Mathematik: Wohin zeigt die Magnetisierung in kubischen Kristallen?
Released by matroid on Fr. 28. April 2023 21:24:01
Written by Kornkreis - (301 x read)
Physik  \(\begingroup\)

Wohin zeigt die Magnetisierung in kubischen Kristallen?

Ein Anwendungsbeispiel für Ungleichungen zwischen symmetrischen Polynomen

In einem magnetischen Material kann es aufgrund von Anisotropie, die z.B. in kristallinen Materialien durch die anisotrope Kristallstruktur hervorgerufen wird, sogenannte leichte und schwere Achsen geben. Die Magnetisierung richtet sich bevorzugt entlang der leichten Achsen aus, wohingegen eine Ausrichtung entlang einer schweren Achse am ungünstigsten ist. Im Folgenden wird für das wichtige Beispiel kubischer Kristalle beschrieben, wie diese Achsen gefunden werden können. In der frühen Literatur zu diesem Thema wurde ohne Beweis angenommen, dass diese Achsen entlang der kubischen Hochsymmetrie-Richtungen liegen [1], was jedoch nicht immer der Fall ist, wie im Folgenden gezeigt wird. Andererseits wird in Lehrbüchern und Vorlesungen generell auf eine Herleitung dieser Achsen verzichtet [2]. Daher soll hier eine einfache und elementare Herleitung präsentiert werden, welche allein auf Ungleichungen zwischen symmetrischen Polynomen zurückgreift, die der Symmetrie dieses Problems angepasst sind. Der Artikel dient auch als praktisches Anwendungsbeispiel dieser Ungleichungen, die dem ein oder anderen Leser aus Lösungen von Mathematikolympiade-Aufgaben bekannt sein könnten. Für das Korrekturlesen dieses Artikels möchte ich mich herzlich bei MontyPythagoras bedanken!
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Stern Mathematik: Das 4-Farben Problem
Released by matroid on Do. 05. Juni 2014 22:10:47
Written by Ueli - (6582 x read)
Mathematik  \(\begingroup\)

Einleitung

Oft ist es sehr viel leichter ein mathematisches Problem zu stellen, als es zu lösen. Dies gilt beispielsweise für die Goldbach Vermutung und auch für das 4-Farben Problem. Aber ist das Färben von Landkarten in irgendeiner Weise relevant für die Mathematik? Als David Hilbert im Jahr 1900 seine 23 ungelösten Probleme der Mathematik [1] vorstellte, dachte er, dass die Beschäftigung mit diesen Fragen die Mathematik voranbringen würden. In seiner Rede am zweiten internationalen Mathematikerkongress in Paris hat er auch zum Ausdruck gebracht, dass ein vollkommenes mathematisches Problem einfach zu fassen sein soll [2]. Dies gilt sicher auch (oder gerade) für das 4-Farben Problem. Dieses wurde allerdings nicht in die Liste der großen Probleme aufgenommen. Es schien wahrscheinlich zu isoliert in der mathematischen Landschaft zu stehen und die Lösung besteht auch nur in der einfachen Erkenntnis, dass die Vermutung richtig ist. In Hilbert's Nachlass wurde allerdings ein 24. Problem [3] gefunden. Darin geht es um die Kriterien für einfache Beweise und die Beziehung zwischen verschiedenen Beweisen für ein Problem. Dazu bietet der 4-Farben Satz ein lehrreiches Beispiel. Ausserdem war das 4-Farben-Problem oft Anlass für die Beschäftigung mit planaren Graphen und Topologie und hat daher diese Disziplinen weiter gebracht gemäß dem Stichwort: "Der Weg ist das Ziel". In diesem Artikel werde ich einige historische Versuche aufzeigen das Problem zu lösen und auch wesentliche Schritte, welche zur Lösung führten. [1]: Hilberts 23 Probleme: Wikipedia [2]: Hilberts Rede am Mathematiker-Kongress in Paris, S1-2: ps-Datei [3]: Hilberts 24. Problem: Wikipedia \(\endgroup\)
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Mathematik: Möglichkeiten und Wahrscheinlichkeiten beim Pokerspiel
Released by matroid on Do. 27. April 2023 20:34:50
Written by Wario - (194 x read)
Mathematik  \(\begingroup\)\( \)

Möglichkeiten und Wahrscheinlichkeiten beim Pokerspiel

Ausführliche und kommentierte Berechnung der Anzahl der Möglichkeiten und der Wahrscheinlichkeiten beim klassischen Poker "5 aus 52 Karten" ("Five Card Draw"); mit ergänzenden Schaubildern an passender Stelle.
Hinweise: i) Klicke auf , um zur Übersicht zurückzukehren. ii) Betrachtet wird hier nur das klassische Pokerspiel "5 aus 52 Karten", keine modernen Varianten wie Texas Hold'em oder Omaha Hold'em. iii) Einige Ergebnisse können auf mehrere Weisen berechnet werden, hier wird eine Herleitung angegeben. iv) Grundkenntnisse in der Kombinatorik und der elementaren Wahrscheinlichkeitsrechnung werden vorausgesetzt. \(\endgroup\)
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Mathematik: Rechnen mit einer mechanischen Rechenmaschine Triumphator von 1960 (DDR)
Released by matroid on So. 09. April 2023 12:27:00
Written by Delastelle - (225 x read)
Mathematik  \(\begingroup\) Aus Familienbesitz kenne ich eine mechanische Rechenmaschine vom Typ Triumphator CRN1. Gebaut wurde diese Rechenmaschine in der Zeit um 1960 in der DDR. Ich möchte kurz zeigen, wie man das Ergebnis einer einfachen Multiplikation und einer einfachen Division berechnen kann. \(\endgroup\)
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buhs Montagsreport: Primzahlprobleme gelöst!
Released by matroid on Sa. 01. April 2023 00:00:07
Written by buh - (266 x read)
Bildung  \(\begingroup\) Das Gerno-Logo für buhs Montagsreport Primzahlprobleme gelöst! Gerno Twolte® überlistet die Siebfunktion 03869 Duemmer**. Auch nach 22 matheplanetarischen Jahren ist die Zeit der bahnbrechenden Leistungen Einzelner offenbar nicht abgelaufen, denn noch immer gelingen sensationelle Geniestreiche: Der auch als Zahlando der Rechenkunst bekannte Gerno Twolte&Team© stellt in der aktuellen Ausgabe 2023*** der "LCoMath" ein weiteres MileLight*** seiner unermüdlichen Mathematikforschung vor. Unter unglaublichen Unmengen unzähliger Untersuchungen und in nächtelanger Arbeit gelang es Gerno Twolte&Team©, dem legendären SIEB DES ERATOSTHENES eine geradezu grandiose Erweiterung \(\endgroup\)
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Mathematik: das Spiel Flip
Released by matroid on So. 26. März 2023 10:15:32
Written by Delastelle - (334 x read)
Spiele+Rätsel  \(\begingroup\) David H.Ahl stellte in seinen 2 Bänden "Basic Computer Spiele" (erschienen kurz vor 1980) das Spiel Flip vor. Dabei geht es darum 50 mal ja oder nein zu tippen. Der Computer wählt auch 50 mal ja oder nein. Nach jedem Tipp wird verglichen: hat man den Tipp des Computers korrekt? Ziel ist es bei 50 mal 25 mal oder mehr korrekte Züge des Computers vorherzusagen. Hier wird das Basic-Programm von Ahl übersetzt als Octave File mit den Antworten 0 und 1 wiedergegeben. Es folgen ein paar Testläufe. \(\endgroup\)
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Mathematik: 2 x 11 – nur ein Primprodukt?
Released by matroid on Fr. 17. März 2023 00:01:15
Written by buh - (232 x read)
Matroids Matheplanet  \(\begingroup\) Urlogo für buhs Montagsreport 2 x 11 – nur ein Primprodukt? Die Story*** dahinter Berlin. Den zweiten haben wir erstmals erwähnt; der elfte war der erste, den ich vergaß. Natürlich NICHT den Hochzeitstag – \(\endgroup\)
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Mathematik: das Spiel Isola Teil 3: der Alpha-Beta Ansatz zur Zugsuche - ein Zwischenstand
Released by matroid on Fr. 17. Februar 2023 22:38:47
Written by Delastelle - (151 x read)
Spiele+Rätsel  \(\begingroup\) Dies ist mein 3.Artikel zum Spiel Isola. Im 1.Teil habe ich versucht, Isola für kleine Bretter zu lösen. (eher nicht so erfolgreich?) Im 2.Teil habe ich für das normale 8x6 Isola mehrere Strategien mit Suchtiefe 1 getestet. Jetzt habe ich für das 8x6 Brett mit Suchtiefe 1,3,5 und für das kleinere 5x5 Brett mit Suchtiefe 1,3,5 gearbeitet. Möglich wurde dies durch den Einsatz des Alpha-Beta-Algorithmus, den man z.B. aus der Computerschachprogrammierung in ähnlicher Form kennt. \(\endgroup\)
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buhs Montagsreport: DAER**: Ein Leben ohne MP?
Released by matroid on Mo. 06. Februar 2023 00:01:55
Written by buh - (344 x read)
Matroids Matheplanet  \(\begingroup\) Urlogo für buhs Montagsreport DAER**: Ein Leben ohne MP? Alles aus der Wunder-Bar Zinbiel. Am Rande der Ebene der Spurpunkte stehen die Witten, Chatten und Solingen, sogar einige der ausgestorbenen Skripten, um die Ankunft des Le und den Blick in die Zukunft zu erwarten. Da! Am Hang gegenüber wackelt die Heide, der Wald teilt sich, und eine sich mühsam aufrecht haltende*** Gestalt wankt den Wartenden entgegen – neben sich einen erschöpften FlugElch, in der zitternden Hand… \(\endgroup\)
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