Mathematik: Der Pseudokreis
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Mathematik

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Der Pseudokreis

Der Pseudokreis ist ein endlicher topologischer Raum, den man sich so vorstellen kann:

Er hat zwar nur vier Elemente, ist aber aus Sicht der Homotopietheorie nicht vom Einheitskreis S^1 \subseteq \mathbb{C} zu unterscheiden. In diesem Artikel werde ich erklären, was es damit auf sich hat. Außerdem geht es um ein erstaunliches Resultat von McCord, welches sämtliche Vorurteile darüber, dass endliche topologische Räume pathologisch sind, zunichte machen sollte.

1. Die Topologie des Pseudokreises

Der Pseudokreis ist ein topologischer Raum X mit vier Elementen, die wir \eta,\eta',x,y nennen möchten, der die folgenden offenen Teilmengen besitzt: \emptyset, \{\eta\},\{\eta'\}, \{\eta,\eta'\},\{\eta,x,\eta'\},\{\eta,y,\eta'\},\{\eta,\eta',x,y\} Man sieht leicht, dass die offenen Mengen tatsächlich unter Vereinigungen und Durchschnitten stabil sind, also X tatsächlich ein topologischer Raum ist. Die Punkte \eta,\eta' sind isoliert, aber nicht abgeschlossen. Hierbei heißt ein Punkt p abgeschlossen, wenn \{p\} eine abgeschlossene Teilmenge ist. In den uns wohlvertrauten Hausdorff-Räumen ist das immer der Fall. Aber hieran sehen wir, dass X eben nicht Hausdorffsch ist. Nur T_0 wird von X erfüllt. Aber macht das X wirklich zu einem pathologischen Raum? Der Abschluss von \eta ist \{x,\eta,y\}, der Abschluss von \eta' ist \{x,\eta',y\}. Die Punkte x,y sind abgeschlossen. Jede offene Umgebung von ihnen enthält bereits die beiden isolierten Punkte \eta,\eta'. Betrachte nun den Weg \phi : [0,1] \to X von x nach y, der auf dem gesamten Intervall ]0,1[ konstant \eta ist. Dann ist \phi stetig: Dies muss lediglich zum Zeitpunkt 0 (bzw. analog 1) getestet werden. Jede offene Umgebung von \phi(0)=x enthält aber \eta,\eta', sodass sie das Bild \phi([0,1[) enthält. Auch \eta' liefert einen solchen Weg. Wir bekommen also tatsächlich das folgende Bild:

Insbesondere ist X wegzusammenhängend. Wir können X durch zwei offene Mengen U:=\{\eta,x,\eta'\} und V:=\{\eta,y,\eta'\} überdecken. Ihr Durchschnitt U \cap V =\{\eta,\eta'\} = \{\eta\} \sqcup \{\eta'\} ist ein diskreter topologischer Raum mit zwei Punkten. Intuitiv sollte U auf x zusammenziehbar sein. Tatsächlich, definiert man H : U \times [0,1] \to U durch H(p,t)=p für t \in [0,1[ und H(p,1)=x für alle p \in U, so ist H(-,0)=\mathrm{id}, H(-,1)=\mathrm{const}_x und H ist stetig: Dies ist nur fragwürdig in Punkten der Form (p,1). Jede offene Umgebung von H(p,1)=x ist aber bereits ganz U, sodass sie das gesamte Bild von H enthält. Aus Sicht der Homotopietheorie ist also X relativ einfach zu überblicken. Warnung: In vielen Quellen wird unter einem Pseudokreis etwas anderes verstanden. In Tom Diecks Algebraic Topology ist das der folgende Teilraum von \mathbb{R}^2. \geo ebene(400,200) x(-2,2) y(-1.5,1.5) param(p,0,1,0.001) kurve(p,sin(3.141/p)) nolabel() pen(1) p(0,0,p1) p(-1,0,p2) s(p1,p2,s1) p(0,1,p3) p(0,-1,p4) s(p3,p4,s2) param(p,0,3.14159,0.01) kurve(cos(p),1.5*sin(p)) \geooff geoprint() In den Arbeiten von R. H. Bing bedeutet es wiederum etwas anderes.

2. Fundamentalgruppe und die Homologie

Wir können direkt die Fundamentalgruppe \pi_1(X,x) bestimmen: Ein Weg x \to x muss, wenn er nicht konstant ist, irgendwann \eta' oder \eta' passieren. Wenn er sich nur in U=\{\eta,x,\eta'\} bewegt, können wir ihn zusammenziehen. Allgemeiner können wir jeden Lauf durch U einfach streichen. Es kommt also nur darauf an, wie oft und von welcher Richtung y durchlaufen wird. Folglich wird \pi_1(X,x) erzeugt vom Weg \gamma : x \xrightarrow{\eta} y \xrightarrow{\eta'} x. Es ist leicht zu sehen, dass \gamma^n für alle n>0 nicht nullhomotop ist. Eine Homotopie ändert die Anzahl der Durchläufe von y nämlich nicht. Das kann man sich hier ganz direkt überlegen. Alternativ könnte man den Satz von Seifert und van Kampen zitieren. Bloß ich möchte darauf hinaus, dass diese Argumente für X reine "Kombinatorik" sind. Es gilt also \pi_1(X,x) \cong \mathbb{Z}. Wir können auch sehr leicht die singuläre Homologie von X berechnen (zu diesem Thema hat Gockel eine lesenswerte Artikelreihe geschrieben): Weil X wegzusammenhängend ist, gilt H_0(X) = \mathbb{Z}. Nun sei n \geq 1. Die offenen Mengen U,V überdecken X, sind zusammenziehbar, und ihr Durchschnitt ist diskret mit zwei Elementen. Die zugehörige Mayer-Vietors Sequenz lautet \displaystyle 0 = H_n(U) \oplus H_n(V) \to H_n(X) \to \underbrace{H_{n-1}(U \cap V)}_{0 \text{ für } n>1} \to \underbrace{H_{n-1}(U) \oplus H_{n-1}(V)}_{0 \text{ für } n > 1}\dotsc Für n>1 ist also H_1(X)=0 und für n=1 ist H_1(X) der Kern von \mathbb{Z}^2 \to \mathbb{Z}^2, e_1 \mapsto e_1+e_2, e_2 \mapsto e_1+e_2, also isomorph zu \mathbb{Z}. Dasselbe funktioniert für eine beliebige Koeffizientengruppe. Die höheren Homotopiegruppen sind trivial.

3. Überlagerungen

Eine Überlagerung eines topologischen Raumes X ist eine stetige Abbildung p : Y \to X, die lokal auf X isomorph zu einer trivialen Überlagerung der Form U \times D \to U, (u,d) \mapsto u ist, wobei D ein diskreter Raum ist. Äquivalent: Jeder Punkt x \in X besitzt eine offene Umgebung x \in U \subseteq X, sodass p^{-1}(U) eine disjunkte Vereinigung von offenen Mengen ist, die von p homöomorph auf U abgebildet werden. Die Anzahl dieser offenen Mengen nennt man auch die Blattzahl von x. Dies ist eine lokalkonstante Funktion auf X. Die Überlagerungen von X bilden eine Kategorie; ein Morphismus ist ein kommutatives Diagramm von stetigen Abbildungen über X. Die triviale Überlagerung kann man sich so vorstellen: Bildbeschreibung Per Definition ist jede Überlagerung lokal zu einer solchen trivialen Überlagerung isomorph. Ist das auch global so? Schauen wir uns unseren Raum X=\{\eta,\eta',x,y\} an. Wir können die triviale 2-blättrige Überlagerung X \times \{1,2\} dadurch abändern, dass wir die beiden Kopien von X miteinander verzwirbeln: Bildbeschreibung Mengentheoretisch hat sich hier also nichts geändert, aber topologisch schon: Wir haben (x,1) mit (y,2) durch den Weg (\eta',2) miteinander verbunden. In der Topologie äußert sich das wie folgt: Jede offene Umgebung von (x,1) enthält auch (\eta,1) und (\eta',2). Entsprechend: Jede offene Umgebung von (x,2) enthält auch (\eta,2) und (\eta',1). Über den anderen Punkten hat sich nichts getan, d.h. auf der offenen Menge \{\eta,y,\eta'\} ist die Überlagerung trivial. Auf der offenen Menge \{\eta,x,\eta'\} ist die Überlagerung zwar nicht trivial, aber isomorph zur trivialen Überlagerung: Man muss nur (\eta',1) mit (\eta',2) vertauschen. Diese Konstruktion können wir nun verallgemeinern: Ist D irgendeine Menge und \sigma : D \to D eine Permutation, so definieren wir einen Raum (X \times D)_{\sigma} wie folgt: Als Menge sei es X \times D. Die basis-offene Umgebung von (x,d) sei \{(\eta,d),(x,d),(\eta',\sigma(d))\}. Über \eta,y,y' nehme die Produkttopologie. Die Projektion p : (X \times D)_{\sigma} \to X auf die erste Koordinate ist stetig: Dies muss man nur in Punkten der Form (x,d) testen. Jede offene Umgebung p(x,d)=x enthält \eta,\eta', enthält also das Bild der offenen Umgebung \{(\eta,d),(x,d),(\eta',\sigma(d))\} von (x,d). Über V=\{\eta,y,\eta'\} ist p^{-1}(V) = V \times D trivial. Über U = \{\eta,x,\eta'\} gibt es einen Isomorphismus U \times D \cong p^{-1}(U): Über \eta,x ist er die Identität, und (\eta,d) bildet er auf (\eta',\sigma(d)) ab. Folglich ist p eine Überlagerung. Im obigen Beispiel war D=\{1,2\} und \sigma war der 2-Zyklus (1~ 2). Für einen beliebigen Zyklus sieht das Bild genauso aus. Die nächsten Bilder zeigen die Beispiele \sigma=(1 ~2 ~3 ~4) bzw. \sigma = (1 ~2)(3 ~4). Bildbeschreibung Das deutet folgendes an: Wenn wir die Permutation in disjunkte Zykel \sigma = \sigma_1 \cdot \dotsc \cdot \sigma_m mit Längen l_1,\dotsc,l_m zerlegen, so hat (X \times D)_{\sigma} genau m Zusammenhangskomponenten. Diese sind gegeben durch (X \times D_i)_{\sigma_i}, wobei D_i = \{d : \sigma_i(d) \neq d\}, sind also selbst Überlagerungen mit Blattzahl |D_i|=l_i. Das kann man leicht beweisen. Unsere Anschauung sagt uns, dass die bisher gezeigten Überlagerungen von X allesamt nicht zueinander isomorph und außerdem nichttrivial sind. Um das zu bestätigen, bestimmen wir sämtliche Morphismen \alpha : (X \times D)_{\sigma} \to (X \times E)_{\tau} von Überlagerungen, wobei \sigma \in \mathrm{Sym}(E), \tau \in \mathrm{Sym}(E). Das ist eine Abbildung \alpha : X \times D \to X \times E mit p \circ \alpha = p, d.h. \alpha(x,d)=(x,\beta(x,d)) für eine Abbildung \beta : X \times D \to E. Diese setzt sich wiederum aus vier Einzelabbildungen \beta(x,-),\beta(y,-),\beta(\eta,-),\beta(\eta',-) : D \to E zusammen. Die Stetigkeit von \alpha in einem Punkt (x,d) liefert \alpha(\{(\eta,d),(x,d),(\eta',\sigma(d))\}) \subseteq \{(\eta,\beta(x,d)),\alpha(x,d),(\eta',\tau(\beta(x,d)))\}. Über \eta gibt das \beta(\eta,d)=\beta(x,d) (1) und über \eta' gibt das \beta(\eta',\sigma(d))=\tau(\beta(x,d)) (2). Die Stetigkeit von \alpha in einem Punkt (y,d) liefert \alpha(\{(\eta,d),(y,d),(\eta',d)\}) \subseteq\{(\eta,\beta(y,d)),\alpha(y,d),(\eta',\beta(y,d))\}. Über \eta gibt das \beta(\eta,d)=\beta(y,d) (3) und über \eta' gibt das \beta(\eta',d)=\beta(y,d) (4). Kombinieren wir nun (1)-(4) miteinander, so sehen wir: Die Abbildung f := \beta(p,-) : D \to E hängt nicht von p \in X ab und erfüllt f \circ \sigma = \tau \circ f. Es ist also f nichts weiter als eine Abbildung zwischen den Mengen, die mit den gewählten Bijektionen kompatibel ist, und es gilt \alpha = X \times f. Umgekehrt liefert jede solche Abbildung einen Morphismus von Überlagerungen. Wir können das wie folgt zusammenfassen: Betrachte die Kategorie der Paare (D,\sigma), wobei D eine Menge und \sigma : D \to D eine Permutation ist. Ein Morphismus (D,\sigma) \to (E,\tau) ist eine Abbildung f : D \to E mit f \circ \sigma = \tau \circ f. Wir haben gezeigt, dass (D,\sigma) \mapsto (X \times D)_{\sigma},~f \mapsto X \times f einen volltreuen Funktor von dieser Kategorie in die Kategorie der Überlagerungen von X definiert. Tatsächlich entsteht jede Überlagerung auf diese Weise, d.h. es handelt sich sogar um eine Äquivalenz von Kategorien: Nehmen wir uns dazu irgendeine Überlagerung p : Y \to X. Wähle eine offene Umgebung von x, auf der p trivial wird. Sie enthält mindestens U=\{\eta,x,\eta'\}, also ist p^{-1}(U) \to U trivial. Genauso ist p^{-1}(V) \to V trivial. Es gelte etwa s_1 : p^{-1}(U) \cong U \times D und s_2 : p^{-1}(V) \cong V \times E. Dann erhalten wir auf dem Durchschnitt U \cap V = \{\eta\} \sqcup \{\eta'\} einen Isomorphismus s_{12} : (U \cap V) \times E \xrightarrow{s_2^{-1}} p^{-1}(U \cap V) \xrightarrow{s_1} (U \cap V) \times D. Wir können also D=E annehmen. Dieser Automorphismus s_{12} ("Kozyklus") von (U \cap V) \times D legt den Isomorphietyp von p vollständig fest: Er sagt gerade, wie die beiden trivialen Überlagerungen auf U bzw. V über dem Durchschnitt U \cap V miteinander verklebt werden. Wenn wir s_{12} mit einem Automorphismus der Form (U \times V) \times h, h \in \mathrm{Sym}(E) ("Korand") verketten, so können wir das mit dem s_1 verwursten und erhalten eine isomorphe Überlagerung. Nun ist s_{12} über \eta durch ein \tau \in \mathrm{Sym}(D) und über \eta' durch ein \sigma \in \mathrm{Sym}(D) gegeben. Wir können mit (U \cap V) \times \tau^{-1} verketten und damit annehmen, dass \tau = \mathrm{id}. Dann ist aber p = (Y \times X)_{\sigma}. Für eine Gruppe G ist G\mathsf{-Set} die Kategorie der G-Mengen; Objekte sind Mengen mit einer Wirkung/Operation von G (vgl. Gockels Artikel zu Gruppenwirkungen). Eine Wirkung von G=\mathbb{Z} auf einer Menge D ist dasselbe wie eine Bijektion \sigma : D \to D; die Wirkung ist allgemein durch z d := \sigma^z(d) gegeben. Bezeichnen wir noch mit \mathsf{Cov}(X) die Kategorie der Überlagerungen von X, so haben wir also eine Äquivalenz von Kategorien \mathsf{Cov}(X) \cong \mathbb{Z}\mathsf{-Set}. Und \mathbb{Z} war zugleich die Fundamentalgruppe von X. Das ist kein Zufall: Für jeden "guten" (zusammenhängend, lokal wegzusammenhängend, semilokal einfach zusammenhängend; X erfüllt das alles) punktierten Raum (X,x) gibt es eine Äquivalenz von Kategorien \mathsf{Cov}(X) \cong \pi_1(X,x)\mathsf{-Sets} (siehe z.B. Peter Mays A Concise Course in Algebraic Topology). Das ist das Hauptresultat der Überlagerungstheorie. Wir konnten es für unseren Pseudokreis direkt und elementar herleiten. Die Leser mit entsprechenden Vorkenntnissen werden natürlich wissen, dass die Ideen im allgemeinen Fall nicht viel anders sind. Aber gerade deshalb ist der Pseudokreis vielleicht so interessant: Viele allgemeine Prinzipien werden schon an diesem - nur scheinbar pathologischen - Beispiel sehr deutlich und können ohne technischen Aufwand direkt eingesehen werden. Machen wir das doch gleich weiter mit der sogenannten universellen Überlagerung: Wenn D eine G-Menge ist, so kann man D in (eventuell unendlich viele) Bahnen G x_i zerlegen, und es gibt einen Isomorphismus von G-Mengen G x_i \cong G/G_{x_i}, wobei G_{x_i} der Stabilisator von x_i ist. Für G=\mathbb{Z} können wir das so interpretieren: Jede Überlagerung von X zerfällt in ihre Zusammenhangskomponenten; die zusammenhängenden Überlagerungen entsprechen den \mathbb{Z}-Mengen \mathbb{Z}/(n \mathbb{Z}), n \geq 0. Für n>0 bekommen wir die schon betrachteten endlichen n-Zykel. Für n=0 entspricht \mathbb{Z} mit \sigma(z):=z+1 einer unendlichen Überlagerung, aus der sich alle weiteren zusammenhängenden Überlagerungen durch Quotienten ergeben; man nennt sie daher die universelle Überlagerung. Bildbeschreibung

4. Vergleich zum Einheitskreis

Wir haben bereits viele Ähnlichkeiten zwischen X und S^1 = \{(a,b) \in \mathbb{R}^2 : a^2+b^2=1\} festgestellt. Machen wir das präzise: Definiere die Abbildung f : S^1 \to X durch \displaymath (a,b) \mapsto \left\{\begin{array}{cc} x & (a,b) = (-1,0) \\ \eta & b > 0 \\ y & (a,b)=(1,0) \\ \eta' & b < 0 \end{array}\right. Das ist nichts weiter als unser Erzeuger von \pi_1(X,x), aufgefasst als punktierte Abbildung (S^1,(-1,0)) \to (X,x). Folglich induziert f einen Isomorphismus auf \pi_1. Auf allen höheren Homotopiegruppen induziert f ebenfalls einen Isomorphismus, weil diese Gruppen trivial sind. Mit anderen Worten: f ist eine *schwache Homotopieäquivalenz*. Aus einem Satz aus der Topologie (Hatcher, Prop. 4.21) folgt, dass f sogar auf allen Homologie- und Kohomologiegruppen einen Isomorphismus induziert. Aus Sicht der Homotopietheorie sind also X und S^1 identisch.

5. Das Resultat von McCord

In dem Artikel Singular Homology Groups and Homotopy Groups of Finite Topological Spaces (Duke Math. J. 33 (1966), 465-474) zeigt McCord das folgende überraschende Resultat: Die Homotopietypen von endlichen simplizialen Komplexen stimmen mit denen von endlichen topologischen Räumen überein! Genauer gesagt: Für *jeden* endlichen simplizialen Komplex K gibt es einen endlichen topologischen Raum X zusammen mit einer schwachen Homotopieäquivalenz |K| \cong X. Dabei ist |K| die geometrische Realisierung von K. Insbesondere: Endliche topologische Räume sind alles andere als pathologisch; jeder nur erdenkliche Homotopietyp kommt vor. Umgekehrt zeigt McCord ebenfalls, dass es für jeden endlichen topologischen Raum X einen endlichen simplizialen Komplex K mit einer schwachen Homotopieäquivalenz |K| \cong X gibt. Unter dieser Entsprechung korrespondiert der Pseudokreis X zum simplizialen Komplex K mit 0-Simplizes \{\eta\},\{x\},\{\eta'\},\{y\} und 1-Simplizes \{\eta,x\},\{\eta,y\},\{\eta',x\},\{\eta,y\}. Aus deren Schnittverhalten sehen wir |K| = S^1. Allgemeiner wird jedem endlichen topologischen T_0-Raum X der simpliziale Komplex K geordnet, der als k-Simplizes die bezüglich \leq totalgeordneten Teilmengen von X mit k+1 Elementen besitzt. Hierbei gelte x \leq y, wenn x in jeder offenen Umgebung von y liegt. Aus dieser Präordnung lässt sich die Topologie sogar vollständig rekonstruieren. Hat man umgekehrt einen endlichen simplizialen Komplex gegeben, so bilden die Simplizes der ersten baryzentrischen Unterteilung eine Präordnung und damit einen topologischen Raum. Zur Illustration hier einmal die Pseudosphäre: Bildbeschreibung Dieser Raum hat sechs Elemente \eta,\eta',a,b,c,d mit den basis-offenen Mengen \{\eta\},\{\eta'\},\{\eta,a,\eta'\},\{\eta,b,\eta'\},\{c,a,b,\eta,\eta'\},\{c',a,b,\eta,\eta'\}. Er ist schwach homotopieäquivalent zu S^2. Allgemein besitzt S^n ein endliches Model mit 2n+2 Elementen. In der Arbeit Homotopy Theory of Finite Topological Spaces von Emily Clader wird das Resultat von McCord ausführlich besprochen, und zwar nicht so knapp wie im Originalartikel, und schließlich erweitert. Jeder endliche simpliziale Komplex ist homotopieäquivalent (also nicht nur schwach) zu einem inversen Limes von endlichen Räumen. In der Einleitung wird ebenfalls erläutert, inwiefern diese Beobachtung in der aktuellen Forschung Früchte getragen hat.

6. Algebraische Geometrie

Wir wollen den Pseudokreis nun aus der Sicht der algebraischen Geometrie betrachten. Sei dazu R=\mathbb{Z} oder allgemeiner ein Hauptidealring mit mindestens zwei nicht-assoziierten Primelementen p,q; für R=\mathbb{Z} denke man etwa an x=2, y=3. Dann können wir einen Hauptidealring S konstruieren, der lediglich diese zwei Primelemente p,q besitzt, indem wir nämlich nach allen anderen Primelementen lokalisieren; es gilt also \displaystyle S=\left\{\frac{r}{r'} \in \mathrm{Quot}(R) : p \nmid r' , q \nmid r'\right\}. Die Primideale von S lauten dann (0),(p),(q). Die zugehörigen Punkte im Spektrum bezeichnen wir mit \eta,x,y. Es ist \eta der generische Punkt, und x,y sind zwei abgeschlossene Punkte. Genauer gesagt lauten sämtliche offene Mengen \emptyset,\{\eta\}, \{\eta,x\}, \{\eta,y\}, \{\eta,x,y\}. Aus der universellen Eigenschaft der Lokalisierung folgt, dass sich die Projektion R \to R/(pq) zu einem Homomorphismus \phi : S \to R/(pq) fortsetzt. Definiere schließlich das Faserprodukt \displaystyle A := S \times_{R/{pq}} S = \{(s,s') \in S \times S : \phi(s)=\phi(s')\}. Aus Theorem 3.3 in Karl Schwedes Paper Gluing Schemes and a Scheme without closed points (online) ergibt sich topologisch \mathrm{Spec}(A) = \mathrm{Spec}(S) \cup_{\mathrm{Spec}(R/{pq})} \mathrm{Spec}(S). Nun ist \mathrm{Spec}(R/{pq}) = \{x,y\} mit der entsprechenden Einbettung nach \mathrm{Spec}(S)=\{\eta,x,y\}. Die zweite Kopie bezeichnen wir mit \mathrm{Spec}'(S)=\{\eta',x',y'\}. Also ist als Menge \mathrm{Spec}(A) = \{\eta,\eta',x=x',y=y'\} mit der folgenden Topologie: Eine Menge ist offen, wenn die Schnitte mit \mathrm{Spec}(S) bzw. \mathrm{Spec}'(S) offen sind. Es sind also \{\eta\},\{\eta'\} offen, aber eine offene Umgebung von x=x' enthält sowohl \eta als auch \eta'. Wir erkennen: X = \mathrm{Spec}(A) In Wahrheit ist unser Pseudokreis also der unterliegende topologische Raum eines affinen Schemas! Solche Räume besitzen sogar eine Klassifikation (siehe hier). Das ist nützlich, wenn man z.B. die étale Fundamentalgruppe von \mathbb{Z} \times_{\mathbb{Z}/6} \mathbb{Z} bestimmen möchte (vgl. Aufgabe 6.39 in Lenstras Galois Theory for Schemes, online). Das Weglokalisieren ändert nichts. Aus der Trivialität der étalen Fundamentalgruppe von \mathbb{Z} (Minkowskis Theorem) und der Klassifikation der topologischen Überlagerungen (Abschnitt 3 oben) ergibt sich \pi_1(A) \cong \widehat{\mathbb{Z}}.

Fazit

Endliche topologische Räume sind nicht pathologisch - sie können sehr interessant sein! Mehr zu diesem Thema erfährt man hier:
  1. M. C. McCord, Singular homology groups and homotopy groups of finite topological spaces, Duke Math. J. Volume 33, Number 3 (1966), pp. 465-474
  2. J. P. May, Finite Topological Spaces, Notizen, online
  3. R. E. Stong, Finite Topological Spaces, Trans. AMS, Vol. 123, No. 2 (Jun., 1966), pp. 325-340, online
  4. Wikipedia-Artikel Finite topological space
  5. J. Barmark, Algebraic Topology of Finite Topological Spaces and Applications, Springer, 2011

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"Mathematik: Der Pseudokreis" | 4 Comments
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Re: Der Pseudokreis
von: Kofi am: So. 01. Juli 2012 22:55:03
\(\begingroup\)Sehr cooler Artikel!\(\endgroup\)
 

Re: Der Pseudokreis
von: Ex_Mitglied_40174 am: So. 01. Juli 2012 23:42:59
\(\begingroup\)Dieser Artikel ist im Gegensatz zu vielen Artikeln, die einfach nur Literatur zusammenfassen, sehr lesenswert, da er viele Veranschaulichungen und einsteigerfreundliche Erklärungen enthält. Vielen Dank dafür! \(\endgroup\)
 

Re: Der Pseudokreis
von: Martin_Infinite am: Fr. 06. Juli 2012 10:29:33
\(\begingroup\)Danke für das Feedback. Ich würde mich übrigens darüber freuen, wenn ein Topologe hier noch einen direkten Beweis dafür angeben könnte, dass die höheren Homotopiegrupen des Pseudokreises verschwinden. Ich habe das einfach so in Abschnitt 2 behauptet :) (weil es aus dem Resultat von McCord folgt).\(\endgroup\)
 

Re: Der Pseudokreis
von: Kezer am: Sa. 06. November 2021 10:37:10
\(\begingroup\)Auf MSE/3308705 sind direkte Beweise für $\pi_n = 0$ for $n > 1$. Interessant ist auch, dass $f : S^1 \to X$ zwar eine schwache Homotopieäquivalenz ist, es aber keine schwache Homotopieäquivalenz $X \to S^1$ gibt. Das ist - glaube ich - ein typisches Beispiel für diesen Sachverhalt, welchen ich aus Scott Balchins Vorträge zu Modellkategorien gelernt habe.\(\endgroup\)
 

 
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