzt, dann wirst du sehen, dass jeweils das selbe da steht, nämlich $f(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k~+~\frac{1}{n!}\int_a^x(x-t)^n f^{(n+1)}(t)\d t$.

Viele Grüße,
Vercassivelaunos
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Sambucus
Aktiv
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-17 16:33
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2019-09-17 14:55 - Vercassivelaunos in Beitrag No. 1 schreibt:

beides ist richtig, nur die Nummerierung des Restglieds ist unterschiedlich. Im Forster wird es $R_{n+1}$ genannt, und in den anderen $R_n$, aber $R_{n+1,\textrm{Forster}}=R_{n,\textrm{andere}}$.


Beispiel: Berechnung von Lagrangen Restglied für den Sinus mit Null als Entwicklungspunkt.

Wenn ich mich an Formel mit Nummerierung von Forster orientiere:

$f(x)=\sum \limits_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k +R_{n+1}(x) $
gilt:
$\sin x =\sum \limits_{k=0}^{n} (-1)^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} + R_{2n+2}(x)$

$R_{2n+2}(x)=\frac{sin^{(2n+2)}(\xi)}{(2n+2)!}x^{(2n+2)}=(-1)^{n+1}\frac{sin(\xi)}{(2n+2)!}x^{2n+2}$
Da $\xi \in [0,x]$ gilt:
$\vert R_{2n+2}(x) \vert \leq \frac{\vert x\vert^{(2n+2)} }{(2n+2)!}$

Im Buch wird allerdings $\sin x =\sum \limits_{k=0}^{n} (-1)^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} + R_{2n+3}(x)$ betrachtet, so dass man mit äquivalenten Schritten zur Abschätzung $\vert R_{2n+3}(x) \vert \leq \frac{\vert x\vert^{(2n+3)} }{(2n+3)!}$

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Sambucus
Aktiv
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Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-17 16:34
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2019-09-17 14:55 - Vercassivelaunos in Beitrag No. 1 schreibt:

beides ist richtig, nur die Nummerierung des Restglieds ist unterschiedlich. Im Forster wird es $R_{n+1}$ genannt, und in den anderen $R_n$, aber $R_{n+1,\textrm{Forster}}=R_{n,\textrm{andere}}$.



Beispiel: Berechnung von Lagrange-Restglied für den Sinus mit Null als Entwicklungspunkt.

Wenn ich mich an der Formel mit Nummerierung von Forster orientiere:

$f(x)=\sum \limits_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k +R_{n+1}(x) $

Also gilt:
$\sin x =\sum \limits_{k=0}^{n} (-1)^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} + R_{2n+2}(x)$

$R_{2n+2}(x)=\frac{sin^{(2n+2)}(\xi)}{(2n+2)!}x^{(2n+2)}=(-1)^{n+1}\frac{sin(\xi)}{(2n+2)!}x^{2n+2}$

Da $\xi \in [0,x]$ gilt:
$\vert R_{2n+2}(x) \vert \leq \frac{\vert x\vert^{(2n+2)} }{(2n+2)!}$

Im Buch wird allerdings $\sin x =\sum \limits_{k=0}^{n} (-1)^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} + R_{2n+3}(x)$ betrachtet, so dass man mit äquivalenten Schritten zur Abschätzung $\vert R_{2n+3}(x) \vert \leq \frac{\vert x\vert^{(2n+3)} }{(2n+3)!}$*

Warum wird hier $R_{2n+3}(x)$ und nicht $R_{2n+2}(x)$ betrachtet, liegt das daran, dass das $(2n+2)$-te Glied der Taylorentwicklung vom Sinus gleich Null ist (da a=0) und kann man deswegen $R_{2n+3}(x)=R_{2n+2}(x)$ setzen?
Aber warum schätzt man dann nicht einfach $R_{2n+2}(x)$ ab?


*
Letzteres würde ich mit der Nummerierung von bspw. Wikipedia herausbekommen wenn ich $R_{2n+2}$ berechnen möchte und ist auch die mir geläufige Abschätzung.

Das hatte mich verwirrt.




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Vercassivelaunos
Senior
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 625
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Beitrag No.4, eingetragen 2019-09-17 19:23
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Deine Vermutung ist richtig. Da die Taylor-Polynome $2n+1$-ten und $2n+2$-ten Grades identisch sind, müssen auch die zugehörigen Restglieder identisch sein. Man wählt für die Abschätzung das Restglied $R_{2n+3}$ statt $R_{2n+2}$, weil bei diesem die Abschätzung stärker ist, zumindest für kleine $x$. Sie geht nämlich mit $x^{2n+3}$ statt $x^{2n+2}$. Beide Abschätzungen sind natürlich richtig.
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Sambucus
Aktiv
Dabei seit: 08.03.2019
Mitteilungen: 61
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Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-17 20:59
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2019-09-17 19:23 - Vercassivelaunos in Beitrag No. 4 schreibt:
Deine Vermutung ist richtig. Da die Taylor-Polynome $2n+1$-ten und $2n+2$-ten Grades identisch sind, müssen auch die zugehörigen Restglieder identisch sein. Man wählt für die Abschätzung das Restglied $R_{2n+3}$ statt $R_{2n+2}$, weil bei diesem die Abschätzung stärker ist, zumindest für kleine $x$. Sie geht nämlich mit $x^{2n+3}$ statt $x^{2n+2}$. Beide Abschätzungen sind natürlich richtig.

Sehr gut, danke :)
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Druckdatum: 2019-11-12 05:18