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| Mathematik: Koordinatenfreier Entwicklungssatz von Laplace | Released by matroid on Do. 17. September 2020 19:18:39
Written by Triceratops - (394 x read) | 
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Koordinatenfreier Entwicklungssatz von LaplaceDer Entwicklungssatz von Laplace aus der linearen Algebra wird üblicherweise als eine Aussage über Matrizen formuliert und durch eine direkte Rechnung bewiesen. In diesem Artikel formulieren und beweisen wir eine koordinatenfreie Version dieses Satzes, die zwar nicht neu, aber relativ unbekannt ist. Sie handelt entsprechend von linearen Abbildungen. Das wesentliche technische Hilfsmittel sind äußere Potenzen.
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| buhs Montagsreport: Schule digital | Released by matroid on So. 13. September 2020 22:12:05
Written by buh - (209 x read) | 
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Schule digital***
2000 - wie alles begann*
Berlin. Nachdem sich die Welt um mich herum unübersehbar verändert hatte und selbst die Kaufhauskassen eigene Bildschirmschoner zeigten, dämmerte mir langsam, dass ich, wollte ich nicht als C64-er über Bord gehen, meine Arbeit umfassend revolutionieren müsse. Ich bin Lehrer für Mathematik, von einem Stande also, den schon Pythagoras von Samos so ausübte wie wir heute. Im Mathematikunterricht der letzten 200 Jahre hat es nur zwei Veränderungen gegeben: Laisser-faire ist als Form der Disziplin allgemein anerkannt, und das Eintrichtern elementarer Weisheiten zu Zins- und Bruchrechnung wurde ersetzt durch
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| Mathematik: Der Satz von Ptolemäus über Inversion am Kreis | Released by matroid on So. 06. September 2020 12:44:15
Written by Kezer - (299 x read) |
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Zu den fundamentalen Aussagen in der gesamten Mathematik gehört die Dreieckungleichung aus der Geometrie. Man möge sich also fragen: Gibt es eine "Vierecksungleichung"?
Antwort: Ja. Eigentlich ist es aber auch "nur" die Dreiecksungleichung. Das richtige Analogon der Dreiecksungleichung für Vierecke ist der
Satz von Ptolemäus. Sei $ABCD$ ein Viereck. Es gilt $$ |AB| \cdot |CD| + |BC| \cdot |AD| \geq |AC| \cdot |BD|,$$ und Gleichheit gilt genau dann, wenn $ABCD$ ein Sehnenviereck ist.
Diesen Satz kann man mit verschiedenen Methoden, von einer Winkeljagd, trigonometrischen Rechnungen bis zu Ansätzen mit komplexen Zahlen, beweisen. Einer meiner Lieblingsbeweise verwendet die sogenannte Inversion am Kreis. Wir werden in diesem Artikel die Technik der Kreisinversion behandeln, um den Satz von Ptolemäus zu beweisen. Gleichzeitig werden wir sehen, wieso der Satz von Ptolemäus eigentlich bloß die Dreiecksungleichung ist.
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| Mathematik: Über die Null, den leeren Raum und andere triviale Fälle | Released by matroid on Fr. 14. August 2020 15:34:03
Written by Triceratops - (1145 x read) |
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Über die Null, den leeren Raum und andere triviale FälleIst $0$ eine natürliche Zahl? Wieso ist $1$ keine Primzahl? Was ist $0^0$? Was ist eine Basis des trivialen Vektorraumes? Wieso ist der triviale Ring ein Ring mit Eins, aber kein Körper? Ist der leere Raum zusammenhängend? Sollten wir den leeren Graphen zulassen? Welche Dimension hat die leere Mannigfaltigkeit? Was ist der Grad des Nullpolynoms? Was ist die freie Gruppe auf der leeren Menge? Wieviele Orientierungen hat ein Punkt?
Solche und ähnliche Fragen über triviale Fälle werden in diesem Artikel beantwortet. Dabei streifen wir verschiedene Gebiete der Mathematik. Das wiederkehrende Motiv lautet hierbei, dass es sich um keine Konventionen handelt, sondern die Definitionen (wenn man sie denn richtig formuliert) die trivialen Fälle bereits mit abdecken. Sie brauchen also tatsächlich gar keine Sonderbehandlung, auch wenn das in manchen Quellen suggeriert wird, ja sogar zu uneinheitlichen Konventionen geführt hat.
Ein anderes wiederkehrendes Motiv ist, dass es tatsächlich sinnvoll ist, triviale Fälle mit einzuschließen (wenn sie nicht gerade zu einfach sind, um einfach zu sein), auch wenn sie zunächst nicht wirklich interessant erscheinen und manchmal der (falsche) Eindruck entsteht, dass sie nicht in die allgemeine Theorie passen. Tatsächlich würde der Ausschluss von trivialen Fällen die Mathematik unnötig kompliziert machen. Man stelle sich einen Würfel vor, der die Mathematik repräsentiert: wir würden doch nicht seine Ecken abschneiden, nur weil ihre Koordinaten langweilig sind. Zudem würde sich ein eckenloser Würfel nicht mehr aus kleineren eckenlosen Würfeln zusammensetzen.
Dieser Artikel ist sehr stark motiviert durch und angelehnt an die Diskussion MO/45951 auf mathoverflow. Außerdem habe ich noch einige Beispiele ergänzt, die mir über den Weg gelaufen sind. Wenn ihr weitere passende Beispiele habt, postet sie gerne in die Kommentare. | | mehr... | 62839 Bytes mehr | 18 Kommentare | | Mathematik |
 Mathematik: Beweise, immer nur Beweise
| Released by matroid on Fr. 22. Februar 2002 00:35:14
Written by matroid - (38852 x read) |
\(\begingroup\)\(\newcommand{\IX}{\mathbb{X}}
\newcommand{\IW}{\mathbb{M}}
\newcommand{\politician}[1]{\text{Ich habe die Frage nicht verstanden. #1}} \)
Der Sinn des Mathematik-Studiums ist, dass man das Beweisen lernt.
Das geht so vor sich, dass in Vorlesungen, Büchern und manchmal Übungen das Beweisen vorgemacht wird.
Ein Beweis besteht aus einer geschlossenen und lückenlosen Ableitung einer zuvor formulierten Behauptung aus den zugrundeliegenden Axiomen und den gegeben Voraussetzungen.
Die Hilfsmittel beim Beweisen sind: - die Regeln der Logik, als elementare Operationen
- Beweistechniken, als zusammengesetzte Operationen aus elementaren Operationen (quasi 'große Moleküle', z.B. die vollständige Induktion oder die Technik des Widerspruchsbeweises).
- schon bewiesene Behauptungen allgemeiner Art (z.B. Abschätzen von Ungleichungen, a < b => a+c < b+c).
- schon bewiesene Behauptungen des Fachgebiets (Sätze, Hilfssätze, Theoreme, z.B. der Mittelwertsatz der Differentialrechnung)
- der Einfallsreichtum des Beweisenden in der Kombination von a.-d.
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| Mathematik: Collatzsieb | Released by matroid on Fr. 24. Juli 2020 20:45:42
Written by blindmessenger - (707 x read) |
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Collatzsieb
Einleitung
Es seien $X$ und $Y$ die Mengen
$$X=\{24n+1:n\in\mathbb N\}\cup\{24n+17:n\in\mathbb N\}\cup\{48n+13:n\in\mathbb N\}\cup\{48n+29:n\in\mathbb N\}\cup\{96n+37:n\in\mathbb N\}\cup\{192n+181:n\in\mathbb N\}$$
$$Y=\{6n+1:n\in\mathbb N\}\cup\{6n+5:n\in\mathbb N\}$$
Aus der Menge $X$ entsteht durch Collatziteration die Menge $Y$. Aus der Menge $Y$ wiederum lässt sich die Menge $X$ heraussieben. So lässt sich ein Sieb für Collatzfolgen konstruieren.
Im Folgenden wird gezeigt wie man dieses Sieb herleiten kann...
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| Mathematik: Ausdehnen von algebraischen Gleichungen | Released by matroid on So. 12. Juli 2020 21:52:37
Written by Triceratops - (415 x read) |
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Ausdehnen von algebraischen GleichungenDer Satz von Cayley-Hamilton aus der linearen Algebra ist ein schönes Beispiel dafür, dass man einen Satz über komplexe Matrizen mit einem formalen Argument auf Matrizen über kommutativen Ringen verallgemeinern kann. In diesem Artikel soll das allgemeine Prinzip dahinter erklärt werden. Als Beispiele dafür besprechen wir die Multiplikativität von Determinanten, den Entwicklungssatz von Laplace, die Brahmagupta–Fibonacci-Identität und die Vier-Quadrate-Formel von Euler, die Vandermonde-Identität, die Formel für das charakteristische Polynom eines Matrixproduktes und eben den Satz von Cayley-Hamilton.
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| Mathematik: Die Taylorentwicklung mit linearer Algebra verstehen | Released by matroid on Mi. 01. Juli 2020 18:12:01
Written by Vercassivelaunos - (347 x read) |
\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\F}{\mathbb{F}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
\newcommand{\E}{\mathbb{E}}
\newcommand{\H}{\mathbb{H}}
\newcommand{\D}{\mathrm{D}}
\newcommand{\d}{\mathrm{d}}
\newcommand{\i}{\mathrm{i}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\newcommand{\diag}{\operatorname{diag}}
\newcommand{\span}{\operatorname{span}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\grad}{\operatorname{grad}}
\newcommand{\zyk}[1]{\Z/#1\Z}
\newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)}
\newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)}
\newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}}
\newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>}
\newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert}
\newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>}
\newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>}
\newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>}
\newcommand{\lvert}{\left\vert}
\newcommand{\rvert}{\right\vert}
\newcommand{\lVert}{\left\Vert}
\newcommand{\rVert}{\right\Vert}\)
Die Grundidee der Ableitung einer Funktion $f$ ist, dass die Ableitung eine lineare Näherung von $f$ darstellen soll. In der Analysis 1 tut sie dies für gewöhnlich in Form der Tangentensteigung. Die Ableitung ist die Steigung einer (affin) linearen Funktion, deren Graph sich an den von $f$ anschmiegt. In der Analysis 2 wird das Konzept der linearen Näherung auf mehrere Dimensionen ausgeweitet und gleichzeitig verstärkt: Die totale Ableitung $\D f$ einer Funktion ist jetzt im wahrsten Sinne des Wortes eine lineare Abbildung, die in einem gewissen Sinne $f$ gut nähert. Ihre Darstellungsmatrix ist die bekannte Jacobimatrix. Wir werden im Folgenden sehen, dass die Taylorentwicklung eine Verallgemeinerung dieses Konzepts der linearen Näherung darstellt. Wir werden dabei feststellen, dass auch höhere Ableitungen in mehrdimensionalen Räumen in der Sprache der linearen Algebra beschrieben werden können, wenn man höhere Ableitungen von Funktionen mehrerer Variablen als Multilinearformen interpretiert. Wir wollen ein tieferes Verständnis für die Taylorentwicklung auch in mehreren Dimensionen entwickeln und werden bemerken, dass die mehrdimensionale und die eindimensionale Taylorentwicklung gar nicht so verschieden sind. Wir werden dabei in der theoretischen Beschreibung vollständig auf Multiindizes, Multinomialkoeffizienten und partielle Ableitungen verzichten. Nebenbei können wir die Definition höherer Ableitungen auch noch erweitern.
Am Schluss werden einige beispielhafte Taylorentwicklungen in 2d berechnet und graphisch dargestellt.
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| Mathematik: Lineare Algebra mit dem Austauschverfahren | Released by matroid on Do. 04. Juni 2020 17:16:25
Written by lewis - (505 x read) | 
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Das Austauschverfahren ist ein allgemeines — inzwischen leider vernachlässigtes — Werkzeug der Linearen Algebra. Mit entsprechenden Anpassungen kann man damit - einen Basiswechsel durchführen,
- den Rang einer Matrix ablesen,
- Matrizen invertieren,
- lineare Gleichungssysteme und Matrizengleichungen lösen,
- Determinanten berechnen,
- und Eigenvektoren finden.
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